青海师大二附中20**年-20**年学年高一下学期期中数学试卷

2014-2015学年青海师大二附中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）

1．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于( ) A．60° B．60°或 120° C．30° D．30°或150°

2．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=( ) A．﹣2

3．在△ABC中，已知 A．30°

B．150°

，则∠C=( ) C．45°

，则S5=( ) C．

D． D．135°

B．﹣

C．

D．2

4．数列{an}的前n项和为Sn，若 A．1

B．

5．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( ) A．ab＜b＜1

b

a2

B．

2

C．2＜2＜2 D．a＜ab＜1

6．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为( ) A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） +∞） D．（﹣1，2）

7．已知x＞2，则x+ A．6

的最小值为( ) B．4

2

C．（﹣∞，1）∪（2，

C．3 D．2

8．对任意的实数x，不等式mx﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是( )

A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）

9．已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( ) A．

B．

C．3

D．2

10．不等式组表示的区域为D，点P （0，﹣2），Q （0，0），则( )

A．P∉D，且Q∉D

B．P∉D，且Q∈D

a

b

C．P∈D，且Q∉D D．P∈D，且Q∈D

11．设a＞0，b＞0．若 A．4

是3与3的等比中项，则+的最小值为( )

C．2

2

B．6

2

D．2

12．若关于x的方程x+ax+a﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是( ) A．﹣

＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2

C．﹣1＜a＜1

D．1＜a＜

二、填空题：（该题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：__________．

14．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S6：S3．

2

2

15．已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则x+y﹣4x的最大值是__________．

16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①若ab＞c，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a+b=c，则C＜

3

3

32

．

④若（a+b）c＜2ab，则C＞

2

2

2

22

⑤若（a+b）c＜2ab，则C＞

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．

18．（Ⅰ）比较x+y+1与2（x+y﹣1）的大小；

+223333

（Ⅱ） 已知a，b∈R，求证：（a+b）（a+b）（a+b）≥8ab．

19．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列； （2）求{an}的通项公式．

20．（1）已知集合A={x|x﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；

（2）已知f（x）=﹣3x+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．

21．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

22．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列． （1）求等比数列S1，S2，S4的公比； （2）若S2=4，求{an}的通项公式； （3）设小正整数m．

，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得

对所有n∈N都成立的最

*

22

2

2

，n∈N．

*

2014-2015学年青海师大二附中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）

1．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于( ) A．60° B．60°或 120° C．30° D．30°或150°

考点：正弦定理． 专题：解三角形．

分析：将已知代入正弦定理即可直接求值．

解答： 解：由正弦定理可得：sinB===．

∵0＜B＜180°， ∴B=60°或 120°， 故选：B．

点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．

2．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=( ) A．﹣2

B．﹣

C．

D．2

考点：等差数列．

专题：计算题；方程思想．

分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可． 解答： 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得

，即

，

解得d=﹣，

故选B． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．

3．在△ABC中，已知

，则∠C=( )

A．30° B．150° C．45° D．135°

考点：余弦定理． 专题：解三角形．

分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答： 解：∵a+b=c+∴由余弦定理得：cosC=

222

ba，即a+b﹣c=

=

，

222

ab，

∴∠C=45°． 故选：C． 点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若 A．1

考点：数列的求和．

，则S5=( )

C．

D．

B．

专题：计算题． 分析：由解答： 解：∵∴S5=a1+a2+a3+a4+a5

==1﹣ =．

故选D．

点评：本题考查数列前n项和的求法，是基础题．解题是要认真审题，注意裂项求法的灵活运用．

5．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( ) A．ab＜b＜1

b

a2

=

=

，利用裂项求和法能求出S5．

，

B．

2

C．2＜2＜2 D．a＜ab＜1

考点：基本不等式． 专题：分析法．

分析：首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0＜b＜a＜1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．

解答： 解：对于A：ab＜b＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b＜ab．故A错误．

对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．

xba1ba

对于C：因为y=2是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2＜2＜2，即2＜2＜2．故C正确．

对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a．故D错误． 所以答案选C． 点评：此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．

6．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为( ) A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）

考点：一元二次不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用．

分析：根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集 解答： 解：不等式（1﹣x）（2+x）＞0， ∴不等式（x﹣1）（x+2）＜0，

22

2

∴方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为﹣2，1， ∴不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（﹣2，1）， 故选：A．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，利用了因式分解法，找到与对应方程和二次函数的关系容易得到；属于基础题

7．已知x＞2，则x+

的最小值为( )

C．3

D．2

A．6 B．4

考点：基本不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由题意可得x﹣2＞0，可得x+解答： 解：∵x＞2，∴x﹣2＞0， ∴x+≥2

