通信原理(陈启兴版)第8章课后习题答案

第8章8.1 学习指导 8.1.1 要点最佳接收机最佳接收机的要点主要包括数字信号的统计特性、 数字信号的最佳接收和确知信号的最 佳接收。 1. 数字信号的统计特性 假设通信系统中的噪声是均值为 0 的高斯白噪声，其单边功率谱密度为 n0，发送的二 进制码元为“0”和“1” ，其发送概率分别为 P(0)和 P(1)，显然，P(0) + P(1) = 1。 如果通信系统的基带截止频率小于 fH， 则根据低通信号抽样定理， 接收噪声电压可以用 其抽样值表示， 抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率 2fH。 设在一个码元持续时间 Ts 内以 2fH 的速率抽样，共得到 k 个抽样值，即 k ＝ 2fHTs。 由于每个噪声电压抽样值 ni 都是正态分布的随机变量， k 维联合概率密度函数又可以表示为f (n) 1 2π nk 1 exp   n0Ts0 n2 (t )dt  (8-1)其中，n = (n1, n2, …, nk)是 k 维矢量，表示一个码元内噪声的 k 个抽样值。 码元持续时间 Ts、噪声单边功率谱密度 n0 和抽样数 k 给定后，f(n)仅决定于该码元期间 内噪声的能量Ts0n2 (t )dt 。由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生误码。 设接收电压 r(t)为信号电压 s(t)和噪声电压 n(t)之和，即 r(t) = s(t) + n(t)。在发送码元确 定之后，接收电压 r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2， 但是均值变为 s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为 s0(t)时，接收电压 r(t)的 k 维联合 概率密度函数为f 0 (r ) 1 2π nk 1 exp   n00 r(t )  s0 (t ) dt Ts2 (8-2)其中，r = s + n 是 k 维矢量，表示一个码元内接收电压的 k 个抽样值；s 是 k 维矢量，表示 一个码元内信号电压的 k 个抽样值。 同理，当发送码元“1”的信号波形为 s1(t)时，接收电压 r(t)的 k 维联合概率密度函数为f1 (r ) 1 2π nk 1 exp   n00 r(t )  s1 (t ) dt Ts2 (8-3)2. 数字信号的最佳接收 在数字通信系统中，传输质量的主要技术指标是误码率。因此，可以将误码率最小作为 数字信号接收的最佳准则。 设在一个二进制通信系统中发送码元 “1” 的概率为 P(1)， 发送码元 “0” 的概率为 P(0)，则总误码率 Pe 等于P e  P(1) P(0 /1)  P(0) P(1/ 0)(8-4)其中，P(0/1)和 P(1/0)分别是发送符号“1”时错判为“0” 、 发送符号“0”时错判为“1” 的条件概率或转移概率。 接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个 k 维矢量表示，接收机对每个接 收矢量作判决，判定它是发送码元“1” ，还是“0” 。 判决接收矢量的两个联合概率密度函 数分别为 f0(r)和 f1(r)。总的误码率为Pe  P(1) P(0 /1)  P(0) P(1/ 0)  P(1) f1 (r )dr  P(0)  f 0 (r )dr r0 'r0 '(8-5)决准则可以表示为：若P(1) f 0 (r ) P(1) f 0 (r ) ， 则判为“0” ；反之， 若 ，则   P(0) f1 (r ) P(0) f1 (r )判为“1” 。如果发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上述判决准则还可以简化为：若 f0(r) > f1(r)，则判为符号“0” ；反之，若 f0(r)  1 P(1) exp   n0  1 P(1) exp   n00 r (t )  s1 (t ) dt   P(0) exp  n 0 r (t )  s0 (t )Ts Ts2  1 20 dt    dt  (8-6)则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为“0” ；如果0 r (t )  s1 (t ) dt   P(0) exp  n 0 r (t )  s0 (t )Ts Ts2  1 2(8-7)0则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为“1” 。 将上两式的两端分别取对数，判决准则可以表示为：如果n0 ln P(1)   n0 ln P(1)  Ts0r (t )  s1 (t ) r (t )  s1 (t )2dt  n0 ln P(0)   dt  n0 ln P(0)  Ts0r (t )  s0 (t ) r (t )  s0 (t )2dt(8-8)则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为“0” ；如果Ts 2 Ts 2 0 0dt(8-9)则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为“1” 。 