立体几何(知识点总结,解题方法总结)

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析

第一章 《空间几何体》

一、本章总知识结构

二、各节内容分析

1.1空间几何体的结构

1. 本节知识结构

1.2空间几何体三视图和直观图

1、本节知识结构

1.3 空间几何体的表面积与体积

1、本节知识结构

。

三、高考考点解析

本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：

1. 多面体的体积（表面积）问题；

2. 点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。

（一）多面体的体积（表面积）问题

1． 在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60．

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； 【解】（1）在四棱锥P-ABCD 中, 由PO ⊥平面ABCD, 得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1,由PO ⊥BO, 于是，PO=BOtan60°=

,

而底面菱形的面积为2. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=

1

×23×3=2. 3

2．如图, 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点,M 、N 分别是AE 、

CD 1的中点，AD=AA1=a , AB=2a ,

（Ⅲ）求三棱锥P －DEN 的体积。 【解】 （Ⅲ）S ∆NEP =

11

S 矩形

ECD 1P =BC ⋅CD 1 24

12

=⋅a 4作DQ ⊥CD 1，交CD 1于Q ，由A 1D 1⊥面CDD 1C 1得AC 11⊥DQ ∴DQ ⊥面BCD 1A 1 ∴在Rt ∆

CDD 1中，DQ =

CD ⋅DD 1==

CD 1∴V P -DEN =V D -ENP =

112S ∆NEP ⋅DQ =a =a 3。 36（二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。

1 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =

（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

【解】 （III ） 设点E 到平面ACD 的距离为h .

V E -ACD =V A -CDE ，

11

∴ h S ∆ACD = AO S ∆CDE .

33

在

B

E

∆ACD

中

，

C =A 2C =, D

A 2D =,

1∴S ∆ACD ==

2而AO =1, S ∆CDE =

122=

2

∴h =

A O . S ∆C D E S ∆A C D

1 7

∴点E 到平面ACD

的距离为

7

2．如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N 。

（Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。 【解】（Ⅱ）过B 1在面BCC 1B 1内作直线

又AM ⊥平面BCC 1B 1，所以AM ⊥B 1H 。于是B 1H ⊥平面AMN ，B 1H ⊥MN ，H 为垂足。

故B 1H 即为B 1到平面AMN 的距离。在R 1∆B 1HM 中，B 1H ＝

B

1M sin B 1MH =

=1。故点B 1到平面AMN 的距离为1。

3 如图，已知三棱锥O -ABC 的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC 的中点。 （1）求O 点到面ABC 的距离；

【解】（1）取BC 的中点D ，连AD 、OD 。 O B =O C ，则OD ⊥BC 、AD ⊥BC ， ∴BC ⊥面OAD 。过O 点作OH ⊥AD 于H ， 则OH ⊥面ABC ，OH 的长就是所要求的距离。

BC =

OD ==。

OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， ∴OA ⊥面OBC ，则OA ⊥OD 。

AD ==OAD

中，有OH =

OA ⋅OD ==AD 3

V O -∆ABC =

112S ∆ABC ⋅OH =OA ⋅OB ⋅OC =

知：OH = 363第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》

一、本章的知识结构

二、各节内容分析

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构

2. 内容归纳总结

（1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：A ∈l , B ∈l , 且A ∈α, B ∈α ⇒ l ∈α。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① ② ③

它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：P ∈α, 且P ∈β⇒α β=l , P ∈l 。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：a //l , 且b //l ⇒a //b 。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1. 概念

已知两条异面直线a , b ，经过空间任意一点O 作直线a '//a , b '//b ，我们把a '与b '

（易知：夹角范围0

⎧⎧相交直线：_______________________________;

⎪共面直线⎨

2. 位置关系：⎨⎩平行直线：_______________________________;

⎪

⎩异面直线：_________________________________________.

（3）空间中直线与平面之间的位置关系

⎧1. 直线在平面内：l ⊂α⎪

直线与平面的位置关系有三种：⎨⎧2. 直线与平面相交：l α=A

⎪直线在平面外⎨3. 直线与平面平行：l //α

⎩⎩

（4

）空间中平面与平面之间的位置关系

平面与平面之间的位置关系有两种：⎨

⎧1. 两个平面平行：α//β⎩2. 两个平面相交：α β=l

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

1、本节知识结构

（1）四个定理

（2）定理之间的关系及其转化

两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。

2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质

1、本节知识结构

（一）基本概念

1. 直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α。直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。直线与平面的公共点P 叫做垂足。

