平行四边形与特殊的平行四边形

平行四边形的性质与判定

一、总结平行四边形的性质与判定原理:

【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的?

从“边、角、线”三个方面,其中“线”指的是对角线。

【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件?

必须具备两个条件;注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。

二、总结与平行四边形相关的性质:(注意,以下性质只可用来指导解证题,在填空、选择题中可直接使用,但在解答题中不可直接当作原理使用)

【平行四边形对角线相关性质】

平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的

三角形;平行四边形的对角线将其分成四个面积 图P-01 ;

邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。

如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则ABO、ADO、CDO、

CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。

〖练习〗⒈如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,若S⊿ABO=2,则

S⊿ABD;SABCD⒉如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则图中共有 对全等三角形。 ⒊如图P-01,已知,ABCD的周长为28,点O是对角线AC、BD交点,ABO

的周长比CBO的周长多4,则AB= ,BC=

⒋如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,已知AB=8,BC=6,⊿ABO

的周长为17,则CBO的周长=

② 在平行四边形内,过对角线交点且两端点在

平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分如图P-02,点O是对角线AC、BD交点,线段 EF过点O,则OE=OF;证AEO≌CFO〖练习〗⒈如图P-02,ABCD中,EF过对角线交点若AB=5,BC=4,EO=3,则四边形CDEF 

⒉如图P-03,ABCD中有圆O

,请你画一条直线,

将此平行四边形及圆O的面积分成相等的

两部分。

a

2b(a>b)x

的取值范围为ab

〖练习〗⒈如图P-01,若AC=8,BD=12,则 图P-03 AB的取值范围是⒉三角形一边上的中线的取值范围为:大于另两边之差,小于另两边之和。 如图P-04,已知D为ABC中BC边上的中点,

AB=5,AC=7,求AD的取值范围。

〖提示〗延长AD至E,使DE=AD,连结BE、EC,

易证得ABEC;记住此法:倍长中线法,是常

用的辅助线作法

图P-04

【四边形四边中点连线性质】

 

【中位线相关性质】

⑦ 三角形中位线原理: 三角形的中位线平行且等于第三边的一半;

如图P-10,D、E分别为AB、AC中点,则有:

1 DE∥BC,DE=BC;若已知D为AB中点, 2

DE∥BC,则有:AE=CE

〖练习〗证明三角形中位线原理推论

已知: 图P-10

求证:

证明:

⑧ 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等,周长都等于原三角形周长的一半,面积都等于原三角形面积的1/4。

如图P-11,D、E、F

周长都等于ABC周长的图中共有3个平行四边形〖练习〗如图P-11,D、E、 AB=6,AC=7,BC=10,则

三、典型题例与解题思路

【例1】如图P-12, 且AE=CF〖思路分析〗

行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。

在证本类题型时,首先要想清楚自己要选用哪种方法(原理)来证。几何证明题的方法往往有多种,不一定要是最简单的,但在找条件时不能乱,不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例,我们要证BFDE,可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法,选定一种后,就找对应的条件。

我们先看第一种方法:两组对边分别相等。要证DE=BF,BE=DF,我们可以用全等来证,先用AEB≌CFD得BE=DF,再同理得DE=BF。

〖解题格式〗

证: ∵有ABCD (已知)

∴AB=CD,AB∥CD(平行四边形性质)

∴∠1=∠2 (两直线平行,内错角相等)

又∵AE=CF (已知)

在AEB和CFD中:

AB=CD ∠1=∠2 AE=CF

∴AEB≌CFD (SAS)

∴BE=DF (全等性质)

同理:DE=BF

∴ 有DEBF (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 〖同题练习〗

⒈ 用“一组对边平行且相等”来证:



⒉ 用“对角线互相平分”来证:

〖同类练习〗

⒈ 如图P-13,ABCD中,E、F分别为AB、CD中点,AF、DE相交于G,CE、BF相交于H。求证:四边形EHFG是平行四边形

〖思路分析〗可以先用 来证DEBF,从而得DE∥BF; 再同理证得 ∥ ;最终用 的原理来证得。 〖解题过程〗

图P-

13

⒉ 如图P-14,ABCD中,E、F分别为AB、CD上的点,且DF=BE, 求证:AF=CE

〖思路分析〗可以用全等的方法证,也可以

直接证AECF,从而得对边相等。

〖解题过程〗

方法一:用全等的方法

图P-14

方法二:先证AECF



⒊ 求证:平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。 (要求画图,写出已知、求证并证明)

