三角形"四心"性质的讨论
20I2年6,J
名师导航
GD:GE:GF=bc:ca:ab.
画心
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文
性质3:设G为△ABC的重心,&ABC三边长分别
为n,b,c,且GD.GE,G玢别垂直于BC,C4,AB,则AG:BG:CG=、压矿荔[彳:、/2c≮j孑二矿:
X/--2d+2/12_cj.
证明:设m。.m。.m,分别为边BC,CA,ABE的中线
窝
的长度,由中线公式:
‘,尊
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⑧新疆石河子
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故帕BG:CG=;町了2嘶j2
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2.c
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三角形的“四心”Ⅱ|J再心、晕心、内心和外心.通过查阅文献发现,已有的关于--:f11形“四心”的研究t要包括“四心”的判定方法、“四心”的向壤形r℃等方面.本文在已有研究的基础上,探讨二角形“四心”的其他性质|j}{丁篇幅,只就重心和内心作讨论,其余“两心”的4陀质可f衣此探时.
、厄琢^2:2X/2d—+2b—2-c2.
怔巧:‘+一b
=、压ij;五2五2
三、关于内心的性质
性质l:设,为AABC的内心,△ABC三边长分别为a.b,c,且
m,厄,,盼别垂直于日c,CA,AB,则:
ID:IE:,肚l:J:1.此结论显然成立.
性质2:设,为AABC的内心,△ABC三边长分别为a,b,c,月.
一、“两心”的坐标表示
(1)设G为△,1片。的匝.L、+其中4(TI.’1),B(X2,Y2).C(x,,Y))
则重心c的坐#】i£l。I+0¨1.㈠譬+_
J
j
Ⅲ,厄,伊分别垂直于BC,CA,AB,贝,llAI:BI:CI=、/6c(b+c一Ⅱ):
该结论显然成正.尤颈正明.
(2)设,为△4口c的内心.j£中1㈠.,.】,B(x。’二).C(x3.”)
、/r・nrc丽:、/孤i而j).
证明-
则重心肋々坐标为,】(Lrl+b.。j“’、‘,“11¨?:"j’1.
证明.
如图3所爪,延长A,,BI,CI.分别交BC,们,A厅于点P.Q.R,由梅涅劳斯定理得,I用A.
如罔1,i殳AD,/_iE7j『fj平分线,南角、r分线定理知,BD:DC=c:b,代人分点坐标公
’焉。扣结合角平分线定理.上式可
C
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式得D点坐标为{67”。’.肌.:押_l,ln悔h+r
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变为MPI.-}’去=l,化简得.1a=害熹,4P同理可得,倡=
涅劳斯定理得.DI:,1-“:(^+r).再运用分点公式即得内心坐标,
,“1+厶r!+(X。
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图1
rnI+厶h+(¨
a+b+‘
堑画c)匦一.BQ:
D+c
Ⅱ+6+c
“托BQ,IC:』竺CR.再由角平分线公式得,AP=
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X/‘c。。。a。。’’(。。。a+b。+‘c。。。‘。)。。。(。。。a。+c-。。b‘——)
叶f
.C尺=
二、关于重心的性质
性质1:设c为A4BC的重,h△d曰ci边长分别为Ⅱ,6而则S,~赫s_gJ÷s二mtFl㈠1
I.
些(翅夏巫至丑
将其代入伪。m,,c三式并化简得
A,:BI:CI=、/5c(再c二万:、/五百ii二耵:、/赢石;再万.
性质3:设,为△A口c的内心,△ABc三边长分别为n,b,c,则S“N:S△w:S∞,=c:a:b.结论显然成立.
此结论显然成市.证明略.
性质2:设G为△ABc的重心.△ABC<边长分别为Ⅱ,b,c,11GD,GE.GF分别垂直十BC.CA..4占,lJ!l】
CD:GE:G,!bc:f“:“6.
证明:
参考文献1
如图2所示,因为Si.,,=.,.,。=_,。。敞
1.蔡明.用向量观点看三角形的“四心”问题[J].数学教学研
C
罔2
』Ⅱ.GD:1^.GE一1(一GF,小难证得
究,2007,2.一
万方数据
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