2. 直线与平面所成的角： 角的取值范围：0

3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的记法：

二面角的取值范围：0

（三）定理之间的关系及其转化：

两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂

直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。

三、高考考点解析

第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题

（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 1．异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。

异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：①“转化角”、②“证明”、③“求角”）。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）”。

1． 如图所示，AF 、DE 分别是 O 、 O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD =8. BC 是 O 的直径，

AB =AC =6, OE //AD 。

（II ）求直线BD 与EF 所成的角。

【解】（II ）第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题

根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D 作符合条件的直线。

连结DO ，则∠ODB 即为所求的角。 第二步：证明∠ODB 就是所求的角

在平面ADEF 中，DE//AF，且DE=AF，所以四边形ODEF 为平行四边形 所以DO//EF

所以根据定义，∠ODB 就是所求的角。 第三步：求角

由题设可知：底面ABCD 为正方形

∵ DA ⊥平面ABCD BC ⊂平面ABCD ∴ DA ⊥BC 又 ∵AF ⊥BC ∴ BC ⊥平面ADO

∴ DO ⊥BC ∴ △DOB 为直角三角形 ∴ 在Rt △ODB ，BD =10

DO =∴

cos ∠ODB =

（或用反三角函数表示为：arccos ）

1010

2．在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD

相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60．

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【解】（2）取AB 的中点F ，连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点, 得EF ∥PA, ∴∠FED 是异面直线DE 与PA

在Rt △AOB 中AO=ABcos30°==OP,

于是, 在等腰Rt △POA 中,PA=6, 则EF=

6

. 2

16EF

2

==在正△ABD 和正△PBD 中，DE=DF=3. cos ∠FED= DE 4∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos

2

. 4

3． 如图，四面体ABCD

中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =

（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 方法一：（II ） 取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、

B

OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE

∥DC

E

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与

CD 所成的角

在∆

OME 中，EM =

11AB =OE =DC =1, 222

1AC =1,

∴c o s ∠ , O E M 24

OM 是直角∆AOC 斜边AC 上的中线，∴OM =

∴异面直线AB 与CD

所成角的大小为arccos

4

4． 如图，已知三棱锥O -ABC 的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC 的中点。

（2）求异面直线BE 与AC 所成的角；

【解】（2）取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥AC ，∠BEM 是异面直线BE 与AC 所成的角。

求得：EM =

1AC =

BE ==BM == 222

2BE 2+ME 2-BM 22

cos ∠BEM ==， ∴∠BEM =arccos 。

52BE ⋅ME 5

2. 异面直线的公垂线问题

异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。

与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.

1．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC , D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点。 （I ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；

1【解】 （Ⅰ）设O 为AC 中点，连接EO ，BO ，则EO 2C 1C ，

E C 1

1

D B 1

∥DB ，EOBD 为平行四边形，ED ∥O B ．又C 1C ∥ ＝B 1B ，所以EO ＝∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，

又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1， BO ⊂面ABC ， 故BO

⊥平面

C

B

B 1 1

D

E

B C

ACC 1A 1，

∴ED ⊥平面ACC 1A 1， ED ⊥AC 1， ED ⊥CC 1， ∴ED ⊥BB 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线．

2如图，已知平面A 1B 1C 1平行于三棱锥V -ABC 的底面ABC ，等边△AB 1C 所在的平面与底面ABC 垂直，且∠ACB=90°，设AC =2a , BC =a （Ⅰ）求证直线B 1C 1是异面直线AB 1与A 1C 1的公垂线； 【解】解法1：（Ⅰ）证明： ∵平面

A 1

1

A 1B 1C 1∥平面ABC ，

∴BC 11//BC , AC 11//AC

BC ⊥AC ∴B 1C 1⊥AC 11

C

B

又∵平面ABC 1⊥平面ABC ，平面ABC 1∩平面ABC =AC ， ∴BC ⊥平面ABC ∴B 1C 1⊥AB 1， B 1， ∴B C ⊥A 1

又 AC 11⋂B 1C 1=C 1，B 1C 1⋂AB 1=B 1. ∴B 1C 1为AB 1与AC 11的公垂线.

（二） 直线与平面所成夹角

1．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD //BC ，

A B =B C 2∠BAD =90 ，PA ⊥ 底面ABCD ，且P A =A D =

，

M 、N 分别为PC 、PB 的中点。

（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角。

【解】 （II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ， 则BG //CD ，

所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所

成的角相等.