【例2】如图P-15,O是ABC内一点,D

E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点

求证:四边形DEFG是平行四边形

〖思路分析〗

此类题型是利用中位线原理来证题,要

证DEFG,只要证一组对边平行且相等就 可以了;我们可以选定DE与FG 图P-15 〖解题过程〗

证:∵ 在ABC中,D、E分别是AB、AC的中点

∴ DE∥BC,DE=1/2BC (三角形中位线性质)

同理:FG∥BC,FG=1/2BC

∴ FG=DE (等量代换)FG∥DE

∴ 有DEFG(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

〖练习〗求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

(写出已知、求证并证明)



菱形的性质与判定

三、观察上表,你能发现什么特点?除了上表中的四种判定法之外,你还能找出哪些判定菱形的方法?所有这些方法,你能发现它们的共同点吗?你能不能用一句话说明,到底怎样判定菱形的?

上表的特点是:判定菱形,只用到了边与线,而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质;用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外,

四边形,那么就只要再有一个条件就可以了。

除了表中的四种方法,还可以这样判定菱形:例如,先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形,再证它的一组邻边相等,或证它的对角线互相垂直„„这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结,那就是:只要能先证

四、菱形中的重要解题性质

【菱形的面积与对角线关系原理】 如图L-01,菱形ABCD对角线相交于O,则

1 S菱形ABCD=ACBD 2

【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一

oo 等边三角形;较长的对角线等于边长的倍。

如图L-01,∠BAD=60o,则有:等边

图L-01 ABD,等边BDC ,AC=3BD=AB

【菱形的一些基本性质】

⒈菱形的四条边都相等,周长=边长4;

⒉如图L-01,菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等; ⒊如图L-02

证明:连结AC、BD,交点为O,AC交HE于P,

BD交HG于Q

由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC,

∴HG与EF平行且相等,∴有EFGH

又∵AC⊥BD,AC∥HG,∴HG⊥BD

(垂直于平行线中的一条,必垂直另一条)

∴ ∠HQO=90o,同理∠HPO=90o,

又∵∠POQ=90o,∴∠QHE=90o,

图L-02 ∴ 有矩形EFGH

⒋四边形ABCD对角线AC、BD相交于O,从以下条件中选取3条,可以判

定四边形ABCD是菱形的方法共有8种:①AB=BC,②AB=CD,③BC=AD,④AO=CO,⑤BO=DO,⑥AC⊥BD,⑦AB∥CD,⑧AD∥BC

①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”

①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧:“一组邻边相等的平行四边形”

②③⑥、⑥⑦⑧:“对角线互相垂直的平行四边形”

④⑤⑥:“对角线互相垂直且平分的四边形”

五、典型题例与思路分析

证一个四边形是菱形,有两种思路:可以先由两个条件证得平行四边形,再加一个条件证得菱形;或者直接由三个条件证得菱形。

【例1】如图L-03,AD是ABC的一条角角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:四边形AFDE是菱形。

〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE,再加上

一个条件“邻边相等”即可得菱形。

证:∵DE∥AC,DF∥AB ∴DE∥AF,DF∥AE

∴有AFDE ∵AD是角平分线 ∴∠1=∠2

∵DE∥AC ∴∠3=∠2

∴∠1=∠3 ∴AE=DE 图L-03 ∴有菱形AFDE(一组邻边相等的平行四边形是菱形)

〖同类练习〗

⒈如图L-04,ABC中,∠C=90o,AD是角平分线,ED⊥BC,DF∥BC 求证:四边形AEDF是菱形

图L-04

 

