传染病模型

微分方程在数学建模中的应用

学生姓名：谢婉莹 学号：[1**********] 数学与计算机科学系 数学与应用数学专业

指导老师：余兴旺 职称：讲师

摘要：应用微分方程建立实际问题的数学模型，愈来愈受人们的关注。本文介绍了运用微分方程理论建立传染病模型，交通管理模型，人口模型的过程。 关键词：数学模型 微分方程 传染病模型 交通管理模型 人口模型

引言

数学建模即是用数学方法解决各种实际问题的桥梁。随着社会的快速发展，科技的快速发展，数学建模的作用愈来愈重要，可以说是无处不在。数学建模的类型有很多：初等模型，运筹模型，微分方程模型，概率模型，离散模型等。 在数学模型中，模型的建立尤为重要。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段。对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律， 其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态 、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析做出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。下面我们就通过几个例子来说明这一过程。

一、 传染病模型

随着社会的快速发展，人们的生活水平越来越高，对生活质量的要求也越来越高。人们开始尝试把各种鲜见稀奇的东西作为我们的食物，从而引发的问题越来越多。比如说：SARS问题，H1N1问题，H7N9等各种传染病问题。这些都给人们的生命财产带来极大的伤害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直以来是关系到国计民生的问题。

传人病的传播涉及的因素很多，例如传染病人的多少，传染率的大小，排除

率的大小，人口的出生和死亡等，如果还绕考虑人口的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么疾病的传播变得非常复杂。倒不如抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。

模型一 仅考虑病人人数的改变

1.1 模型的假设

（1）每个病人在单位时间内传染的人数是常数K0。

（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。

1.2 符号说明

记i(t)表示t时刻病人数，K0表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)=i。即最初有i0个传染病人。

1.3 模型的建立与求解

则在时间t内增加的病人数为 i(t+t)－i(t)=K0i(t)t 于是微分方程

di(t)

K0i(t) dt

i(0)i0

其解为i(t)=i0eK0。

t

①

1.4 模型的结果分析

结果表明，传染病的传播是按指数函数增加的。

这个结果与传染病的传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由于①的解可以推出，当t→时，i(t)→，这显然不符合实际情况。问题在于两条假设均不合理。特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符。因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多。而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的。所以归根到底此模型失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区分这两种人。因此为了与实际情况相符，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。

模型二 同时考虑病人人数和未被传染人数的改变

2.1 模型的假设

（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数n不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者和已感染者两类，简称为未被传染者和传染者。 （2）每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。 （3）一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。

2.2 符号说明

用i(t)、s(t)表示t时刻传染病人数和未被传染人数。I(0)=i K0=Ks(t) I(t)+s(t)=n

2.3 模型的建立与求解

有上述假设可得微分方程

di(t)

dtKs(t)i(t)

s(t)i(t)n ②

i(0)i0

用变量法得其解为

ni(t)=1n1eKnt0

③

其图形如图2.10所示。

式②可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。 其中称

di

t为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图2.11所dt

示。

由③可得

nKnt

eKn21di0 ④ dtnKnt11e

0

d2i(t)

0，得极大点为 令dt t1

nln10 ⑤

2.4 模型的结果分析

由⑤可知，当传染病强度K或总人数n增加时，t1都将变小即传染病高峰来得很快。这与实际情况相吻合。同时，如果知道了传染强度K,即可预报传染病高峰t1到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。

但是此模型仍有缺点：当t→时，i(t)→n，即所有人终将被传染，全变为病人。这显然不符合实际情况。造成的原因是假设（3）中假设了人得病后久治不愈，即人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。

为了与实际情况更加吻合，对上面的数学模型再做进一步修改，这就要考虑到人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人自身抵抗力会痊愈，并非像前面假设那样人得病后久治不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。

模型三 考虑病人可以痊愈的情况

3.1 模型的假设

（1）设患过传染病而完全痊愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形。并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下，把居民分成三类：

第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。

第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成。 第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力

以前被隔离起来的人。

（2）在所考虑时期内人口总数保持固定水平不变，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及迁出、迁入等情况。

（3）易受感染者的变化率正比于第一类的人数与第二类人数的乘积。 (4)有第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比。

3.2 符号说明

用I(t)表示t时刻第一类人数，用s(t)表示t时刻第二类人数，用R（t）表示t时刻第

三类人数。人口总数N。

3.3 模型的建立与求解

由假设可得微分方程

ds(t)

dtrs(t)I(t)dI(t)

rs(t)I(t)I(t) dt

 dR(t)



dtI(t)其中，r、为两个比例常数；r为传染率；为排除率。

由式⑥的三个方程相加得

d

dt

s(t)I(t)R(t)0 则s(t)I(t)R(t)常数=N（人口总数），故R(t)Ns(t)I(t)。 由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。 而式⑥的第一和第二个方程与R(t)无关。因此，由

ds(t)



dtrs(t)I(t) dI(t)dt

rs(t)I(t)I(t)得

dI(t)rs(tds(t))I(t)I(t)

1 I(s)-slnsC

当tt0时，I(t0)I0,s(t0)s0，记,有

I(s)I0s0sln

s

下面讨论积分曲线如图3.10所示的性质。 由式⑧可知

⑥

⑦ ⑧ ⑨

0,s

dI

10,s

ds0,s



所以当s时，I(s)是s的增函数，s时，I(s)是s的减函数。

I(0),I(s0)I00

由连续函数的中间值定理及单调性可知，存在唯一点s(0ss0)，使得

I(s)0

。而当

sss0时，I(s)0

。由式⑦可知，

I0时，ds(t)/dt0,dI(t)/dt0。所以（s，0）为方程组式⑦的平衡点。

当tt0时，式⑨的图形如图3.10所示。

当t由t0变化到时，点（s(t),I(t)）沿图3.10中的曲线移动，并沿s减少方向移动，因为s(t)随时间的增加而单调减少。因此，如果s0，则I(t)单调减小到零，s(t)单调减小到s。所以，为数不多的一群传染者I0分散在居民s0中，并且s0，则这种疾病会很快被消灭。