因为PB ⊥平面ADMN ，

所以∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt ∆

BNG 中，sin ∠BGN =故CD 与平面ADMN 所

成的角是BN = BG 5

。 E

A

A 1

2． 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB

、

F

B

E

F C

B

C

P

AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到∆A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）

（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； 【解】不妨设正三角形的边长为3，则

（II ）在图2中，∵A 1E 不垂直于A 1B ，∴A 1E 是面A 1BP 的斜线，又A 1E ⊥面BEP ， ∴A 1E ⊥BP ，∴BP 垂直于A 1E 在面A 1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 设A 1E 在面A 1BP 内的射影为A 1Q ，且A 1Q 交BP 于Q ， 则∠EA 1Q 就是A 1E 与面A 1BP 所成的角，且BP ⊥A 1Q 。

在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o ，∴△EBP 为正三角形，∴BE=EP。 又A 1E ⊥面BEP ，∴A 1B=A1P ，∴Q 为BP 的中点，且EQ=，而A 1E=1， ∴在Rt △A 1EQ 中，tan ∠A 1EQ =

EQ

=，即直线A 1E 与面A 1BP 所成角为60o 。 A 1E

（三） 二面角与二面角的平面角问题

1． 如图所示，AF 、DE 分别是 O 、 O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD =8. BC 是 O 的直径，

AB =AC =6, OE //AD 。

（I ）求二面角B -AD -F 的大小； 【解】（I ）∵AD 与两圆所在的平面均垂直， ∴AD ⊥AB ，AD ⊥AF ，

故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABFC 是正方形，所以∠BAF ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；

2．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，PA =1，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。

（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 【解】连结AD ，则易知AD 与BF 的交点为O 。

（II ）设M 为PB 的中点，连结AM ，MD 。

在∆ABP 中PA =AB , ∴PB ⊥AM ,

BF ⊥AD 。 斜线PB 在平面ABC 内的射影为OB ，

∴由三垂线定理得PB ⊥AD .

又 AM ⋂AD =A , ∴PB ⊥平面

AMD .

MD ⊂平面AMD , ∴PR ⊥MD .

因此，∠AMD 为所求二面角的平面角。

在正六边形ABCDEF

中，BD =BF =2OB AD =2. 在Rt ∆AOP 中，PA =1, OA =

1, 2

∴PO =

=

1，则BM =PB =

224

在

Rt ∆BOP 中，

PB =

=

AM ==

, MD == 44

MA 2+MD 2-AD 2在∆

AMD 中，由余弦定理得cos ∠AMD =

=2⋅MA ⋅MD 因此，所求二面角的大小为arccos( 3． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ，点E 是PD 的中点. （Ⅲ）求二面角E -AC -B 的大小. 【解】（Ⅲ）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则EF 是△PAD 的中位线， ∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD

同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝＝

1AB 2

1

PA ＝EF 。 2

∴∠EOF ＝45︒而二面角E -AC -B 与二面角E －AC －D 互补，

故所求二面角E -AC -B 的大小为135︒.

4． 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB //DC ,

AC ⊥BD , AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的

射影恰为O 点，又BO

=2, PO =PB ⊥PD . （Ⅱ）求二面角P -AB -C 的大小；

【解】 PO ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥

BD

又PB ⊥PD , BO =2, PO =

由平面几何知识得：OD =1, PD =PB =（Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，∠PEO 为二面角P -AB -C 的平面角

∴sin ∠PEO =

PO 0

， ∴∠PEO =45 =

PE 2

∴二面角P -AB -C 的大小为450

5． 如图, α⊥β, α∩β=l , A∈α, B∈β, 点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1, 已知AB=2,AA1=1, BB12, 求:

（II ）二面角A 1－AB －B 1的大小。

【解】 （Ⅱ）∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α。

在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E ，则A 1E ⊥平面AB 1B 。过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，

∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.

在Rt △ABB 1中, ∠BAB 1=45°， ∴AB 1=B12. ∴Rt △AA 1B 中，

A 1B=AB －AA 1 =4－1 = 3。 由AA 1·A 1B=A1F ·AB 得 A 1F=

AA 1·A 1B 133

= = , AB 22

A 1E 6

= ， A 1F 3

6

. 3

∴在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE =

∴二面角A 1－AB －B 1的大小为arcsin

第二部分 《空间直线、平面的平行问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想” （一）“线线平行”与“线面平行”的转化问题

1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面

ABCD ，且PA =AB ，点E 是PD 的中点. （Ⅱ）求证：PB //平面AEC ；

【解】 证明本题的关键：在平面EAC 中“找”一条与PB 平行的直线，由于点E 在平面PBD 中，所以可以在平面PBD 中过点E “找”（显然，要“找”的直线就是平面PBD 与平面EAC 的交线）。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。

（Ⅱ）连接BD ，与AC

相交与

O

，连接EO ，

ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点

又E 是PD 的中点， ∴EO//PB. 又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB //平面AEC 。

