直线与圆20**年高考题

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．[2014·浙江卷] 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )

A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 答案：B 2．[2014·安徽卷] 过点P(3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )

ππA.0， B.0，

63ππ

C.0， D.0，

63

答案：D

3．[2014·北京卷] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )

A．7 B．6

C．5 D．

答案：B

x＋y－7≤0，

4．，[2014·福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，若圆

y≥0.心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )

A．5 B．29 C．37 D．49 答案：C

5．[2014·湖南卷] 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )

A．21 B．19 C．9 D．－11 答案：．C [解析] 依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝3＋4＝5.又r1＝1，r2

＝25－m，由r1＋r225－m＋1＝5，解得m＝9.

6．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2

＝4截得的弦长为________．

2

答案：. 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝

5|2－2－3|32 5，所以弦长为2r－d＝2 4－ 55 .

551＋25

7.[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO4＝3

(1)求新桥BC的长．

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

图1-6

答案：解： 方法一：

(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy

.

由条件知A(0, 60), C(170，0)，

4

直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO33

又因为 AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝4设点 B 的坐标为(a，b)，

b－0b－6034

则kBC＝， kAB＝

3a－170a－04解得a＝80, b＝120，

所以BC＝（170－80）＋（0－120）＝150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)． 4

由条件知， 直线BC的方程为y＝－(x－170)，

3

即4x＋3y－680＝0.

由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，

|3d － 680|680－3d即r＝＝.

54＋3r－d≥80，

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以

r－（60－d）≥80，

－3d

d≥80，6805

即

680 － 3d

560－d）≥80，解得10≤d≤35.

680 － 3d

故当d＝10时， r ＝ 即圆面积最大，

5所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：

(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F

.

4

因为 tan∠FCO＝，

3

43

所以sin∠FCO＝， cos∠FCO＝55因为OA＝60，OC＝170，

680OC850500

所以OF＝OC tan∠FCO＝， CF， 从而AF＝OF－OA＝33cos∠FCO34

因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB ＝sin∠FCO＝.

5

400

又因为 AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 从而BC＝CF－BF＝150.

3

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．

因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO.

680－3dMDMDr3

故由(1)知sin∠CFO＝＝＝ 所以r＝MFOF－OM68055

－d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

r－d≥80，所以

r－（60－d）≥80，

即

680－3d

5－（60－d）≥80，

解得10≤d≤35.

680 － 3d

故当d＝10时， r＝最大，即圆面积最大，

5

所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大． 8、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

4

答案：.

3

680－3d

d≥80，5

9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )

11－， A. [－1，1] B. 22C. [ D. 

22

，

22

答案：A

10、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 答案： 解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． 由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 1

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

318

故l的方程为y＋.

33

410

又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为，

541016

故|PM|POM.

55

11．[2014·山东卷] 圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 12．[2014·重庆卷] 已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

答案：0或6

13、[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )

A．5，2 5 ] B．[10，2 5 ] C．10，4 5 ] D．5，4 5 ] 答案：B