中考数学(圆提高练习题)压轴题训练

《圆》

一、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ⇒ d r ⇒ 点A 在圆外； 二、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ⇒ d >r ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d =r ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d

三、圆与圆的位置关系

外离(图1) ⇒ 无交点 ⇒ d >R +r ； 外切(图2) ⇒ 有一个交点 ⇒ d =R +r ； 相交(图3) ⇒ 有两个交点 ⇒ R -r

图4

图5

图1

图2

图3

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四、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE =DE ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 五、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①∠AOB =∠DOE ；②AB =DE ；③OC =OF ；④ 弧BA =弧BD 中任意1个条件推出其他3个结论。 六、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB =2∠ACB 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C =∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

B

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C =90︒ ∴∠C =90︒ ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

C D D

A

C

O

即：在△ABC 中，∵OC =OA =OB

∴△ABC 是直角三角形或∠C =90︒

注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。 七、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 八、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA =PB ，PO 平分∠BPA 九、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O 1O 2垂直平分AB 。

即：∵⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点 ∴O 1O 2垂直平分AB 十、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

(1)公切线长：Rt ∆O 1O 2C 中，AB 2=CO 12=

(2)外公切线长：CO 2是半径之差； 内公切线长：CO 2是半径之和 。

M A N

A

(1)正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，

有关计算在Rt ∆

BOD 中进行：OD :BD :OB =2； (2)正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt ∆OAE 中进行，

OE :AE :OA = (3)正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt ∆OAB 中进行，

AB :OB :OA =2.

十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：(1)弧长公式：l =

n πR

； 180

O l

n πR 21

=lR (2)扇形面积公式： S =

3602

n ：圆心角 R ：扇形所对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱： (1)圆柱侧面展开图

S 表=S =2πrh +2πr 侧+2S 底(2)圆柱的体积：V =πr h (2)圆锥侧面展开图

(1)S 表=S 侧+S 底=πRr +πr (2)圆锥的体积：V =πr h

2

2

2

1

母线长

C 1

13

2

【应用】

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1．如图，将边长为a 的正六边形A 1 A2 A3 A4 A5 A6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为( ) ． A.

4+8+a B ．

a 33a D ．

a C ．

2. 如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ． （1）求证：△ADE ∽△BCE ；

（2）如果AD =AE•AC，求证：CD=CB．

3. 如图，已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；

（2）若BE=2，BD=4，求⊙O 的半径．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P. 求证：

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2

（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP⋅AD ．

5．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ．

1

AC 长为半径作⊙O ，交BC 2

AE 的中点； (1)求证：D 是

(2)求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； (3)若

6. 已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在弧AB 上（不含点A 、B ），把△AOP 沿OP 对折，点A 的对应点C 恰好落在⊙O 上．

（1）当P 、C 都在AB 上方时（如图1），判断PO 与BC 的位置关系（只回答结果）；

S ∆CEF 1

=，且AC=4，求CF 的长． S ∆OCD 2

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（2）当P 在AB 上方而C 在AB 下方时（如图2），（1）中结论还成立吗? 证明你的结论； （3）当P 、C 都在AB 上方时（如图3），过C 点作CD ⊥直线AP 于D ，且CD 是⊙O 的切线，证明：AB=4PD．

7．己知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 干点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD 。 (1)求证：∠DAC=∠DBA ； (2)求证：P 处线段AF 的中点；

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B

(3)若⊙O 的半径为5，AF=

15

，求tan ∠ABF 的值。 2

8、如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ， (1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =

9、如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°， AD

的长为

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3-1

，求证△DCE ≌△OCB ． 2

，求弦AD 、AC 的长． 2

10、如图14，直线AB 经过 O 上的点C ，并且OA =OB ，CA =CB ， O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD ．

（1）求证：直线AB 是 O 的切线；

（2）试猜想BC ，BD ，BE 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若tan ∠CED =

11、⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径) 的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形； （2）求证：HK ＝HG ；

K

H

F

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1

， O 的半径为3，求OA 的长． 2

E

P B A

O

（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．

的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 12、如图，△ABC 内接于 O ，∠BAC =60，点D 是BC

相交于点H ．试证明： （1）∠FAH =∠CAO ； （2） 四边形AHDO 是菱形．

13、如图，在△ABC 中∠ACB =90，

D 是AB 的中点，以DC 为直径的 O 交△ABC 的三边，交点分别是G ，F ，E 点．GE ，CD 的交点为M ，且ME =MD :CO =2:5．

（3）若cos ∠B =0.6，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为X 轴 和Y 轴，建立平面直角坐标系，求直线AB 的函数表达式．

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