由于事先假设了两种符号的功率相等，即判决准则可以进一步简化为：如果Ts02 s0 (t )dt   s12 (t )dt 0TsTs Ts 1 1 n0 ln P(1)   r (t ) s1 (t )dt  n0 ln P(0)   r (t ) s0 (t )dt o 0 2 2(8-10)则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为“0” ；如果Ts Ts 1 1 n0 ln P(1)   r (t ) s1 (t )dt  n0 ln P(0)   r (t ) s0 (t )dt o 0 2 2(8-11)则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为“1” 。8.1.2 难点最佳接收机的难点主要包括确知数字信号的最佳接收机的误码率和数字通信系统的匹 配滤波接收法。 1. 确知数字信号的最佳接收机的误码率 以二进制数字通信系统为例， 介绍确知数字信号的最佳接收机的误码率。 接收到的两种 波形分别是 s1(t)和 s0(t)，设它们的持续时间为 Ts，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单 边功率谱密度分别为 σ2 和 n0。由式(8-7)可知，在求总误码率之前，需要计算出错误转移概 率 P(0/1)和 P(1/0)。 概率 P(1/0)就是使不等式(8-9)成立的概率，即n0 ln P(1)  Ts0r (t )  s1 (t )2dt  n0 ln P(0)  2Ts0r(t )  s0 (t )Ts2dt把 r(t) = s0(t) + n(t)带入上式，可得n0 ln P(1)  化简为TsTs0 s0 (t )  s1 (t )  n(t )dt  n0 ln P(0)   n2 (t )dt00n(t )  s0 (t )  s1 (t ) dt 2 n0 P(1) 1 Ts     s0 (t )  s1 (t )  dt 2 P(0) 2 o上不等式的右边仅与先验概率 P(0)和 P(1)、确知信号 s1(t)和 s0(t)、噪声的单边功率谱密度 n0 有关， 左边与噪声电压 n(t)有关的随机过程。 如果用一个随机过程 ξ 代表上不等式的左边， 用参数 a 代表上不等式的右边，则上不等式可以表示为 ξ   n(t )  s0 (t )  s1 (t ) dtTs 0a2 n0 P(1) 1 Ts     s0 (t )  s1 (t ) dt 2 P(0) 2 o由于噪声电压 n(t)是一个高斯平稳过程，它经过积分运算后，仍然为高斯平稳过程。 随机过程 ξ 的数学期望和方差分别为aξ  E    ETs 0Ts0n(t )  s0 (t )  s1 (t )  dt  E  n(t )    s0 (t )  s1 (t )  dt  0(8-12) ξ2  D    E  2   ETs 0TsTs00n(t )  s0 (t )  s1 (t )  n(t ')  s0 (t ')  s1 (t ')  dtdt 'Ts0E  n(t )n(t ')    s0 (t )  s1 (t )  s0 (t ')  s1 (t ')  dtdt '上式中，E[n(t)n(t’)]是噪声电压 n(t)的自相关函数，即E  n(t )n(t ')   Rn ( ) 随机过程 ξ 的方差又可以表示为n0  ( ) 22 ξ2 n0 2  s (t )  s (t )Ts 0 0 1dt(8-13)高斯随机过程 ξ 在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，其一维概率密度为   a 2  1 ξ  f ( )  exp   2  2 ξ  2π ξ  因此，不等式 ξ    a 2  1 ξ  d P (  a )   f ( )d   exp   2 -   2 ξ  2 π ξ    2  a 1  exp   2  d  2 π ξ   2 ξ   a a所以，概率 P(1/0)可以表示为P(1/ 0)  P(  a) 其中，1 2π ξ 2  exp  2  d     2 ξ  a(8-14)a2 n0 P(1) 1 Ts     s0 (t )  s1 (t ) dt 2 P(0) 2 o ξ2 同理，概率 P(0/1)可以表示为n0 2  s (t )  s (t )Ts 0 0 12dtP(0 /1)  P(  b) 其中，1 2π ξ 2  exp  2  d     2 ξ  b(8-15)b总的误码率为2 n0 P(0) 1 Ts     s0 (t )  s1 (t ) dt 2 P(1) 2 0Pe  P(1) P(0 /1)  P(0) P(1/ 0)  1  P(1)   2π ξ b22 2 ξe  1  d  P(0)    2π ξ  a22 2 ξe d   (8-16)下面，就先验概率相等的情况，讨论两种接收波形 s0(t)和 s1(t)对误码率的影响。它们的 相关系数  可以表示为Ts0s0 (t ) s1 (t )dt Ts s 2 (t )dt   Ts s 2 (t )dt   0 0   0 1     Ts0s0 (t ) s1 (t )dt E0 E1(8-17)其中，接收信号的码元能量 E0 Ts02 s0 (t )dt ， E1   s12 (t )dt 。显然，当 s0(t) = s1(t)时， 0Ts＝1，为最大值；当 s0(t) = -s1(t)时， ＝－1，为最小值。