20**年高一新生入学考试数学试卷(四)
2011年高一新生入学考试数学试卷(四)
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)每小题只有一个正确选项
1.(2004•嘉兴)计算(﹣2)×(﹣3)的结果是( )
A.6 B.5 C.﹣5 D.﹣6
2.某日我国三城市的最高气温分别是﹣10°c,1°c,﹣7°c把它们从高到低排列正确的是( )
A.﹣10°c,﹣7°c,1°c B.﹣7°c,﹣10°c,1°c C.1°c,﹣7°c,﹣10°c
10°c,﹣7°c
3.(2010•安徽)如图,下列四个几何体中,其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是( ) D.1°c,﹣
A
. B
. C. D.
4.下列各运算正确的是( )
5.反比例函数
6.已知关于x的方程x+mx﹣5=0的一根为x=﹣1,则它的另一个根为( )
A.﹣5 B.5 C.1 D.2
7.如下图所示,D在AB上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
2A.m2+m3=m5 B.m2•m3=m5 C.(m2)3=m5 D.(m2)3=m8 的图象经过下列各点中的( ) B.(﹣2,3) C.(﹣1,6) D.(10,0.6) A.(1,﹣6)
A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C.BE=CD D.AB=AC
8.(2008•自贡)如图,在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止.在这个过程中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是( )
A.
B. C.
D.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)
9.因式分解x﹣4x=
10.方程组
11.(2010•楚雄州)函数y=的自变量x取值范围是 的解为. 42
12.将数据700.3用科学记数法表示为 _________ .
13.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=
14.如图△ABC中,∠C=30°,∠B为x度,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠DAE为y度.则y与x之间的函数关系式是
15.如图,是一块长方形的场地,长AB=52m,宽AD=41m.从A,B两处入口的小路宽都为1m,两条小路汇合处宽为2m,其余部分种植草坪,则草坪的面积为 _________ m. 2
论:①AC⊥DE;②AF=CF;③EF=3DF;④
情给分)
. ,其中正确的结论序号是 _________ (错填得0分,少填酌
三、(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 17.先化简,再求值:,其中.
18.(2008•义乌市)“一方有难,八方支援”.四川汶川大地震牵动着全国人民的心,我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川.
(1)若随机选一位医生和一名护士,用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果;
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率.
19.一种花边是由如图的弓形组成,弧ACB的半径为5,弦AB=8
.求弓形的高.
四、(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
20.(2006•长沙)某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况,采取抽样的方法,从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图(如图1,图2),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次研究中,一共调查了多少名学生?
(2)“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度?
(3
)补全频数分布折线图.
21.(2008•濮阳)如图,已知:在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.(特别提醒:表示角最好用
数字)
五、(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
22.(2010•杭州)如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为40千米/时,受影响区域的半径为260千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离P点480千米.
(1)说明本次台风是否会影响B市;
(2)若这次台风会影响B市,求B
市受台风影响的时间.
23.(2004•河北)光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表:
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.
六、(本大题共2个小题,第24题11分,第25题13分,共24分)
24
.(2008•南京)如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A,B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
25.如图,二次函数y=﹣x+ax+b的图象与x轴交于
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)直接写出不等式﹣x2+ax+b>0的解集;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,请求出点P的
坐标;若不存在,说明理由. 2、B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
2011年高一新生入学考试数学试卷(四)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)每小题只有一个正确选项
1.(2004•嘉兴)计算(﹣2)×(﹣3)的结果是( )
A.6 B.5
考点:有理数的乘法。 C.﹣5 D.﹣6
分析:根据有理数乘法法则进行计算.
解答:解:原式=6.
故选A.
点评:本题考查了有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘,都得0.
2.某日我国三城市的最高气温分别是﹣10°c,1°c,﹣7°c把它们从高到低排列正确的是( )
A.﹣10°c,﹣7°c,1°c B.﹣7°c,﹣10°c,1°c C.1°c,﹣7°c,﹣10°c
10°c,﹣7°c
考点:有理数大小比较。
专题:计算题。
分析:有理数大小比较的法则计算即可:①正数都大于0; ②负数都小于0; ③正数大于一切负数; ④两个负数,绝对值大的其值反而小.
解答:解:∵1℃>﹣7℃>﹣10℃,
∴从高到低排列正确的,1℃、﹣7℃、﹣10℃.