2．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF //

1

BC ． =2

（1）证明FO //平面CDE ；

（2

）设BC = ，证明EO ⊥平面CDF ．

【解】分析通上题。

（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. 在矩形ABCD 中。 OM //

1

BC ，又2

1

EF //BC ，

2

则EF //OM，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. ∴FO //EM 又 FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，∵FO ∥平面CDE

（二） “线面平行”与“面面平行”的转化问题

2．如图, 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点,M 、N 分别是AE 、

CD 1的中点，AD=AA1=a , AB=2a ,

（Ⅰ）求证：MN //平面ADD 1A 1；

【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂（不是不可以），所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点M 、N 都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K

（OC 的中点），将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。

（Ⅰ）取CD 的中点K ，连结MK , NK ∵M , N , K 分别为AK , CD 1, CD 的中点 ∵MK //AD , NK //DD 1

∴MK //面ADD 1A 1，NK //面ADD 1A 1

∴面MNK //面ADD 1A 1 ∴MN //面ADD 1A 1

第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。 （一）“线线垂直”到“线面垂直”

1．如图，ABCD -A 1BC 11D 1是正四棱柱。 （I ）求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；

【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条

相交的直线AC 、A 1A 与BD 垂直。

（Ⅰ）∵ ABCD -A 1BC 11D 1是正四棱柱， ∴ CC 1⊥平面ABCD ， ∴ BD ⊥CC 1， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC

又 ∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1=C， ∴ BD ⊥平面ACC 1A 1。

2． 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =

（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； 【解】（I ）证明：连结OC

BO =DO , AB =AD , ∴AO ⊥BD . BO =DO , BC =CD , ∴CO ⊥BD .

B

E

在∆

AOC 中，由已知可得AO =1, CO =

222

而AC =2, ∴AO +CO =AC ,

∴∠AOC =90o , 即AO ⊥OC .

BD OC =O , ∴AO ⊥平面BCD

3． 如图4, 已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2, AB =4。 （I ）证明: PQ ⊥平面ABCD ；

【解】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM 、QM 。

因为P －ABCD 与Q －ABCD

都是正四棱锥，所以

C

A

Q 图4

AD ⊥PM ，AD ⊥QM 。 从而AD ⊥平面PQM 。

又PQ ⊂平面PQM ，所以PQ ⊥AD 。 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD 。

9． 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到∆A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）

（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ； 【解】

不妨设正三角形的边长为3，则

（I ）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ，

∵AE ∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o ，∴△ADF 为正三角形。 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD 。

在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE 。 又BE EF=E，∴A 1E ⊥面BEF ，即A 1E ⊥面BEP 。

B

A

E

F

E

A 1

F C

B

C

P

（二） “线面垂直” 到“线线垂直”

1．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，PA =1，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。 （Ⅰ）证明PA ⊥BF ；

（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。 【解】连结AD ，则易知AD 与BF 的交点为O 。 （I ）证法1：

AB =AF , O 为BF 的中点，

∴AO ⊥BF .

又 PO ⊥平面ABC ,

∴由三垂线定理得PA ⊥BF .

证法2:

BF ⊥PO , BF ⊥AO , PO ⋂AO =O , ∴BF ⊥平面AOP ,

PA ⊂平面AOP , ∴PA ⊥BF .

2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD //BC ，

A B =B C 2∠BAD =90 ，PA ⊥ 底面ABCD ，且P A =A D =

，

M 、N 分别为PC 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PB ⊥DM ；

PA =AB ，【解】 （I ）因为N 是PB 的中点，所以AN ⊥PB .

因为AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，

从而PB ⊥平面ADMN . 因为DM ⊂平面ADMN ，

所以PB ⊥DM .

3．如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD ⊥BC ；

【解】 （1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H ，连DH 。 AB ⊥BD ⇒HB ⊥BD ，又AD

BD ＝1 ∴AB

BC ＝AC ∴BD ⊥DC

又BD ＝CD ，则BHCD 是正方形，则DH ⊥ BC ∴AD ⊥BC

方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO

则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC ， ∴BC ⊥面AOD ∴BC ⊥AD

4． 如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM=MB=MN。 （Ⅰ）证明AC ⊥NB 【解】 （Ⅰ）

由已知l 2⊥MN , l 2⊥l 1, MN ⋂l 1=M , 可得l 2⊥平面ABN 由已知MN ⊥l 1，AM ＝MB =MN ，可知AN =NB 且AN ⊥NB

又AN 为AC 在平面ABN 内的射影

∴AC ⊥

NB