当且仅当x﹣2=

=x﹣2+

+2， +2=6， 即x=4时，x+

=x﹣2++2，由基本不等式可得．

取最小值6，

故选：A．

点评：本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．

8．对任意的实数x，不等式mx﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）

考点：函数恒成立问题． 专题：计算题．

分析：当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．

2

解答： 解：当m=0时，mx﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；

2

设y=mx﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0

2

得到：解得﹣4＜m＜0．

综上得到﹣4＜m≤0． 故选B．

点评：本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集．同时要求学生把二次函数的图象性质与一元二次不等式结合起来解决数学问题．

9．已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( )

A． B． C．3 D．2

考点：简单线性规划． 专题：数形结合．

分析：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=x+y，平移直线过（1，2）时z有最大值

解答： 解：画可行域如图，z为目标函数z=x+y，可看成是直线z=x+y的纵截距， 画直线0=x+y，平移直线过A（1，2）点时z有最大值3． 故选C．

点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

10．不等式组表示的区域为D，点P （0，﹣2），Q （0，0），则( )

A．P∉D，且Q∉D B．P∉D，且Q∈D C．P∈D，且Q∉D D．P∈D，且Q∈D

考点：二元一次不等式（组）与平面区域；元素与集合关系的判断． 专题：综合题．

分析：将两个点的坐标分别代入不等式组，判断点的坐标是否满足不等式组，若满足则点在区域内；若不满足说明点不在区域内．

解答： 解：将P的坐标代入不等式组得所以P的坐标满足不等式组，即

P在区域D内

同样将Q的坐标代入不等式组得，所以Q的坐标不满足不等式组，即Q不在区域

D内

故选C

点评：本题考查判断点是否在区域内，只要判断点的坐标是否满足区域对应的不等式组即可．也可以画出区域及点，再判断点与区域的位置关系．

11．设a＞0，b＞0．若 A．4

是3与3的等比中项，则+的最小值为( )

C．2

D．2

a

b

B．6

考点：基本不等式；等比数列的通项公式． 专题：不等式的解法及应用．

分析：由题意易得正数a、b满足a+b=1，进而可得+=（+）（a+b）=2++，由基本不等式求最值可得．

解答： 解：a＞0，b＞0，

aba+b

∴3=3•3=3，∴a+b=1， ∴+=（+）（a+b） =2+

+≥2+2

=4，

是3与3的等比中项，

ab

当且仅当=即a=b=时取等号，

故选：A．

点评：本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的性质，属基础题．

12．若关于x的方程x+ax+a﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是( ) A．﹣

＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2 C．﹣1＜a＜1

D．1＜a＜

2

2

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题：函数的性质及应用．

222

分析：由题意可得△=a﹣4（a﹣1）＞0，且两根之积 a﹣1＜0，由此求得a的范围．

222

解答： 解：由题意可得△=a﹣4（a﹣1）＞0，且两根之积a﹣1＜0， 求得﹣1＜a＜1， 故选：C．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

二、填空题：（该题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这

个事实提炼出一个不等式：

考点：不等关系与不等式． 专题：不等式的解法及应用．

（a＞b＞0）．

分析：利用糖水的浓度可得（a＞b＞0）即可．

；

解答： 解：由a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0）可得糖水的浓度为在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为∵糖水变甜了，于是可得化为故答案为

（a＞b＞0）．

（a＞b＞0）．

＞

；

．

点评：本题考查了溶液的浓度，属于基础题．

14．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S6：S3=．

考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．

分析：根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可． 解答： 解：由8a2+a5=0得a5=﹣8a2，

即∴q=﹣2，

，

则===1+q=1﹣8=﹣7，

3

故答案为：﹣7． 点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．

2

2

15．已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则x+y﹣4x的最大值是12．

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

22

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值Z=x+y﹣4x的最大表示动点到定点（2，0）点的距离的平方有关，只需求出可行域内的动点到该点的距离最大值即可． 解答： 解：作出可行域，如图：

2222

令z=x+y﹣4x=（x﹣2）+y﹣4，

∵（x﹣2）+y所表示的几何意义是动点到定点（2，0）的距离的平方， 作出可行域：

易知当为A点时取得目标函数的最大值， 可知A点的坐标为（﹣2，0）， 代入目标函数中，可得zmax=12． 故答案为：12．

22

点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点之间的距离问题．

16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①若ab＞c，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a+b=c，则C＜