故选C.
点评:本题考查了有理数大小比较的法则,解题的关键是牢记法则,此题比较简单,易于掌握.
3.(2010•安徽)如图,下列四个几何体中,其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是( ) D.1°c,﹣
A.
B. C. D.
考点:简单几何体的三视图。
分析:如图,图中有正方体、球体、三棱柱以及圆柱体,根据三视图易得出答案.
解答:解:正方体和球体的主视图、左视图以及俯视图都是相同的,排除A、B.
三棱柱的正视图是一个矩形,左视图是一个三角形,俯视图也是一个矩形,但与正视图的矩形不相同,排除C. 圆柱的正视图以及俯视图是相同的,因为直径相同,
故选D.
点评:本题只要了解清楚各个几何体的三视图即可得解.难度一般.
4.下列各运算正确的是( )
A.m+m=m B.m•m=m C.(m)=m
考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法。
专题:计算题。 235235235 D.(m)=m 238
分析:根据合并同类项、幂的运算am•an=am+n;(am)n=amn(a≠0,m、n为正整数)分别进行判断即可.
解答:解:A、m+m≠m,所以A选项错误;
232+35B、a•a=a=m,所以B选项正确;
C、(a)=a,所以C选项错误;
D、(a2)3=a6,所以D选项错误.
故选B.
点评:本题考查了幂的运算:am•an=am+n;(am)n=amn(a≠0,m、n为正整数).也考查了合并同类项. 5.反比例函数
A.(1,﹣6) 的图象经过下列各点中的( ) B.(﹣2,3) C.(﹣1,6) D.(10,0.6) 236
考点:反比例函数图象上点的坐标特征。
分析:根据反比例函数图象上点的坐标特征,只有xy=6才符合要求,进行验证即可. 解答:解:根据反比例函数,即可得出xy=6,利用所给答案只有10×0.6=6,
∴只有D符合要求,
故选:D.
点评:此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,根据xy=6直接判断是解题关键.
6.已知关于x的方程x2+mx﹣5=0的一根为x=﹣1,则它的另一个根为( )
A.﹣5 B.5 C.1 D.2
考点:一元二次方程的解;根与系数的关系。
分析:根据一元二次方程的两根之积求得方程的另一根即可.
解答:解:设方程的另一个根是x.根据根与系数的关系,得
﹣1×x=﹣5,
x=5.
故选:B.
点评:此题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据已知一根利用根与系数关系求出是解题关键.
7.如下图所示,D在AB上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是(
)
A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C.BE=CD D.AB=AC
考点:全等三角形的判定。
分析:三角形中∠B=∠C,∠A=∠A,由全等三角形判定定理对选项一一分析,排除错误答案.
解答:解:添加A选项中条件可用AAS判定两个三角形全等;
添加B选项以后是AAA,无法证明三角形全等;
添加C选项中条件可用AAS判定两个三角形全等;
添加D选项中条件可用ASA判定两个三角形全等;
故选B.
点评:本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是(
)
A.
B. C.
D.
考点:动点问题的函数图象。
专题:动点型。
分析:根据实际情况来判断函数图象.
解答:解:当点p由点A运动到点B时,△APD的面积是由小到大;
然后点P由点B运动到点C时,△APD的面积是不变的;
再由点C运动到点D时,△APD的面积又由大到小;
再观察图形的BC<AB<CD,故△APD的面积是由小到大的时间应小于△APD的面积又由大到小的时间. 故选B.
点评:应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)
9.因式分解x4﹣4x2=2(x﹣2)(x+2) .
考点:提公因式法与公式法的综合运用。
分析:先提取公因式x2,再利用平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),进行分解,即可求出答案.
解答:解:x4﹣4x2
=x2(x2﹣4)
=x(x﹣2)(x+2).
故答案为:x2(x﹣2)(x+2).
点评:此题主要考查了用公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
10.方程组的解为
2
考点:解二元一次方程组;解一元一次方程。
专题:计算题。
分析:①+②得到一个关于x的方程,求出x,①﹣②得到一个关于y的方程,求出y即可. 解答:解:
,
∴x=3,
①﹣②得:2y=8,
∴y=4, ∴方程组的解是.
点评:本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的解法,关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程.
