培优2立方和与立方差公式的应用

初中数学培优讲座2 利用立方和（差）公式分解因式

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)

a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)

这就是说，两个数的立方和(差) ，等于这两个数的和(差) 乘以它们的平方和与它们积的差(和) ．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

【例5】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 8+x 3

3 (2) 0.125-27b 3分析： (1)中，8=2，(2)中0.125=0.53,27b 3=(3b ) 3．

解：(1) 8+x 3=23+x 3=(2+x )(4-2x +x 2)

(2) 0.125-27b 3=0.53-(3b ) 3=(0.5-3b )[0.52+0.5⨯3b +(3b ) 2] =(0.5-3b )(0.25+1.5b +9b 2)

说明：(1) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a 3b 3=(2ab ) 3，这里逆用了法则(ab ) n =a n b n ；(2) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

注意：(am ) n =amn (幂的乘方，底数不变，指数相乘) ，如（x 9）2=x18≠x 81

【例6】分解因式：

(1) 3a b -81b 34 (2) a -ab 6676分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a -b ，可看着是(a 3) 2-(b 3) 2或(a 2) 3-(b 2) 3．

解：(1) 3a 3b -81b 4=3b (a 3-27b 3) =3b (a -3b )(a 2+3ab +9b 2) ．

(2) a 7-ab 6=a (a 6-b 6) =a (a 3+b 3)(a 3-b 3)

=a (a +b )(a 2-ab +b 2)(a -b )(a 2+ab +b 2)

=a (a +b )(a -b )(a +ab +b )(a -ab +b ) 2222

【例7】分解因式x 3-7x+6

解法 ：本题需要通过拆分项或增减项。

方法（1）x 3-7x+6

= x3-8-7x+14

1

=(x-8)-7(x-2)

=(x-2)(x2+2x+4)-7(x-2)

=(x-2)(x2+2x+4-7)

=(x-2)(x2+2x-3)

=(x-2)(x+3)(x-1)

方法（2）x 3-7x+6

=x3-x- 6x+6

=x(x2-1)-6(x-1)

=x(x+1)(x-1)-6(x-1)

=(x-1)( x2+x-6)

=(x-1)(x+3)(x-2)

【例8】已知a+b=2,求 a 3+6ab +b 3的值.

解：a 3+6ab +b 3=(a 3+b 3)+6ab=(a+b)(a2－a b+b2)+6ab

=2((a2－a b+b 2) +6ab

=2(a2－a b+b2+3ab)

=2(a2+2a b +b2)=2(a+b)=8 23

强化训练

1．因式分解下列各式：

(1) x 3-1 (2) a 3+8b 3 (3) x 6-y 6

2．把下列各式分解因式：

(1) a +27

(3) -27x +8

(4) -33 (2) 8-m 3 1313p -q 864

133(5) 8x y - 125

13313x y +c (6) 21627

2．把下列各式分解因式：

(1) xy +x

34 2

(2) x n +3-x n y 3

(3) a 2(m +n ) 3-a 2b 3

(4) y 2(x 2-2x ) 3+y 2

3. 综合练习：

（1）．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋a c －abc ＋b c ＋b 的值为[ ]

A ．－1. B ．0. C．1. D ．2 3223

（2）、215-1能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( )

A 、6 B、5 C、4 D、3（希望杯第21届初中二年级第一试试题）

（3）、若a-b =1，则a 3-3ab -b 3

（4）、如果a ＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______．（希望杯第七届（1996年）初二试题）

（5）. 若a = -33222945，b = -，求a 3-6ab +b 3的值。（希望杯第18届初中二年级第一试试题） 3737

（6）. 分解因式x 3-7x+6 (除例7给出的两种解法外，请你再写出其它至少三种解法)

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