27 关于极限概念的_语言

第8卷第3期　1999年　8月数学教育学报JOURNAL OF MA THEMA TICS EDUCA TION Vol. 8No. 3Aug. 1999

关于极限概念的ε—语言

姜　涛①

摘要　针对《关于极限概念的非ε—语言》一文提出了不同的看法, 认为在高师数学专业采用D —语言来取代ε—语言的作法不可取, 而应结合ε—语言教学教会学生动态抽象思维.

关键词　极限概念的ε—语言定义　极限概念D —语言定义　动态抽象思维　数学教育学报的“高师基础课改革”. 始的名称便可以看出. ) 期上该栏目中

[1](一文发表点不同意见, 发表的《关于极限概念的非ε—语言》与箫治经、熊萍二同志商榷, 在《非ε—, ε—语言定义是数学分析教学中公. 一是“即使强记硬背也要先闯过ε—语言这:先不严格的直观学习极限概念, 后面再补. ”第三种便是《非ε—D —语言取而代之的作法. 笔者认为在高师数学专业, 采取这三, 尤其第三种作法更是不妥.

1　正确认识ε—语言教学困难的原因

众所周知, 数学分析是用极限这一工具来研究函数的. 其主要概念的定义都要用到极限. 数学分析教材传统的作法都是在课程的开始便用ε—语言来定义各种极限. 例如, 函

δ语言定义为数极限lim f (x ) =A 的ε—“设f (x ) 在x 0点的某一去心邻域内有定义, 若x →x 0

ε0, 当0

函数极限的ε—语言定义, 又称作“定量的定义”它是针对以前的所谓定性的定义:“当x 无限的趋近于x 0时, 函数f (x ) 无限的趋近于常数A ”而言的, 这个定量的定义它既能刻划出函数与极限的任意接近的动态程度, 又能进行静态的定量运算, 它并不是对动态的否定, 而是将“动态”量化, 使“动”寓于“静”中, 它完全精确的反映了变量与其极限之间的动与静的辩证关系.

这个定义的教学为什么公认难呢? 难在它有“四个逻辑层次”吗? 非也, 事实上它难在学生理解它要用动态抽象思维, 即辩证思维. 所谓动态抽象思维是以流动范畴为基础的逻辑思维, 是一种高级思维形式(见文[2]) . 它反映的是事物的运动、变化、发展过程以及事物之间的辩证关系.

学生们在学习极限概念的ε—语言之前, 学的是中学数学, 基本上是常量数学, 学习常量数学主要用静态抽象思维, 即形式逻辑思维, 这正如恩格斯所说“:初等数学, 即常量

①通化师范学院数学系, 吉林省通化市,134002. 收稿日期:1999-01-25; 修回日期:1999-03-04.

　　　υκβ数　学　教　育　学　报第8卷数学, 是在形式逻辑范围内活动的, 至少总的来说是这样的. ”静态抽象思维是以静态范畴为基础, 要求人们对某一概念、判断、推理作出要么是、要么不是、要么真、要么假、要么这个要么那个的回答. 是非、真假、这个、那个界限分明, 绝不允许既是又非, 既真又假, 既是这个又是那个. 而动态抽象思维把概念、范畴看成是流动的, 即把概念、范畴看成是运动、变化、发展的. 范畴的运动、变化、发展, 反映的是事物的运动、变化、发展过程, 反映事物之间的辩证关系即对立统一关系. 它允许人们对某一概念、判断、推理作出既是又非, 既真又假, 既这个又那个的回答. 苏联数学教育家奥加涅相赞美动态抽象思维说“:真正完美的思维首先是辩证思维. ”

函数极限概念反映的正是事物的一种运动、变化、发展过程, 因此, 念的ε—定义必须用动态抽象思维, 定义中的概念ε量, 如果不视为变量我们便不能刻划函数f (x ) , , 其视为常量, 如不视其为常量, 便确定不了δ而学生在学习这个定

ε“”理解不

了, , , 而是从学, 在教极限概念的ε—定义之前先讲一下ε—定义, 学生便会比较容易接受这个数学分析. , 作过多次试验, 效果都郑毓信先生指出“:然而, 一个明显的事实是:如果我们并不真正了解学生在数学学习过程中的思维活动, 相应的教学理论就不能说具有坚实的理论基础, 或者说, 这还只是一

[3]种‘经验之谈’, 而尚未上升到理论的高度. ”

2　高师数学专业的极限概念教学不宜采用D —语言来取代ε—语言

最早提出用D —语言取代ε—语言的是张景中先生, 但张先生说的是在数学分析入门教学中这样做(见文[4]) . 在中学讲数学分析入门这样做是完全可以的, 甚至可以只讲极限的定性的定义. 但在高师的基础课数学分析中这样做就不一定合适了, 因为在高师数学专业的专业课学习中, 学的主要是高等数学, 而学习高等数学是离不开动态抽象思维的. 有人说学生在初中二年级思维水平发生一个飞跃, 由以形象为思维元的形象思维上升为以概念为思维元的抽象思维. 笔者认为学生进入大学学习高等数学时又要进行一次思维水平的飞跃, 要由静态抽象思维上升到动态抽象思维. 这个飞跃的最佳时期是在大学一年级, 学生学习数学分析时, 是从学习极限概念的ε—语言开始的. 由于数学分析的主要概念几乎都是用极限来定义的, 用ε—语言来证明的习题又充满着数学分析教材的始终. 所以, 只要我们引导好, 学生通过数学分析学习是完全可以掌握动态抽象思维的. 掌握了动态抽象思维再来学习其它高等数学课程便会比较顺利了. 如果我们在这里用D —语言来取代ε—语言, 便会使学生痛失一次思维水平提高的机会.

下面我们再来看一下函数极限的D —语言定义(见《非ε—语言》定义2、3) 设f (x )

0(x 0) 有定义, lim f (x ) =A 是指, 存在D 的某右邻域(0, δ) 内的在x 0的某去心邻域∪x →x 0

恒正递减无界函数D (h ) , 使得当0

第3期　姜涛:关于极限概念的ε-语言ϖκβ　

f (x 0+Δx ) -A

上述看法不一定正确, 谈出来只想起个抛砖引玉的作用. 中能有点争论, 以便加快其改革速度.

1　萧治经, 熊萍. ,1998(2)

2　张永声. . :,1990

3. :四川教育出版社,1994

4　. 见:严士健主编. 面向21世纪的中国数学教育. 南京:江苏教育出版社, 1994

Abstract 　This paper gave different opinions on the essay 《On the limit Concepts of Non-εExpression 》. People didn ’t think that the method of using D expression as a substitute for εExpression in mathematics de 2partment of normal university was worth adopting. We should combine εExpression in order to teach students motional abstract thought.