11.(2010•楚雄州)函数y=的自变量x取值范围是.
考点:函数自变量的取值范围。
分析:根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可知:3﹣x≥0,解得x的范围.
解答:解:根据题意得:3﹣x≥0,
解得:x≤3.
点评:本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
12.将数据700.3用科学记数法表示为2 .
考点:科学记数法—表示较大的数。
分析:科学记数法的表示形式为a×10的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:解:将700.3用科学记数法表示为7.003×102.
故答案为:7.003×102.
n点评:此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表
示时关键要正确确定a的值以及n的值.
13.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=
度. n
考点:多边形内角与外角。
专题:应用题。
分析:连接∠1和∠4的顶点,可得两个三角形,根据三角形的内角和定理即可求出答案.
解答:解:连接∠1和∠4的顶点,可得两个三角形,
根据三角形的内角和定理,∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
故答案为360°.
点评:本题主要考查三角形的内角和为180°定理,需作辅助线,比较简单.
14.如图△ABC中,∠C=30°,∠B为x度,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠DAE为y度.则y与x之间的函数关系式是
x°﹣15° .
考点:三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高。
专题:应用题。
分析:根据AE平分∠BAC,得到∠BEA的大小.再根据垂直定义,得到直角三角形,在直角△ABD中,可以求得∠BAD的度数,即可求的y与x的函数关系式.
解答:解:∵∠C=30°,∠B为x度,
∴∠BAC=180°﹣30°﹣x°=150°﹣x°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∠CAD=180°﹣90°﹣30°=60°,
∵∠C=30°,AE平分∠BAC,
∴
∠CAE=×(150°﹣x°)=75°﹣x°,
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=60°﹣(75°﹣x°)=x°﹣15°. 故答案为y=x°﹣15°.
点评:本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义,综合利用了直角三角形的性质.
15.如图,是一块长方形的场地,长AB=52m,宽AD=41m.从A,B两处入口的小路宽都为1m,两条小路汇合处宽为2m,其余部分种植草坪,则草坪的面积为 2000 m2
.
考点:平移的性质;矩形的性质。
分析:本题要看图解答.从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形,然后根据题意求出长和宽,最后可求出面积
解答:解:由图片可看出,剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形,
且这个长方形的长为52﹣2=50m,
这个长方形的宽为:41﹣1=40m,
因此,草坪的面积=50×40=2000平方米.
故答案为:2000.
点评:此题主要考查了矩形的性质,以及平移,有一定的思维含量,得出草坪正好拼成长方形是解题的关键.
16.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,D点在AB上,设DE交AC于点F,有下列四个结论:①AC⊥DE;②AF=CF;③EF=3DF;④,其中正确的结论序号是 ①③④ (错填得0分,少填酌情给分)
.
分析:此题需根据含30度角的直角三角形的性质对每一项进行分析,即可求出答案.
解答:解:①∵△DAE≌△CBA,
∴∠E=∠CAD,
∵∠E+∠EDA=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,
∴∠AFD=90°,
∴AC⊥DE,
故本选项正确;
②∵∠E=30°,
∴
AF=AE=AB,
∴AF≠CF;
故本选项错误;
③∵∠CAD=30°,
∴AD=2DF,
∵∠E=30°,
∴ED=2AD,
∴ED=4DF,
∴EF=3DF;
故本选项正确;
④设BC=1,则AD=1,
∵∠CAD=30°,
∴AB=cot30°×1=
∴,
∴; ,
故本选项正确.
故填:①③④.
点评:此题考查了含30度角的直角三角形,解题的关键是综合利用30度角的直角三角形的性质进行解答.
三、(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 17.先化简,再求值:
考点:分式的化简求值。
专题:计算题。
分析:先把括号内通分得原式=
解约分得原式=2(x+2),然后把x=
解答:解:原式=•﹣2代入计算即可. •
,再把各分式的分子和分母因式分,其中.
=•
=
=2(x+2)
•
当x=﹣2,
原式=2(﹣2)+4=2.
点评:本题考查了分式的化简求值:先把括号内通分,再把各分式的分子或分母因式分解,然后约分得到最简分式或整式,再把满足条件的字母的值代入计算即可.
18.(2008•义乌市)“一方有难,八方支援”.四川汶川大地震牵动着全国人民的心,我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川.
