第一章 数与式 知识点

第一章 数与式

知识点

一、实数的有关概念

1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a. 注意:0的相反数为0; 两

个相反数和为0.

2、 倒数:两个数的积为1, 这两个数互为倒数. 即a 的倒数为1. 注意:0没有倒数. a

3、 绝对值:a的绝对值为|a|,|a|=⎨⎧a (a ≥0) -a (a ≤0) ⎩

4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小

6、 无理数：无限不循环小数

⎧⎧整数⎪有理数⎨（有限小数或无限循环小数）7、 实数分类：实数⎨ ⎩分数

⎪⎩无理数（无限不循环小数）

8、 科学记数法：把一个数写成a ×10n 的形式（其中1≤ a

9、 近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

10、 非负数：指 a≥0，非负数有|a|，a 2，a . 注意：几个非负数的和为0，则每一个非

负数为0.

二、实数的有关计算

1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方

2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号；

同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。

3、 运算律：

（1） 加法交换律：a+b=b+a

（2） 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

（3） 乘法交换律：ab=ba

（4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

（5） 乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc

三、代数式有关概念

1、 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数

或字母也是代数式

2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。

⎧⎧⎧单项式（系数、次数）⎪⎪整式⎨3、 代数式分类：代数式⎪有理式⎨ ⎩多项式（次数、项数）⎨⎪⎪⎩分式

⎪无理式（初中只要求掌握二次根式）⎩

四、整式

1、 整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。

2、 整式运算：

（1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项

①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项

②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

注意：不是同类项不能合并。

③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c

④添括号法则：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)

(2)整式的乘、除法：

①幂的运算法则：

m n mn m m m (a ) =a (a ∙b ) =a ∙a a m ∙a n =a m +n a m ÷a n =a m -n （a ≠0）

a m a m 1() =m （ b ≠0） a 0=1 （a ≠0） a -m =m （a ≠0） b b a

②乘法公式：平方差公式(a +b )(a -b ) =a -b

完全平方公式(a ±b ) =a ±2ab +b

③单项式乘以（或除以）单项式

④单项式乘以多项式：a ∙(b +c ) =ab +ac

⑤多项式乘以多项式：(a +b )(m +n ) =am +an +bm +bn

⑥多项式除以单项式：(a +b ) ÷m =a ÷m +b ÷m

五、因式分解

1、概念：把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解

2、因式分解方法与步骤：

一提（公因式）：ma +mb +mc =m (a +b +c )

二用（公式）：平方差公式22222a 2-b 2=(a +b )(a -b )

222完全平方公式a ±2ab +b =(a ±b )

三试（十字相乘）

四查：检查每一个因式都不能分解为止

六、分式

1、 分式；除式中含有分母的有理式叫分式

a am a a ÷m （m ≠0） =, =b bm b b ÷m

am a a c ad bc 3、 约分和通分：约分 =，通分, →, bm b b d bd bd 2、 分式基本性质：

4、 分式运算 ①分式的加减法：同分母a b a ±b a c ad ±bc 异分母±= ±=c c c b d bd

a n a n a c ac a c a d ②分式的乘除、乘方：∙=, ÷=⨯, () =n b b d bd b d b c b

注意：分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后进行约分和通分。

七、根式

1、 方根的有关概念

（1） 平方根： a的平方根±a （a ≥0），注意：负数没有平方根

（2） 算术平方根： a的算术平方根a （a ≥0）

（3） 立方根： a 的立方根a （a 为全体实数）

2、 二次根式

（1）式子a （a ≥0）叫二次根式

（2）二次根式的性质：①(a ) 2=a （a ≥0） ②a =|a|=⎨2⎧a (a ≥0) ⎩-a (a ≤0)

③a ∙b = a ∙(a ≥0, b ≥0) ④a =（a ≥0，b ＞0）b （3）最简二次根式：被开方数中每一个因式的指数都小于2，并且被开方数不含分母的二

次根式叫最简二次根式

（4） 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次

根式叫同类二次根式

3、 二次根式的运算：

（1） 加减法：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式

（2） 乘除法：a ∙b =a ∙b (a ≥0, b ≥0) a =a （a ≥0，b ＞0）

b

（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：

1

a

=a a ∙a ， 1a ±b =a b (a ±) ∙(a b )