3

3

32

．

④若（a+b）c＜2ab，则C＞

2

2

2

22

⑤若（a+b）c＜2ab，则C＞

考点：命题的真假判断与应用；余弦定理的应用． 专题：证明题；压轴题．

分析：①利用余弦定理，将c放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜

；②利用余弦定理，将c放大为（

2

2

），再结合均值定理即可证明cosC＞，从

2

而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；

④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形 解答： 解：①ab＞c⇒cosC=

2

＞=⇒C＜，故①正确；

②a+b＞2c⇒cosC=

＞

=

③当C≥

2

2

2

3

2

2

3

3

3

3

≥

3

=⇒C＜，故②正确；

时，c≥a+b⇒c≥ca+cb＞a+b与a+b=c矛盾，故③正确；

＜

，故④错误；

，故⑤错误

④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=⑤举出反例：取a=b=c=

2

2

2

22

，满足（a+b）c≤2ab，此时有C=

故答案为①②③

点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．

考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题． 分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．

（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，

所以，

．

由△ABC为锐角三角形得（Ⅱ）

=

=

．

，

，

=

由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜

所以由此有

． ≤

， ，

]．

所以，cosA+sinC的取值范围为（

点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．

18．（Ⅰ）比较x+y+1与2（x+y﹣1）的大小；

+223333

（Ⅱ） 已知a，b∈R，求证：（a+b）（a+b）（a+b）≥8ab．

考点：不等式比较大小． 专题：不等式． 分析：（Ⅰ）作差配方即可比较出大小； （Ⅱ）利用基本不等式即可得到结论．

2222

解答： 解：（Ⅰ）x+y+1﹣2（x+y﹣1）=（x﹣1）+（y﹣1）+1＞0， 22

∴x+y+1＞2（x+y﹣1）；

22

（Ⅱ）（a+b）（a+b）（a+b）≥2

2233

•2ab•2≥8ab，当且仅当a=b时取等号．

33

问题得以证明．

点评：本题考查了“作差法”、“配方法”“基本不等式”比较数的大小，属于基础题

19．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列； （2）求{an}的通项公式．

考点：等比关系的确定；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．

，n∈N．

*

分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，

为公比的等比数列得证；

（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立． 解答： 解：（1）证b1=a2﹣a1=1， 当n≥2时，

所以{bn}是以1为首项，（2）解由（1）知

为公比的等比数列．

，

当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+

==1+[1﹣（﹣）

n﹣1

]=，

当n=1时，所以

． ．

点评：考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比数列的前n项和的公式化简求值．

20．（1）已知集合A={x|x﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；

2

（2）已知f（x）=﹣3x+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．

考点：其他不等式的解法；交集及其运算． 专题：计算题；不等式的解法及应用． 分析：（1）利用二次不等式的解法求出集合A，不等式组求解集合B，通过A∩B=∅，列出关系式求解即可．

（2）通过二次不等式的解，推出对应方程的根，利用韦达定理求解a，b的值即可． 解答： 解：（1）A={x|x＜﹣2或x＞3}，B={x|﹣a＜x＜4﹣a} … ∵A∩B=φ，

2

∴

∴1≤a≤2 …．

（2）∵f（x）＞0的解为﹣1＜x＜3，

∴x=﹣1和x=3是﹣3x+a（6﹣a）x+b=0的两根…

2

∴，

解得…．

点评：本题考查二次不等式的解法，不等式组的求法，转化思想的应用，考查计算能力．

21．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万

元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

考点：简单线性规划的应用． 分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解． 解答： 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，

总收益为z元，由题意得

目标函数为z=3000x+2000y．

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图，作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立

解得x=100，y=200．

∴点M的坐标为（100，200）． ∴zmax=3000x+2000y=700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

22．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列． （1）求等比数列S1，S2，S4的公比； （2）若S2=4，求{an}的通项公式； （3）设

，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得

对所有n∈N都成立的最

*

小正整数m．

考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（1）利用数列{an}为等差数列，S1，S2，S4成等比数列．可求出首项与公差的关系，即可求得公比；

（2）由S2=4，结合（1）的结论，即可求{an}的通项公式；

（3）利用裂项法求数列{bn}的前n项和，确定Tn＜

，从而可得不等式，即可求得使得

对所有n∈N都成立的最小正整数m．

解答： 解：（1）∵数列{an}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d， ∵S1，S2，S4成等比数列，

2

∴S1•S4=S2， ∴

，∴

*

∵公差d不等于0，∴d=2a1∴（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，又d=2a1， ∴a1=1，d=2，∴an=2n﹣1． （3）∵∴要使∴

*

*

；

…

对所有n∈N恒成立， ，∴m≥30，

=

∵m∈N，

∴m的最小值为30．

点评：本题考查等差数列与等比数列的结合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求和是关键．