(1)若随机选一位医生和一名护士,用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果;
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率.
考点:列表法与树状图法。
分析:列举出所有情况,让恰好选中医生甲和护士A的情况数除以总情况数即为所求的概率.
解答:解:(1)用列表法或树状图表示所有可能结果如下:(4分)
(2)因为共有6种等可能的结果,其中恰好选中医生甲和护士A的有1种,
所以P(恰好选中医生甲和护士A)=.(3分)
点评:此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
19.一种花边是由如图的弓形组成,弧ACB的半径为5,弦AB=8.求弓形的高.
考点:垂径定理的应用;作图—基本作图。
分析:设弓形所在圆的圆心为O,连接OC、OA,在构造的Rt△OAD中,利用垂径定理和勾股定理即可求出弓形的高CD的长.
解答:解:如右图,连接OC、OA,设OC与AB的交点为D点.
在Rt△OAD中,OA=5,OD=5﹣CD,AD=AB=4;
由勾股定理得:5=(5﹣CD)+4,
解得CD=2.
故弓形的高为2. 222
点评:此题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合应用,属于基础题型,比较简单.
四、(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
20.(2006•长沙)某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况,采取抽样的方法,从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图(如图1,图2),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次研究中,一共调查了多少名学生?
(2)“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度?
(3
)补全频数分布折线图.
考点:频数(率)分布直方图;频数(率)分布折线图;扇形统计图。
专题:阅读型。
分析:(1)由“运动”的人数和所占比例,求出全部调查人数;
(2)根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是:圆心角的度数=百分比*360度计算出“其它”在扇形图中所占的圆心角;
(3)根据各项的比例,求出各项的人数,补全折线图.
解答:解:(1)运动的人数为20人,占的比例为20%,则全部调查人数:20÷20%=100人;
(2)阅读的人数为30人,则阅读占的比例:30÷100=30%,其它占的比例=1﹣20%﹣40%﹣30%=10%,则表示其它的扇形的圆心角:360°×10%=36°;
(3)其它的人数:100×10%=10人,娱乐的人数=100×40%=40人,如图.
点评:本题考查统计知识的应用,试题以图表为载体,要求学生能从中提取信息来解题,与实际生活息息相关,符合新课标的理念.
21.(2008•濮阳)如图,已知:在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形?
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.(特别提醒:表示角最好用
数字)
考点:菱形的判定;线段垂直平分线的性质;正方形的判定。
专题:几何综合题。
分析:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;
(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°时,∠EBF=90°,有菱形为正方形,根据直角三角形中两个角锐角互余得,∠A=45度.
解答:解:(1)四边形BECF是菱形.
证明:EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,
∴∠1=∠3,
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
∴EC=AE,
又∵CF=AE,BE=EC
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
(2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.
证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠1=45°,
∴∠EBF=2∠A=90°,
∴菱形BECF是正方形.
点评:本题利用了:菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质.
五、(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)
22.(2010•杭州)如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为40千米/时,受影响区域的半径为260千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离P点480千米.
(1)说明本次台风是否会影响B市;
(2)若这次台风会影响B市,求B
市受台风影响的时间.
考点:勾股定理;垂径定理的应用。
分析:(1)作BH⊥PQ于点H,在Rt△BHP中,利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可.
(2)以B为圆心,以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点,根据垂径定理即可求出P1P2的长,进而求出台风影响B市的时间.
解答:解:(1)作BH⊥PQ于点H.
在Rt△BHP中,
由条件知,PB=480,∠BPQ=75°﹣45°=30°,
∴BH=480sin30°=240<260,
∴本次台风会影响B市.
(2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束. 由(1)得BH=240,由条件得BP1=BP2=260,
∴P1P2=2
∴台风影响的时间t==200, =5(小时).
故B市受台风影响的时间为5
小时.
点评:本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用,解答此题的关键是构造出直角三角形及圆.
23.(2004•河北)光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租
函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议. 考点:一次函数的应用。
专题:方案型。
分析:(1)在A、B两地分配甲、乙两种类型的收割机,注意各数之间的联系;
(2)由租金总额不低于79 600元求出x的取值范围设计分配方案;
(3)此为求函数的最大值问题.
