高中数学:求解"复合函数的反函数"!资深老师精心整理!快收藏

“求解复合函数的反函数”是高中数学函数知识中非常重要的知识点！

您的孩子掌握了吗？

昨晚收到好几个学生发来的微信，说对这一块的有些知识点掌握得还不够牢固，对此今天我特意整理了这部分的资料，希望可以更多孩子学生能够在暑期做好查漏补缺的工作！

由函数y=f(u)和函数u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，叫作复合函数，求复合函数的反函数问题是一个十分复杂、困难的问题。下面我们一起来分析如何求解复杂的复合函数的反函数问题，为了求这个问题，我们可以将该问题分解为若干个基本初等函数的反函数问题。

下面我们先来看看关于如何求解复合函数的反函数的一个定理：

设函数y=f(u)和函数u=g(x)，若y=f(u)和函数u=g(x)都存在反函数，

分别为y=f^(-1)(u)和函数u=g^(-1)(x),那么复合函数y=f(g(x))也存在反函数，且该反函数为：y=g^(-1)(f^(-1)(u)),具体如下图所示：

接着我们证明上述定理的正确性和有效性，首先证明其复合函数的反函数的存在性具体证明如下图所示：

接着我们证明复合函数的反函数与所组成的复合函数的函数的反函数之间的关系，具体证明过程如下图所示：

下面我们来看一个例题，根据这个例题我们熟悉一下如何应用上述定理求解复合函数的反函数问题，具体例题题目如下所示：

已经知道例题如上图所示，下面我们来具体应用定理来求复合函数的反函数，具体求解过程如下图所示：

重要提示：注意组合成复合函数的各个函数首先要存在反函数。

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