27.2圆心角.弧.弦.弦心距之间的关系讲义2

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系

1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

分析：画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB＝∠A′OB′，再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OC，OC′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦心距OC与OC′的大小关系如何? ＝，AB＝A′B′，OM＝OM′. ＝， 容易猜出：证明：证全等的方法，但得不到怎样证明弧相等呢?

回忆等弧的定义是什么?

定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.

你用什么方法让和重合呢? 旋转.

＝. 下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么?

因为∠AOB＝∠A′OB′，所以射线OB与射线OB′重合.

要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合.这两对点分别重合吗? 重合. 你能说明理由吗?

因为OA＝OA′，OB＝OB′，

所以点A与点A′重合，点B与点B′重合.

当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢?

与重合，弦AB与A′B′重合，OC与OC′重合.

为什么OC也与OC′重合呢? 根据垂线的唯一性.

于是有结论：＝，AB＝A′B′，OC＝OC′

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与

弧相等，在书写时要防止出现“AOBAB”之类的错误。

6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系

（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大

弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

7. 辅助线方法小结：

（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：

（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。

8. 圆周角定理推论：

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。） ④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等。

例1. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分∠APC。求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC

分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、

弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线

PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。

证明：

(1)过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N

∵PO平分∠APC

∴OM＝ON

∴AB＝CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）

此题还有几种变式图形，道理是一样的。

①弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。

若PO平分∠APC，求证：PA＝PC

②弦AB、CD交于P点（P点在圆内）

PO平分∠APC，求证：AB＝CD。

此题还可将题设与结论交换一下，即已知AB＝CD，求证：

PO平分∠APC，证法与上面一样，利用弦心距等。

（2）在Rt△POM和Rt△PON中，

12OMPONP

OPOP

POMPON(AAS)

PMPN

11AMAB，CNCD，ABCD 22

AMCN

PMAMPNCN

即PA＝PC

例2. 如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ）

B.AB2CD D.AB与2CD的大小关系不可能确定

分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：

1（1）把AB的一半作出来，然后比较AB与CD的大小； 2（2）把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。 A.AB2CDC.AB2CD

解法一：

11过O点作OFAB于E，则AFFBAB，AEEBAB 221AB2CD，AECDAB 2AFFB，AFFB（等弧对等弦）

在AFB中，AFFBAB，2AFAB

AFCD 2AF2CD，即AB2CD

故选A。

解法二：

1如图，作弦DECD，连结CE，则DECDCE 2

在CDE中，有CDDECE

2CDCE

AB2CD，ABCE

ABCE，AB2CD

例3. 如图，CD为⊙O的弦，ACBD，OA、OB交CD于F、E。

求证：OE＝OF

证法一：连结OC、OD

OCOD，CD

ACBD，COABOD（等弧所对的圆心角相等）

COFDOE

OEOF

证法二：过O点作OM⊥CD于N交⊙O于M

CMMD 又CABD，AMMB

AOMBOM

又FNOENO90，ONON

OFNOEN

OFOE

例4. 如图，⊙O中AB是直径，CO⊥AB，D是CD的中点，DE∥AB。

求证：EC2EA

分析：

在同圆中，要证EC2EA，考虑分别求出EC和EA的度数，

而弧的度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是

求出∠COE、∠AOE的度数。

证明：连结OE

ED//AB，COAB

EDCO

D是CO中点

OEOC，OD1OE，DEO30 2

EOD903060 EC的度数是60

EOADEO30 AE的度数是30

EC2EA 例5. 如图，ABC是等边三角形，AB是⊙O直径，AEEFFB，CE、CF 交AB于M、N。

求证：AM＝MN＝NB

解析一：

由于E、F是半圆AEB的三等分点，故连结OE，

知AOE60，因而AOE也为等边三角形。

所以，EABCBA，即AE//BC，则AME~BMC，

AM1，知AM是直径AB的三等分之一，BM2

同理，BN也是AB的三分之一，可求得

故问题得证。

证法一：连结OE、AE，设等边△ABC的边长为2a

AB为⊙O直径，AEEFFB

1EOA等于AEB的度数 31EOA18060，AOEOa 3

AOE为等边三角形

AEAOa

又EAOCBA60，AE//BC

AME~BMC

AMAEa1 BMBC2a2AM1 AB3

BN1 AB321MNABABAB 33同理，

AMMNNB

解析二：

连结OE，易知OE//AC，也可求得AM，进而可求得AM与半径的比。 MO

证法二：

如图，连结OE，设AC＝2a，则AC＝AB＝2OE＝2a

CAMAOE60，AC//OE

OMOEa1 AMAC2a2OMAM3AM2，即 AM2OA3

AM1故 AB3BN1 AB3

AMMNNB

解析三：

要证AM＝MN＝NB，即证AM：MO＝2：1，

故联想到三角形的重心性质，若能证明

M是△ACG的重心，问题得证。

（三角形的重心即为三角形三条中线的

交点到顶点的距离等于交点到对边中点

距离的2倍）

证明三：

连结AE，并延长交CO的延长线于G

设AC＝2a，则有AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE为等边三角形）

∵AC＝BC，AO＝OB

∴AO⊥CG，∠CAB＝∠GAO＝60°，AO＝AO

∴△AOC≌△AOG

∴OC＝OG，且AG＝AC＝2a

∵AE＝a，∴AE＝EG＝a

即E为AG中点，O为CG中点

∴M为△ACG的重心

AM221AOaAB 3331同理，NBAB 3

AMMNNB

试题

一. 选择题。

1. 在⊙O与⊙O'中，若AOBA'O'B'中，则有（ ）

A. AB

C. ABA'B' A'B' B. ABA'B' D. AB与A'B'的大小无法比较

2. 半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（ ）

A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm

3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一个圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）

A. AB2CD

C. AB2CD B. AB2CD D. AB2CD

4. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16

5. 在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（ ）

A. OMON

C. OMON B. OMON D. 无法确定

BAC20，2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

3. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4. 在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，那么弦CD的弦心距OF＝_______cm，弦CD的长为________cm。

5. 已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP＝_______。

6. 已知A、B、C为⊙O上三点，若AB、BC、CA度数之比为1：2：

3，则∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。

17. 已知⊙O中，直径为10cm，AB是⊙O的，则弦AB＝_________，4

AB的弦心距＝_________。

三. 解答题。

1. 如图：已知，OA为⊙O的半径，AC是弦，OB⊥OA并交AC延长

分别交AC、DB

。求证：DE＝AE。

8. 如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA=x，CD=y． （1） 求BD长； （2） 求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 当CE⊥OD时，求AO的长．