贝叶斯公式的教学研究

教 学 研 探

贝叶斯公式的教学研究

赵梅妹

（西安翻译学院基础部数学教研室　陕西　西安　710000）

摘　要：贝叶斯公式是概率论教学中的重点,也是难点. 本文从如何使学生更容易理解和运用知识的角度,通过选择典型的例题,对公式的讲解给出新的尝试,并且得到了良好的教学效果。

关键词：贝叶斯公式　完备事件组　原因组

贝叶斯公式由数学家贝叶斯于1763年发表，在医学、通信、工程、经济、决策分析和社会统计等方面都有很多应用. 贝叶斯公式是概率论中的重要公式,也是教学中的一个难点. 它的意义在于,一事件(结果)已经发生,要考察引起该事件(结果)发生的各种原因的可能性的大小.实际上,它涵盖了全概率以及条件概率公式,因此,更为复杂.另一方面,贝叶斯公式的题目多样,所以学生在学习这部分内容时,往往无从下手.事实上,只要帮助学生明确以下两个问题,自然会豁然开朗.

问题1 :什么时候使用贝叶斯公式?问题2 :如何使用贝叶斯公式?

我将通过下面的例题,来回答上面的问题。

n

例1:人们为了解一支股票未来一定时期内的价格变化,往往会去分析影响股票价格的因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计,利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计在利率下调的情况下,该支股票上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,若该支股票上涨,试求确实由于利率下调引起股票上涨的概率。

分析: 首先,要使学生理解公式

P (A i |B ) =

P (A ) P (B |A )

i

i

∑P (A ) P (B |A )

i =1

.

公式中, 事件B往往表示结果, Ai 表示引起事件B发生的第i个原因,分子P(Ai )P(B|Ai )表示Ai 发生同时引起事件B发生的概率,分母

∑P (A ) P (B |A ) =P (B ) (全概率公式)表示事件B发生的概率,P(Ai |B)

i =1

i

i

式，特别是对动手操作型学习模式的使用有较大的促进作用。表4.2和4.3中的数据也再次验证了以上的结论。

研究结果发现，对大多数高职学生来说，在英语学习中的学习风格偏好并无显著差异性。每一种学习风格都有其优势和劣势，使用任何一种或几种学习模式都有可能取得好的学习成绩。因此，教师应当鼓励学生兼容并蓄，调整和改进自己偏好的学习风格，同时也培养不同的学习风格。

每一种学习风格都有其最适宜的学习环境和教学方法，因此教与学的和谐一致成为教学过程中最需要重视的问题。教师不仅需要运用不同的方法来教授不同认知风格的学生，而且这些教学方法也应当有利于学生逐渐形成灵活的认知方式。然而，学生的学习风格是多样和复杂的，这就要求教师要尽可能的了解每一个学生的特点，了解各个班级和专业学生的不同倾向，并据此制定相应的教学方案。采用综合性、多样化的教学方法，从多个渠道、多种途径呈现教学内容，以培养适应性更强、更高层次的高职英语人才。

参考文献：

[1]. Reid, J. M. Learning styles in the ESL/EFL classroom [C]. Foreign Language Teaching and Research Press，2002.

[2]. 刘润清. 外语教学中的科研方法[M]. 外语教学与研究出版社，1999.

[3]. 文秋芳. 英语成功者与不成功者在学习方法上的差异[J].外语教学与研究,1995,(3): 61-66.

[4]. 文秋芳. 传统和非传统学习方法与英语成绩的关系[J]. 现代外语, 1996，(1):55-59.

表4.4按照受试学生英语成绩高、中、低分组，进行均值比较，可以看出三组学习者六种学习风格使用的均值都大于25，说明这三个组别的学习者都普遍采用多种学习风格，这一结果与Reid (1987)的调查结果一致，也就是说学习者的成绩不取决于其采用的学习风格。

表4.3和4.4的结论说明，学习者的成绩高低不取决于其采用的学习风格，即学生的学习风格不是影响学习成绩的关键因素。同时英语成绩与动手操作型学习模式的显著相关性也表明这种学习模式相比其他五种学习模式对学习成绩的影响更明显，究其原因可能是与当代高职生的认知习惯有关。当代学生喜欢通过可触及的实物或建造性的任务学习，学习过程中掺杂表情、手势、活动等形式较多。因此，动手操作型学习模式与英语成绩有显著相关性。

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表示事件B已经发生,由Ai 引起B发生的概率(后验概率),P(Ai ) 称为先验概率.P(Ai )在没有进一步信息(不知道B是否发生)的情况下诸事件发生的概率,在获得新的信息(知道B发生)后,人们对诸事件发生的概率P(Ai |B)就有了新的估计。

从公式的结构可以看出,关键是寻找完备事件组A1,A 2,…,An .虽然我们知道完备事件组具备两个特点：(1)两两互不相容;(2）和事件是样本空间.但是如何将这两点和实际问题有机的结合起来呢?这个纽带就是贝叶斯公式中的完备事件组的另外一个身份,即,引起结果发生的所有并列的原因.简言之,完备事件组就是原因组. 其中,＂所有＂对应的含义就是＂样本空间＂,而＂并列＂对应的含义就是＂两两互不相容＂．于是,我们便可以回答上面的两个问题。

什么时候使用贝叶斯公式呢?当题目中提到几条并列的原因而问题却是根据结果求原因的概率时,往往可以使用贝叶斯公式.该例提到了两个原因,一个是利率下调,另一个是利率不变.也就是两个并列的原因,而问题是已知股票上涨(结果),求由于利率下调

(原因)引起股票上涨(结果)的概率.所以,应使用贝叶斯公式.如图1.