所以， 的取值范围在-1    +1。 当接收信号的两码元能量相等时，令 E0 = E1 = Eb，则相关系数  可以表示为 参数 α 可以表示为Ts0s0 (t ) s1 (t )dt Eb(8-18) 1 Ts [ s0 (t )  s1 (t )]2 dt 2 0 1 Ts    [ s0 2 (t )  2 s0 (t ) s1 (t )  s12 (t )]dt   Eb (1   ) 2 022 2 ξ(8-19)误码率可以表示为1 Pe  2π ξ令xe1 d  2π ξ Eb (1  )22 2 ξe1 d  2π ξ22 2 ξEb (1  )ed(8-20) d 2 ，则 x 2  ， dx  ，误码率又可以表示为 2 2 ξ 2 ξ 2 ξPe    1 2π ξEb (1  ) / 2 ξe x222 ξ dx 21 πEb (1  ) / 2 ξe  x dx21  0  Eb (1  ) / π 1 πe  x dx   e  x d x   2 ξ 0 2 ξ Eb (1  ) /   0 2 πe  x dx 2π 1   1  erf 2  2  E (1   )    b   2    ξ  (8-21)其中，误差函数 erf (a)  由于a0e x dx 。2 ξ2  D( ) 误码率又可以表示为n0 2Ts0[ s1 (t )  s0 (t )]2 dt  n0 Eb (1   )Pe  Eb (1   )   1  Eb (1   )  1  erfc 1  erf        2 2n0  2n0       2(8-22)其中互补误差函数 erfc(x) = 1- erf(x)。 上式是一个先验概率相等情况下计算误码率的理论公式。 实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，不可能优于它。当  ＝1 时，Pe = 0.5，此时误码率最大；当  ＝-1 时，Pe = 0.5erfc[(Eb/n0)0.5]，此时误码率最小；当  ＝ 0 时，Pe = 0.5erfc[(0.5Eb/n0)0.5]。 对于 2PSK 信号， 相关系数  ＝ -1； 对于 2FSK 信号，  等于或近似等于 0； 对于 2ASK 信号，相关系数  不确定，计算误码率时，需要首先计算参数 α 再计算误码率1 Ts 1 Ts 1 [ s0 (t )  s1 (t )]2 dt =   s12 (t ) 2 dt   Eb  0 0 2 2 21 Pe  2π ξ22 2 ξe1 d  2π ξ1  Eb 2 22 2 ξeEb 1 d  erfc 2 4n02. 数字通信系统的匹配滤波接收法 用线性滤波器对接收信号滤波， 使抽样时刻上输出信号的信噪比最大， 此线性滤波器被 称为匹配滤波器。 假设线性接收滤波器的传输函数为 H( f )，冲激响应为 h(t)，滤波器输入信号为 s(t)，s(t) 的频谱函数为 S( f )，每个码元的持续时间为 Ts，信道中的噪声是单边功率谱密度为 n0 的高 斯白噪声 n(t)。 线性接收滤波器的输出 y(t)为y(t )  so (t )  no (t )   H ( f )S ( f )e j2 πft df  no (t )(8-23)输出噪声 no(t)的平均功率 No 为No  H( f ) 2n0 n df  0 2 2H ( f ) df22(8-24)在抽样时刻 t0，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比 r0 为r0 so (t0 )  No2H ( f ) S ( f )e j2πft0 df n0 22H ( f ) df2(8-25)利用施瓦兹不等式，可以求出 r0 的最大值，即最大输出信噪比为r0 H ( f ) df  2S ( f ) df2n0 2 S ( f ) df n0 222H ( f ) df2E n0(8-26)其中，信号能量 E S ( f ) df 。上式等号成立的条件是H ( f )  kS *( f )e j2πft0(8-27)其中，k 为任意常数。 上式表明，最佳接收滤波器传输函数 H (f )与接收信号的频谱函数 S( f )有关，它正比于 S( f )的复共轭乘以一个移相因子，此滤波器被称为匹配滤波器。 匹配滤波器的冲激响应函数 h(t)为h(t )   H ( f )e j2πft df   kS *( f )e  j2πft0  e j2πft df     k    s( )e  j2πft0 d  e  j2πf (t0 t )df          k    e j2πf ( t0 t ) df  s( )d       * k  s ( ) (  t0  t )d  ks(t0  t )(8-28)由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号 s(t)的镜像 s(-t)在时间轴上向右平移 t0。 物理可实现的匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入 前不应该有冲激响应出现，即当 t s(t )  0t  t0(8-29)上式说明，接收滤波器输入端的信号 s(t)在抽样时刻 t0 之后必须为零。一般不希望在码 元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选 t0 = Ts。