⒉如图L-05,ABC中,AB=AC,O是BC中点,OG⊥AB于G,OD⊥AC于D,DE⊥AB于

E,GF⊥AC于F,GF、DE相交于P

求证:四边形ODPG是菱形

图L-05 【例1】如图L-06

,ABCD的对角线BD的垂直平分

线EF分别交AB、CD、BD于F、E、O

求证:四边形DFBE是菱形。

〖思路分析〗

本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形,

我们可以用全等来证得对角线互相平分。

证:∵ 有ABCD ∴ AB∥DC ∴∠1=∠2,∠3=∠4 图L-06 ∵ EF垂直平分BD ∴ DO=BO

∴DOE≌BOF ∴ OE=OF

∵ EF⊥BD ∴有菱形DFBE(对角线互相垂直平分的四边形是菱形) 〖同类练习〗

⒈如图L-07,过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线分别交

ABCD四条边于E、F、G、H四点

求证:四边形EFGH是菱形

图L-07

〖综合练习〗

⒈☆☆☆如图L-08,ABC中,∠ACB=90o,AD是角平分线,DF⊥AB于F,CD⊥AB于E,求证:四边形CDFG是菱形

〖提示〗用全等可证CD=DF,CG=GF,再证∠3=∠4得CD=CG,即四条边相等

图L-08 

⒉☆☆☆如图L-09,E为四边形ABCD边AB上一点,且AED和EBC都是等边三角形,F、G、H、I分别是四边中点

求证:四边形FGHI是菱形

〖提示〗连结AC和BD,先证AEC≌DEB,得AC=BD;再由中位线原理可得HI=FG=1/2AC,EI=HG=1/2BD,即四条边都相等

图L-09

⒊如图L-

10,AB∥EF,∠1=∠2,DC=DF,求证:四边形DCEF是菱形

图L-10

⒋如图L-11,ABCD中,EF∥BD,BE=BG,

求证:①∠E=∠F ②ABCD是菱形

图L-11



矩形的性质与判定

四、菱形、矩形的比较

⒈二者都是特殊的的平行四边形,菱形是将平行四边形的一组邻边相等,矩形是将其一组邻角相等;所以菱形的角方面没有变化,而矩形的边方面没有变化; ⒉菱形四边相等,矩形四角相等;菱形的对角线互相垂直,而矩形的对角线相等; ⒊二者都既是中心对称图形,又是轴对称图形;对称中心都是对角线交点,对称轴都有2条,菱形的2条是对角线所在直线,矩形2条是对边的中垂线; ⒋菱形四边中点连线所得是矩形,矩形四边中点连线所得是菱形;

⒌菱形对角线交点到四边距离相等,矩形对角线交点到四个顶点距离相等; ⒍二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件就可以了。

五、练习

⒈如图J-01,四边形EFGH是由ABCD四个内角的角平分线围成的

求证:四边形EFGH是矩形

〖提示〗证∠1+∠2=90o,则∠AED=90o,同理 得出另三个角都等于90

o 图J-01

⒉求证:顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。 〖提示〗证四条边都等于对角线长 图J-02

⒊如图J-03,O为菱形ABCD对角线交点,过O点作AD、AB的垂线,与四边分别相交于E、F、G、H 求证:四边形EFGH是矩形

〖提示〗由菱形性质可知∠1=∠2,并由角平分 线原理知OH=OE;同理可得OE=OF,OF=OG, 所以HF与EG相等且互相平分,得矩形 图J-03

⒋求证:①菱形对角线交点到四边的距离都相等;②矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。

⒌如图J-04,矩形ABCD中,AC与BD相交于O

,BE

⊥AC于E,CF⊥

BD于F 求证:BE=CF

图J-04

⒍如图J-05,过矩形ABCD顶点A作AE∥BD,交CD延长线于E,猜想AEC的形状并证明

图J-05

⒎如图J-06,点E是矩形ABCD中CD边上一点,F是AD边上一点,EF⊥BE且 EF=BE,已知矩形周长为22cm,CE=3cm,求DE长 图J-06

正方形的性质与判定

一、正方形的性质与判定比较

二、正方形判定方法

① 简单地说,要判定一个四边形是正方形,就要判定它既是菱形,又是矩形; 如上表中的判定原理1—4,都是这种方法;

② 判定正方形需要四个条件,比较平行四边形、菱形和矩形的判定,判定平行四边形只要两个条件,判定菱形和矩形都要三个条件; ③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形,再加一个条件判定成菱形(或矩形),最后再加一个条件判定成矩形(或菱形),就成了正方形。

三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较

四、例题与练习

【例】如图Z-01,RtABC中,∠ACB=90o,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E, DF⊥AC于F,求证:四边形CFDE是正方形。

〖思路分析〗如前所述,要判定一个四边形是正方形,就要判定它既是菱形,又是矩形;或反之亦然。本例我们可以先证它是矩形,再证它有一组邻边相等;或先证它是菱形,再证它有一个直角。

证法一:先证矩形,再证一组邻边相等 证: ∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90o,

∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o, ∴有矩形CFDE

(三个角是直角的四边形是矩形) 又∵CD平分∠ACB,

图Z-01 DE⊥BC,DF⊥AC

∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)

∴有正方形CFDE(一组邻边相等的矩形是正方形)

证法二:先证菱形,再证一个内角为90o 证:∵DE⊥BC

∴∠DEB=90o,

又∵∠ACB=90o, ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理DF∥CE ∴有CFDE

又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC

∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等) ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o

∴有正方形CFDE(一个角是直角的菱形是正方形)

〖练习〗

⒈如图Z-02,矩形ABCD中,AE平分∠DAB,交CD于E,EF⊥AB于F 求证:四边形AFED是正方形

〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”