图 1

接下来的问题就是如何使用贝叶斯公式.只要将题目中的所有的并列的原因找到,就等于找到了完备事件组.＂利率下调＂和＂利率不变＂,是引起＂股票上涨＂的所有的并列的原因(原因组),构成完备事件组．设A1=”利率下调”,A2= ”利率不变”,B= ”该支股票价格上涨”,则A 1A 2=∅, A 1+A 2=Ω(样本空间).所以,A1A 2的确构成完备事件组。

解:设A1=”利率下调”,A2= ”利率不变”,B=”该支股票价格上涨”。

P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.4,由贝叶斯公式得,

P (A 1|B ) =

P (A 1) P (B |A 1) 0.6×0.8

==0.75.

11+22×+×解: 设Ai =”取到的样品由第i家生产”(i=1,2,3) ,B=”取到的样品是合格品”.则P(A1)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.93,P(B|A2)=0.92,P(B|A3) =0.98.

由贝叶斯公式得,

P (A 1|B ) =

∑P (A ) P (B |A )

i =1

i

i

P (A 1) P (B |A 1)

=

0.25×0.93

=0.248.

×+×+×0.5×0.92

≈0.49

P (A 2|B ) =

∑P (A ) P (B |A )

i =1

i

i

P (A 2) P (B |A 2)

=

P (A 3|B ) =

∑P (A ) P (B |A )

i =1

i

i

P (A 3) P (B |A 3)

=

0.25×0.98

≈0.26

∵P(A1|B)﹤P(A3|B)﹤P(A2|B).

∴取到的合格品由第二家工厂生产的可能性最大.

例3 已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?

分析:＂挑选的人是色盲患者＂是已经发生的结果,该患者可能是男性,也可能是女性.这两个并列的原因恰好构成完备事件组,且问题是已知挑选的人是色盲患者求该患者为男性的概率,即根据

结果问原因,所以使用贝叶斯公式.如图3.

图3

设A1=” 挑选人是男性”,A2= ” 挑选人是女性”,B=” 挑选人是色盲患者”,则A 1A 2=∅, A 1+A 2=Ω所以,A1A 2构成完备事件组.

解：设A1=” 挑选人是男性”,A2=” 挑选人是女性”,B=” 挑选人是色盲患者”,

则,P(A1)=0.5,P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.0025.由贝叶斯公式,

P (A 1|B ) =

P (A ) P (B |A ) 0.05×0.5 ==0.95

11+22×+×例2:设一批同类型产品是由三家工厂所生产的,已知其中1/2的产品是由第二家工厂所生产的,其他两个各生产1/4,又已知第一家工厂生产的有93%是合格品,第二家工厂生产的有92%是合格品,第三家生产的有98%是合格品,现从这批产品中任取一件样品,若抽取的是合格品,试判断该产品由哪家生产的可能性大?

分析:取到的样品是合格品(结果),可能由第一家生产,也可能由第二家生产,还有可能由第三家生产,引起结果发生的原因有三个,即,”第一家生产”,” 第二家生产”,” 第三家生产”.该题问可能性最大,实际是,告诉我们使用三次贝叶斯公式.也就是比较每种原因发生并导致同一结果发生的概率,概率最大则可能性最大. 而这三个原因就是所有的并列的原因(原因组),即,完备事件组.设A i =”取到的样品由第i家生产”(i=1,2,3),则必有A i A j =∅(i , j =1, 2,3), , A 1+A 2+A 3=Ω所以,A1，A2，A3构成完备事件组. 如图2。

从上面典型的例题,可以看出,无论题目的背景多么千变万化，只要我们抓住” 根据结果求原因”这一点，就能够快速的判断是否使用贝叶斯公式,接下来的任务就是确定完备事件组.而能够准确的找到完备事件组的关键就是成功找到所有的并列的原因(原因组).

总之,贝叶斯公式的问题实际就是根据结果求原因.该结论使得复杂、抽象的问题,转化为学生容易接受的原因结果问题,再结合图表,进一步使问题简单化,直观化,帮助学生更好的理解并熟练的运用公式,从而达到了良好的教学效果.

参考文献：

[1]吴赣昌．概率论与数理统计．中国人民大学出版社,2006.

图2

[2]运怀立．概率论与数理统计．中国人民大学出版社,2009.

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贝叶斯公式的教学研究

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

赵梅妹

西安翻译学院基础部数学教研室 陕西 西安 710000现代企业教育

Modern Enterprise Education2012(17)

参考文献(2条)

1. 吴赣昌 概率论与数理统计 20062. 运怀立 概率论与数理统计 2009

引用本文格式：赵梅妹 贝叶斯公式的教学研究[期刊论文]-现代企业教育 2012(17)