故匹配滤波器的单位冲 激响应 h(t)可以写为h(t )  ks(Ts  t )此时，如果匹配滤波器的输入信号为 s(t)，则输出信号 so(t)为(8-30)so (t )   s(t   )h( )d  k  s(t   ) s(Ts   )d  k  s( ) s(t  Ts   )d   k  s( ) s(t  Ts   )d  kR(t  Ts )(8-31)其中，s(t)的自相关函数 R( ) s(t )s(t   )dt 。上式表明，匹配滤波器输出信号 so(t)是输入信号 s(t)的自相关函数的 k 倍，k 是一个任 意常数，它与 r0 的最大值无关，通常取 k ＝ 1。8.2 习题详解8-1 什么是确知信号？ 解 确知信号是指在任何时刻取值都是确定的，可以预知的。 8-2 有一个 OOK 数字传输系统，发送端的符号等概率出现，试画出其最佳接收机的结 构方框图。如果接收到的非零码元在一个码元周期内的能量为 Eb，高斯白噪声的单边功率 谱密度为 n0，试计算该系统在高斯白噪声环境下的误码率。 解 OOK 信号可以表示为 s (t )  A cos(ct ) r (t )   1 s0 (t )  0 因此，最佳接收机的结构方框图如图答 8-2。(0  t  Ts )r(t)积分器 s1(t)判决器uo(t)r(t)h1(t) = s1(Ts - t)判决器uo(t)位同步信号 (a) 相关器形式 图 答8-2位同步信号 (b) 匹配滤波器形式参数 α 为 1 Ts 1 Ts 1 2 s1 (t )  s0 (t )  dt    s12 (t )dt   Eb   0 0 2 2 2系统在高斯白噪声环境下的误码率为Pe 1 2π -e2 2 2 d 1 2π 1  Eb 2 -e2 2 2 Eb 1 d  erfc 2 4n08-3 一个 2FSK 传输系统中，发送的符号等概率出现，码元周期为 Ts，高斯白噪声的单 边功率谱密度为 n0，2FSK 信号的时域表达式为  s (t )  A sin  2 πf 0t  s2FSK (t )   0   s1 (t )  A sin  2 πf1t 0  t  Ts其中，f0 = 2 / Ts，f1 = 4 / Ts。试求： (1) 其相关器形式的最佳接收机原理方框图； (2) 画出该接收机各点的时域波形图； (3) 该接收机的误码率。 解 (1) FSK 传输系统相关器形式的最佳接收机原理方框图如图答 8-3(a)所示。b积分器dr(t)as0(t) c s1(t)位同步信号 e判决器f积分器(a) 最佳接收机远离方框图 a o b o c o t td o e o f VH o (b) 各点时域波形图 图 答8-3 t t t(2) 该接收机各点的时域波形图答 8-3(b)所示。 (3) 由于E1   s12 (t )dt 0TsTs 1 2 1 2 A Ts , E0   s0 (t )dt  A2Ts 0 2 2误码率为Eb A2Ts 1 1 Pe  erfc  erfc 2 2n0 2 4n08-4 2PSK 传输系统中，接收机输入端的信噪比为 Eb / n0 = 10 dB，码元周期为 Ts，试计 算其最佳接收机的误码率。 解 最佳接收机的误码率为E 1 1 Pe  erfc b  erfc 10  4.0 106 2 n0 28-5 信道中的加性高斯白噪声的单边功率谱密度为 n0，数字传输系统 i 中，接收机的匹 配滤波器输入端的信号 s(t)如图题 8-5 所示。试求匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)和输出信 号 y(t)，并画出它们的波形图。s(t) A O -A 图 题8-5 0.5Ts Ts t解 匹配滤波器的最大输出信噪比时刻应该选在码元结束时刻或之后，即 t0 ≥ Ts。一般取 t0 = Ts，系数 k = 1，则匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)为 A  h(t )  ks(t0  t )  s(Ts  t )   A  0 输出信号 y(t)为0  t  0.5Ts 0.5Ts  t  Ts Others  A2 t  2 A (3t  2Ts )   2 y (t )  h(t )  s(t )   A (4Ts  3t )  A2 (t  2T ) s   0 0  t  0.5Ts 0.5Ts  t  Ts Ts  t  1.5Ts 1.5Ts  t  2T Others匹配滤波器的单位冲激响应 h(t)和输出信号 y(t)的波形图如图答 8-5 所示。h(t) A o -A y(t) 0.5Ts Ts t o 0.5Ts Ts 1.5Ts 图 答8-5 2 Ts t8-6 一个滤波器的单位冲激响应 h(t)和输入信号 s(t)的波形如图题 8-6 所示，试问此滤波 器是否为输入信号 s(t)的匹配滤波器？如果是，试计算滤波器的输出。s(t) A O 0.5Ts Ts t 图 题8-6 h(t) A O 0.5Ts t解 由于h(t )  s(Ts  t )因此，此滤波器是输入信号 s(t)的匹配滤波器。滤波器的输出为 A2  1   2  t  2 Ts       3  y (t )  h(t )  s (t )    A2  t  Ts   2    0   0.5Ts  t  Ts Ts  t  1.5Ts 。 Others