解答:解:(1)若派往A地区的乙型收割机为x台,
则派往A地区的甲型收割机为(30﹣x)台,
派往B地区的乙型收割机为(30﹣x)台,
派往B地区的甲型收割机为20﹣(30﹣x)=(x﹣10)台.
∴y=1600x+1800(30﹣x)+1200(30﹣x)+1600(x﹣10)=200x+74 000,
x的取值范围是:10≤x≤30,(x是正整数);
(2)由题意得200x+74 000≥79 600,解不等式得x≥28,
由于10≤x≤30,x是正整数,
∴x取28,29,30这三个值,
∴有3种不同的分配方案.
①当x=28时,即派往A地区的甲型收割机为2台,乙型收割机为28台;派往B地区的甲型收割机为18台,乙型收割机为2台;
②当x=29时,即派往A地区的甲型收割机为1台,乙型收割机为29台;派往B地区的甲型收割机为19台,乙型收割机为1台;
③当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机全部派往B地区;
(3)由于一次函数y=200x+74 000的值y是随着x的增大而增大的,
所以当x=30时,y取得最大值,
如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x=30,此时y=6000+74 000=80 000.
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.
点评:本题是贴近社会生活的应用题,赋予了生活气息,使学生真切地感受到“数学来源于生活”,体验到数学的“有用性”.这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式.
六、(本大题共2个小题,第24题11分,第25题13分,共24分)
24.(2008•南京)如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A,B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
考点:切线的判定;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质。
专题:几何综合题。
分析:(1)PN与⊙O相切于点Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值;
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,则△PAB∽△POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
解答:解:(1)连接OQ,
∵PN与⊙O相切于点Q,
∴OQ⊥PN,
即∠OQP=90°,(2分)
∵OP=10,OQ=6,
∴PQ==8(cm).(3分)
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C,
∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PA=5t,PB=4t,
∵PO=10,PQ=8,
∴,
∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PQO=90°,(4分)
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四边形OCBQ为矩形.
∴BQ=OC.
∵⊙O的半径为6,
∴BQ=OC=6时,直线AB与⊙O相切.
①当AB运动到如图1所示的位置,
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t,
∵BQ=6,
∴8﹣4t=6,
∴t=0.5(s).(6分)
②当AB运动到如图2所示的位置,
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8,
∵BQ=6,
∴4t﹣8=6,
∴t=3.5(s).
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切.(8分)
点评:本题主要考查了圆的切线的性质,切线垂直于过切点的半径.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
25.如图,二次函数y=﹣x+ax+b的图象与x轴交于
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)直接写出不等式﹣x2+ax+b>0的解集;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,请求出点P的
坐标;若不存在,说明理由. 2、B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
考点:二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与不等式(组);直角梯形。
分析:(1)∵二次函数y=﹣x+ax+b的图象经过2、B(2,0)两点,利用待定系数法就可以直接求出a、b的值,求出抛物线的解析式.
(2)不等式﹣x2+ax+b>0的解集,实际上就是y=﹣x2+ax+b>0时x的取值范围,利用抛物线与x轴的交点和图象特征就可以求出.
(3)在(1)题已将证得∠ACB=90°,若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形,则有两种情况需要考虑: ①以BC、AP为底,AC为高;可先求出直线BC的解析式,进而可确定直线AP的解析式,联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标.
②以AC、BP为底,BC为高;方法同①.
解答:解:(1))∵二次函数y=﹣x+ax+b的图象经过2、B(2,0
)两点,由题意,得
,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x+x+1.
∴C(0,1),
∴AC2=AO2+CO2=,
CB2=BO2+CO2=5,
AB
=
222, 22∴AC+CB=AB,
∴△ACB是直角三角形;
(2)由图象得原不等式的解集为:
﹣<x<2
(3)存在,点P(,﹣)或(﹣,﹣9);
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底;
∵B(2,0),C(0,1),
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+1;
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=﹣x+h,
将点
A(﹣,0)代入得:(﹣)×(﹣)+h=0,h=﹣;
∴y=﹣x﹣;
联立抛物线的解析式有:
, 解得,;
∴点P(,﹣);
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底,
同理可求得P(﹣,﹣9);
故当P(,﹣)或(﹣,﹣9)时,以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形.
(根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可)
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求抛物线的解析式,相似三角形的判定与性质,二次函数与不等式的关系,直角梯形的运用.
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