图Z-02

⒉如图Z-03,在正方形ABCD中,AE=BF,AF、ED相交于G ①求证:AF=DE ②求证:AF⊥DE 〖提示〗①证ABF≌DAE(SAS)

②证∠2+∠3=90o:由①得∠1=∠3;∠1+∠2=90o 图Z-03



⒊① 如图Z-04,正方形ABCD对角线相交于O,E

为AC上一点,过A作于G,

AG交BD于F,求证:OE=OF

〖提示〗证AOF≌BOE(AAS)

图Z-04

② 如图Z-05,若点E在AC的延长线上,AG⊥BE交EB延长线于G,AG交DB延长线于F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?请证明你的结论

图Z-05 Z-0

【实践题】只给你测量长度的工具,怎样测出一个矩形的物件是否合格?

图J-11

【实践题】不用任何工具,怎样检验一张纸片是正方形?



图Z-04

【专题一】纸片折叠题型

此类题型的关键在折叠前后的等量关系,要能找到哪些线段和角是不变的,它们是题中的隐含条件,要注意应用。 ⒈☆☆☆如图ZD-01,将ABCD纸片沿EF折叠,使C点正好落在A点,D点落在G点,①求证:ABE≌AGF

②判断四边形AECF是什么形,并证明 〖提示〗①折叠之后的等量关系要清楚:

∠D=∠G,∠BAD=∠BCD,AG=CD,AE=EC 再由ABCD得∠D=∠B,AB=CD;最后证 ∠1=∠2,三个条件就具备了 ②AE=EC,AE∥EC,可证AECF,由①可知 AE=AF,所以可得它是„„ 图ZD-01

⒉☆☆☆如图ZD-02,将一矩形纸片沿GF折叠,使点C与A重合,点D落在E处,找出并证明图中的全等三角形

图ZD-02

⒊☆☆如图ZD-03,两张宽度相同的小纸条叠放在一起,围成一个四边形ABCD,判断这个四边形的形状并证明 〖提示〗宽度相同,即高相等,利用面积法可证得AB=AD;而ABCD的证明就„„

图ZD-03

⒋☆☆如图ZD-04,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,C点落在F处,BF交AD于E。已知AB=4,BC=8,求DE长

〖提示〗设DE=x,则AE=8-x;易证∠1=∠3得BE=DE=x,在RtABE中,用勾股定理列出方程即可解得x

图ZD-04

⒌如图ZD-05,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠后,点B到达B的位置,BC与AD交于点E,求证:BD∥AC

〖提示〗易证等腰ACE与等腰BDE,则∠1=∠2

,∠4=

∠5,又由于∠AEC=∠BED,则∠1=∠2=∠4=∠5,得证平行。

图ZD-05

⒍如图ZD-06,将矩形纸片沿AE、EF折叠,使C点落在G处,B点落在H处;



已知∠2=30o,BC长

图ZD-06

⒎如图ZD-07,在矩形纸片ABCD中,

BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的P处,点D落在G处,AD与PG交于H,∠1=30o ①求BE、DF的长 ②求四边形PEFH的面积

〖提示〗设BE=x,则EC=6-x=EP,由∠1=30o得BE=1/2PE求出x及PB、PA、PH、 HG,再证∠1=∠3=∠4=30o可求出GF,而DF=GF;各条线段求出后,四边形PEFH的面积就等于矩形总面积减去两个三角形及一个梯形面积,或者用梯形面积减去FGH的面积 图ZD-07

⒏ ☆☆☆☆☆如图ZD-08,已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将其沿FG折叠,使A点落在CD边上E点处,连结AE,交FG于M,过M作MN∥AB交BC于N,若MN=ME,求MN的长

〖提示〗由折叠含义可知:FG垂直平分AE,所以MN=ME=1/2AE,连结并延长EN,交AB延长线于P,由中位线原理推论可得N为PE中点,且可证得EC=BP,MN=1/2AP,所以AP=AE;设EC=x,则DE=2-x,AE=AP=2+x,在RtADE中,用勾股定理 可得方程:12+(2-x)2=(2+x)2

,最后答案为MN=17/16

图ZD-08

【专题二】动点问题题型

⒈如图D-01,四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BD,BC=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由

C向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形?

图D-01

⒉如图D-02,在

ABC中,点O是AC边上一动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB

的平分线于E,交∠ACB的外角平分线于F, ①求证:OE=OF

②当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论 〖提示〗易证∠1=∠2=∠3,得OE=OC 同理OF=OC,得证OE=OF 图D-02

⒊如图D-03,矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度移动;如果P、Q同时出发,t(s)表示移动时间(0

① 当t为何值时,QAP为等腰直角三角形?

② 求四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论

图D-03


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