数学建模模板:还款周期与本息总额

数学建模一周论文

论文题目：还款周期与本息总额

姓名1： 肖 伟 平 学号： [1**********]5 姓名2： 徐 蒙 学号： 姓名3： 学号： 专 业：电子信息工程

班 级：1220602

指导教师：朱 辉

2014年 1 月 5 日

一、摘要

这是一个关于银行贷款偿还问题的数学模型。随着国民经济的发展，人们普遍接受先银行贷款再通过分期付款的方式进行消费，因此，通过对这个问题的分析研究建立起正确的数学模型对人们如何选择贷款、还款方式有着重要的意义。根据已知利率，以及贷款金额，分别针对等额本息还款法和等额本金还款法，我们建立线性方程数学模型，推导出还款总额，还款总利息，月均还款额的通用公式。

对于这个问题代入还款年限3年借贷10万元，根据通用公式容易计算出还款期限为3年的等额本息还贷和等额本金还贷这两种还款方式月均还款额别别为3272元，3003元以及本息还款总额别别为117820元，108138元。从而通过对比较可知若3年还清则等本金额还贷更少。还贷期限越长本金还款方式的有事越大，但在最开始的阶段本金还款方式的经济压力越大。通过本模型还能够分析不同还款周期下的月均还款额以及本息还款额，即对于不同的还款周期本模型的建立也能够起到很好的参考作用。

关键词：等额本息还款法 等额本金还款法 本息总和 还款周期

二、问题的重述

随着经济的发展，金融业务越来越多的走进人们的生活，个人住房贷款就是其中重要的一项。若个人住房贷款以10万元为例子，期限为3年，试讨论随着还款的周期变化，本息总额如何变化。

三、 问题的分析

银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等额本金还款法（又等本不等息递减还款法称），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清

试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行就可以从这笔本金中赚到利息. 因此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息. 现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清. 可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式.从而将相应的数据计算出来。

作为一笔10万元、3年的房贷，按照上述的两种还款方式所计算出来的数据一般都会存在差额，而本模型的建立就是要解决以下几个重要的问题：

1．建立的数学模型能够讨论出这两种银行还款方式在3年还款期限下的好坏之分;

2．建立的数学模型能够讨论出这两种银行还款方式在不同还款期限下的好坏之分;

3，设计一些其它房贷还款方式，并作讨论。

假设在上述问题的解决过程中:

(1)银行借贷年利率确定不变。

（2）在本月1号都还清了上月的贷款额。

四、 符号的约定

A : 客户向银行贷款的本金

B : 客户平均每期应还的本金

C : 客户应向银行还款的总额

D : 客户的利息总和

α: 客户向银行贷款的月利率

β: 客户向银行贷款的年利率

m : 贷款期

n : 客户总的还款期数

根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：

（1） n12m （2） CAD （3）

AnB

五、 模型的建立与求解

方案一：等额本息还款模型的求解

等额本息还款即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清。也就是每个月还贷数额不变，把总共要还的前平分给给个月。 对于这个模型，可以按贷款的期限分成两种情况：

（1）1年期的贷款，

银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此：1年期的还款总额为：C(1)A

而利息负担总和为：DCAA

（2）贷款期在1年以上：

先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.

因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，

即有关系式：12

设 月均还款总额是x （元）

ai（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额

bi (i=1…n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额.

根据上面的分析，有

第1期还款前欠银行的金额：a1A(1)

第1期还款后欠银行的金额：b1a1xA(1)x

……

第i期还款前欠银行的金额：

aibi1(1)(A(1)i1x(1)i2x)(1)

A(1)x(1)ii1x(1)i2x(1)

第i期还款后欠银行的金额：

…… biaix A(1)x(1)ii1x(1)x

第n期还款前欠银行的金额：

anbn1(1)(A(1)n1x(1)n2x(1)n3x)(1)

A(1)x(1)nn1x(1)n2x(1)

第n期还款后欠银行的金额：

bnanxA(1)nx(1＋)n1x(1)x

因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：

bn0，

即：A(1)nx(1＋)n1x(1)x0

解方程得：

A(1)n

x n(1)1

这就是月均还款总额的公式.

因此，客户总的还款总额就等于：

An(1)n

Cnx n(1)1

利息负担总和等于：

An(1)n

DCAA n(1)1

利用上面推导出来的公式，可以计算出的3年期的本息总和。

方案二： 等额本金还款模型的求解

银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.

对于这个模型，也可以按贷款的期限分成两种情况：

（1）1年期的贷款:

银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：

C'(1)A

而利息负担总和为：

D'C'AA

（2）贷款期在1年以上.

设客户第i期应付的金额为xi ( i = 1…. n ) (单位：

元)

因此，客户第一期应付的金额为 ：x1B(AB)

第二期应付的金额为 ：x2B(A2B)

计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还银行3343. 68元，这才与每月的盈余相当. 而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832. 18元，这时才与本息还款法的月均还款总额差不多. 而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适.

……

那么，客户第n期应付的金额为 ：xnB(AnB)

累计应付的还款总额为 ：

C'x1x2xnA(2n) 2

利息负担总和为 ：

D'C'AA(2n)1AA(n1) 22

利用上面推导出来的公式，可以计算出的3年期的本息总和。

以向银行贷款10万元，3年还款期限为例. 比较两种还款方法（如下表）：

（以新规定，五年以上年利率为5. 58% 来计算 （单位：元））

通过模型的建立与求解得出：三年等额本息还清贷款，则还款总额为117820元，月均还款额为3272.8元；三年等金本息还清贷款，则还款总额为108178元，月均还款额为3003.83元。由此可知选择预付费还款更划算。

虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重. 而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大。

六、其他还款方式

银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。虽然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。

等额本金还款:适合目前收入较高的人群。借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。

等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，

固定利率:进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相应地增加。在贷款合同签订时，即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，但风险较大。

按期付息还本:适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归还制订不同还款时间单位。即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。实际上，就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。

还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。借贷人要根据自身的经济情况及资金周转情况来选择合适的还贷方式。

七、模型的优缺点与改进方向

1、模型的优点：

（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。

（2）本文建立的模型计算简便可用范围很广，推广容易，同时扩展也较容易

（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。

（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。

（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。

（6）比较真实，从多方面对结果进行验证。

2、模型缺点：

（1） 模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。

（2） 利率的精确度不同可能造成一定误差

（3） 经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来

（4） 利率的精确度不同以及计算结果里小数的取值，可能造成一

定误差，计算过程中忽略了利率的变动。

（5） 经济社会中随机因素较多，像房价的宏观调控，使模型不能

将其准确反应出来。

（6）模型未得到准确的验证

3、模型的改进

（1） 考虑通货膨胀等市场经济中的因素

（2） 考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响

（3） 对利率有更准确的计算方法

（4） 考虑不同人群的消费观念和收入水平

（5）考虑通货膨胀等市场经济中的因素，对利率有更准确的计算方法。

参考文献：

（1）吴礼斌 李柏年 《数学实验与建模》 国防工业出版社。

（2）.杜建卫 王若鹏 《数学建模基础案例》 化学工业出版社。

（3）袁震东《数学建模方法》 华东师范大学出版社 。

（4）http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=1066,中基网-数学教学。

（5）http://house.focus.cn/msn/news/88117.html,MSN中国，公积金个人住房贷款。

课程设计评分表

论文题目： 还 款 周 期 与 本 息 总 额

姓名1： 肖 伟 平 学号： [1**********]5 姓名2： 徐 蒙

姓名3： 朱 振

总 分： 学号： [1**********]1 学号： [1**********]7