如果s0，随着s(t)减小到时，I(t)增加，且当s时，I(t)达到最大值。当s时，I(t)才开始减小。

3.4 模型的结果分析

（1）只有居民中的易受传染者的人数超过阈值时，传染病才会蔓延。 （2）如果起初易受传染者的人数s0大于但接近于阈值，即如果s0与

相比是小量，则最终患病的人数近似于2s0。

二、 交通管理模型

模型四 合理设置黄灯亮灯时间模型

4.1 问题的描述

在交通十字路口，都会设置红路灯。为了让那些正在行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红路灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一位驶进交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。

那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？

4.2 问题的分析

对于驶进交叉路口的驾驶员，当他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口。如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。当决定通过路口时，必须有足够的时间使他能完全通过路口。这包括做出停车决定的反应时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离将车停下。

于是，黄灯状态应持续的时间包括驾驶员的反应时间，车通过交叉路口的时间以及通过刹车距离所需的时间。

4.3 符号说明

法定速度设为v0，交叉路口的宽度为I，典型的车身程度L，汽车的重量为

W，摩擦系数为，地面对汽车的摩擦力为W，其方向与运动方向相反。行驶

的距离为x，时间为t。

4.4 模型的建立与求解

考虑车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，因此，通过路口的时

间为。 0

汽车在停车过程中，行驶的距离x与时间t的关系可由下面的微分方程

Wd2x

W

gdt2 ⑴

求得，其中g是重力加速度。

我们给出方程⑴的初值条件

xt00，

dx

t0v ⑵0dt

于是，刹车距离就是直到速度v0时汽车驶过的距离。

首先，求解微分方程⑴，对⑴式从0到t的积分，再利用初值条件⑵，我们得到

dx

gtv0 ⑶ dt

在条件⑵下对⑶式从0到t积分，得

1

xgt2v0t

2

注意到在⑶式中令

dxv

0，可得刹车所用的时间t00，从而得到 dtg

v20

x(t0) ⑷

2g

我们计算一下黄灯状态的时间A： A其中T是驾驶员的反应时间。于是

x(t0)IL

T

v0v0ILT2gv0

A

如果把A与v0关系的图像描绘出来，则大致如图4,。10所示。

4.5 模型的结果分析

假设T1s,L4.5m,I9m。另外，我们选取具有代表性的0.2。当

v045km/h、65km/h以及80km/h时，黄灯时间如图4.11所示，表中给出了经验

法的值。

图4.11

我们注意到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交岔路口红路灯的设计可能使车辆在路灯转为红灯时正处于交叉路口。

三、人口模型

模型五 指数增长模型

5.1 问题的描述

目前，在世界资源有限的情况下，人口的不断增长，尤其是发展中国家过高的人口增长率成为十分严峻的问题。面临这样的现实问题，人类必须进行自我控制，即采取必要的措施抑制过快的人口增长率。而影响人口增长的因素有很多，比如：人口的基数、出生率、和死亡率的高低等。如果把这些因素都考虑在内的话，所建的数学模型时非常复杂的。所以我们应抓住关键因素，则即人口增长与人口的基数和增长率有关，这两项为主要因素。

5.2 问题的分析

假设人口的增长过程可以用微分方程来描述。初看起来，人口增长时不能用微分方程来描述的，因为人口总数是按整数变化的而不是时间的可微函数。然而，如果人口总数很大时，可以近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。

5.3 符号说明

N(t)表示t时刻人口总数。

r(t,N(t))表示时刻人口增长率，它与t时间和t时刻的人口数N(t)关。

5.4 模型的建立与求解

根据假设只考虑人口的基数和增长率，其他因素的影响暂不考虑，则在t到tt这段时间人口总数增长为

N(tt)N(t)r(t,N(t))N(t)t

两端同时除以t，并令t0，则N(t)满足微分方程

dN(t)

r(t,N(t))N(t) ⑸ dt

对⑸式变量分离，且两边积分可得 N(t)cer(t,N(t))t，若给出⑸的初值条件

令r(t,N(t))r（常数），tt0时，N(t)N0 ⑹ 则方程⑸满足初值条件⑹的解为

N(t)N0er(tt0) ⑺

5.5 模型的结果分析

如果r0，⑺式说明人口总数N(t)将按指数规律增长，将t以1年或10年为单位离散化，那么可以说，人口数时以er为公比的等比数列增加的。 当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的。但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实：环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以这个模型在N(t)很大时是不合理的。

模型六 Logistic模型

6.1 模型的假设

（1）引入常数Nm（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数。

（2）假设净相对增长率为r1

c为任意常数。

N(t)

，即净增长率随N(t)增加而减少，当Nm

N(t)Nm时，净增长率0。

6.2 模型的建立与求解

人口增长的方程为

dNNr1 dtNN ⑻ m

rN2

这就是所谓的Logistic模型。当Nm与N相比很大时，Nm与rN相比可以忽略，

rN2

则模型就变为模型五；但当Nm与N相比不是很大时，这一项就不能忽略，Nm

人口急剧增加的速度就会缓慢下来。从而我们可以用这个模型来预测未来地球人数。

四、 结束语

利用微分方程理论针对各种实际理论建立的数学模型，一般而言都是动态模型，虽然特的推导过程稍显繁琐，但是其结果却相当简明，并且可以给出和合理的解释。所以学好微分方程基本理论对进一步研究数学理论和实际应用均非常重要。

参考文献

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