20**年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题

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2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（一） ........................ 2 2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（二） ........................ 9 2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（三） ...................... 14 2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（四） ...................... 23 2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（五） ...................... 32

2017年重庆师范大学数学学院830概率论与数理统计考研强化模拟题（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。 ————————————————————————————————————————

一、证明题

1 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

试证

不是的无偏估计.

由于

是参数的无偏估计，

即

所以

不是的无偏估计.

3． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

4． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

2． 设是参数的无偏估计，且有

【答案】由方差的定义可知

，

因而

.

, 且X 与Y 独立,

又由泊松分布的可加性知

,

理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

5． 若

【答案】因为

证明：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证. 6． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

7． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.

因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记

为第k 次取到白球的概率，则有

且即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

8． 设分别是的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , UMVUE.

【答案】由于分别是的UMVUE , 故且对任意一个

满足

由判断准则知

于是

因此

是

的UMVUE.

是

的

二、计算题

9． 设给定：

（1）求（

是来自正态分布

的一个样本，令

又设，其中

；

的联合先验分布如下已知.

在固定时，的条件分布为）的后验分布

（2）求的后验边际分布；

（3）求给定条件下的后验边际分布. 【答案】（1）（

）的先验分布为

与（

）的联合分布为

所以，（

）的后验分布为