卓越联盟自主招生数学真题及答案(20**年-20**年)

卓越联盟自主招生真题及答案

(2011-2013年)

目 录

2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题 ........................................... 2 2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 .......................................................... 5 2012年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 11 2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 ............................................................ 14 2013年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 20 2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 ........................................................ 22

2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题

数学试题

分值: 分 时量: 分钟

一、选择题, 1. 已知向量

为非零向量,

夹角为( )

A. B. C. D.

2. 已知则( )

A. 3. 在正方体则异面直线

B. C .

中,

D.为棱

是棱

上的点, 且

,

的中点,

与所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.

4. 为虚数单位, 设复数满足 A.

B.

, 则的最大值为( )

D.

的重心

C.

轴上,

5. 已知抛物线的顶点在原点, 焦点在为抛物线的焦点, 若 A.. 6. 在三棱柱面

的距离为( )

B.

三个顶点都在抛物线上, 且

, 则抛物线方程为( )

D.

的中点, 则点

边所在的直线方程为

C.

中, 底面边长与侧棱长均不等于2, 且到平

A. B. C. D.

7. 若关于的方程有四个不同的实数解, 则的取值范围为( )

A. 8. 如图,

, 交

B.

内接于在

C., 过

中点, 若

D. 作平行于

的直线

, 则

, 交

点处的切线于的长为( )

A.

9. 数列

共有11项,

B.

C. D.

满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100 B. 120 C. 140 D. 160

10. 设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

表示变换的复合, 先做

, 再做

的旋转, . 用

表示坐标平面关于

轴的

镜面反射. 用表示连续的变换, 则

是( )

A.

B.

C.

D.

二、解答题 11. 设数列(1)设(2)若 12. 在(1)求(2)若

中, 的取值范围;

, 问

为何值时,

最短? 是角

的平分线, 且

.

满足

, 证明:若

求, 则

.

是等比数列; 的值;

13. 已知椭圆的两个焦点为(1)求椭圆的方程; (2)过

作两条互相垂直的直线

, 与椭圆分别交于

, 求四边形

面积

, 且椭圆与直线

相切.

的最大值与最小值.

14. 一袋中有

个白球和

个黑球. 从中任取一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出

次这样的操作后, 记袋中白球的个

黑球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中. 在重复数为(1)求(2)设

. ;

, 求

(3)证明: 15. 设(1)求

;

.

(2)设求常数, 使得

, 证明

.

取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为

2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案

一. 选择题二. 解答题 11. 【解】(1)证:由

, 得

令则, 所以是以为首项, 以为公比的等比数列;

(2)由(1) 可知,

所以由累加法得即

也所以有时, 也适合该式;

所以

也所以

由于所以解得.

12. 【解】(1)过作直线, 交延长线于, 如图右.

所以,

也所以有在即

中, 有

, 即

所以, 即

所以.

(2)因为

在中, 有

记当

, 则时,

此时取最小值, 此时.

故当时, 取最小值.

13. 【解】设椭圆方程为, 因为它与直线只有一个公共点,

所以方程组所以又因为焦点为

只有一解, 整理得

, 所以

.

.

联立上式解得

所以椭圆方程为.

(2)若斜率不存在(或为0) 时, 则.

若斜率存在时, 设为

方程为

, 则. 设

为.

所以直线与椭圆交点坐标为

联立方程化简得.

所以

同理可得

所以

因为(当且仅当时取等号)

所以, 也所以

所以综上所述, 的面积的最小值为, 最大值为2.

14. 【解】(1)时, 袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球), 概率为; 也可能

为个(即取出的是黑球), 概率为, 故.

(2)首先, 种; 第

次袋中有

时, 第次取出来有个白球的可能性有两

个白球, 显然每次取出球后, 球的总数保持不变, 即个白球(故此

时黑球有第

个), 第次取出来的也是白球, 这种情况发生的概率为个白球, 第

个,

次袋中有次取出来的是黑球, 由于每次球的总数为

故此时黑球的个数为. 这种情况发生的概率为.

故(3)第

次白球的个数的数学期望分为两类:

第次白球个数的数学期望, 即. 由于白球和黑球的总个数为, 第次取出

来的是白球, 这种情况发生的概率是; 第次取出来的是黑球, 这种情况发生的概率

是, 此时白球的个数是

15.(1)(2)若若故

; 显然, 当

取最小.

取最小;

由(1)知

所以, 记

则令, 得

即时, 取最小值.

(3)将代入式右边,

等价于

由于时, 所以下面只须证明即可.

又令,

则, 注意到函数是单调递增的, 且

所以. 得证.

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析

对于数理知识测试中数学部分,专家评论道:数学考题考察的是高中数学的基本

知识、基本概念和基本技能,但只是考察的侧重点与高考不同,试题重点考察了学生的空间想象能力,要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发,考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的(最大值或最小值)优化问题, 能够延伸性地考察学生的数学能力。

对于数理知识测试中物理部分, 专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识, 体现了能力测试为主导, 特别是考核学生综合运用基础知识, 基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似, 主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。

2012年卓越联盟自主招生数学试题

卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试

数 学

本卷共100分,考试用时90分钟

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上,并

在规定位置粘贴考试用条形码。

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无

效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析

2013年卓越联盟自主招生数学试题

一、选择题:(本大题共4小题,每小题5分.每小题给出的4个结论中,只有一项是符合题目要求

(1)已知

(A )

(C) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (B) (D) 上递增,则

(2)已知函数的图象经过点,且的相邻两个零点的距离为,为得到的图象,可将图象上所有点

(A )先向右平移个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变

(B) 先向左平移个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变

(C) 先向左平移个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变

(D) 先向右平移个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

(3)如图,在

倍,纵坐标不变

五个区域中栽种3种植物,要求同

一区域中只种1种植物,相邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数为( )

(A )21 (B)24 (C)30 ( D)48

(4)设函数

有若(A )

(B)

,且在

上存在导数.

的取值范围为

(D)

,对任意的

,则实数

(C)

二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分)

(5)已知抛物线

近线方程为 . (6)设点则

(7)设曲线入区域(8)如图,于

,且

是圆

的切线,

的内部,点

的焦点是双曲线的一个焦点,则双曲线的渐

,分别为边,的中点,且,

. 与

轴所围成的区域为

,向区域

内随机投一点,则该点落

内的概率为 . 是切点,

,则

垂直,垂足是

,割线

交圆表示).

(用

三、解答题(本大题共4小题,共56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9)(本小题满分13分)在

中,三个内角已知

所对边分别为

、.

(1)求角的大小; (2)求的最大值.

(10)(本题满分13分)

设椭圆

两点.

的离心率为,斜率为的直线过点且与椭圆交于

(1)求椭圆方程; (2)若直线与(3)设有

为椭圆的下顶点,

轴相交于点分别为直线

,且、

,求的值;

的斜率,证明对任意的

(11)(本题满分15分)设,(1)证明:;

(2)若,证明:

中,

(12)(本题满分15分)已知数列(1)若

都成立,求的取值范围;

(2)当

时,证明.

2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案

(1)A; (2)B ; (3)C ; (4)B .

(5); (6)2; (7); (8).


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