第2讲 函数与映射的概念

第2讲 函数与映射的概念

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误

问题1：已知函数y =f (x ) 的定义域为[a ，b ]，求y =f (x +2) 的定义域

问题2：已知y =f (x +2) 的定义域是[a ，b ]，求函数y =f (x ) 的定义域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法： y =-sin 2x -2cos x +4，

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y =log 1(-x 2+2x +3) 就是利用函数y =log 1u 和u =-x 2+2x +3的值域来求。

22

2x +1的值域 x 2-2x +2

2x +11由y =2得yx 2-2(y +1) x +2y -1=0，若y =0，则得x =-，所以y =02x -2x +2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y =

是函数值域中的一个值；若y ≠0，则由∆=[-2(y +1)]2-4y (2y -1) ≥0得3-3+3-3+≤y ≤且y ≠0，故所求值域是[, ] 2222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y =2cos x -3的值域，因为 cos x +1

2cos x -3555y ==2-∈(-∞, -]，故 ，而cos x +1∈(0, 2]，所以-cos x +1cos x +1cos x +12

1y ∈(-∞, -] 2

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f (x ) =x 2，g (x ) =x 3；

x x ≥0, ⎧1（2）f (x ) =，g (x ) =⎨ x -1x

（3）f (x ) =2n x 2n +1，g (x ) =(2n x ) 2n -1（n ∈N *）；

（4）f (x ) =x x +1，g (x ) =x 2+x ；

（5）f (x ) =x 2-2x -1，g (t ) =t 2-2t -1

[新题导练]

1．(2009·佛山) 下列函数中与函数y =x 相同的是( )

A .y = (x ) ; B. y

= 2 y =x 2 x 2

; D. y = x

2．(09年重庆南开中学) 与函数y =0. 1lg(2x -1) 的图象相同的函数是 （ ）

A. y =2x -1(x >11111) ；B. y =(x >) ； D.y =|| ；C. y =22x -12x -122x -1

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有解析式的函数的定义域

[例2].（08年湖北）函数f (x ) =1ln(x 2-3x +2+-x 2-3x +4) 的定义域为( ) x

A. (-∞, -4) [2, +∞) ;B. (-4, 0) (0, 1) ；C. [,-4, 0) (0, 1];D. [,-4, 0) (0, 1)

题型2：求抽象函数的定义域

2+x x ⎫⎛2⎫，则f ⎛ ⎪+f ⎪的定义域为（ ） 2-x ⎝2⎭⎝x ⎭

A . (-4, 0) (0, 4)；B . (-4, -1) (1, 4)；C . (-2, -1) (1, 2)；D . (-4, -2) (2, 4) [例3]（2006·湖北）设f (x )=lg 题型3；求函数的值域

[例4]已知函数y =x -4ax +2a +6(a ∈R ) ，若y ≥0恒成立，求f (a ) =2-a a +3的值域

3. （2008

安徽文、理）函数f (x ) =22的定义域为 ．

4．定义在R 上的函数y =f (x ) 的值域为[a , b ]，则函数y =f (x -1) 的值域为( )

A ．[a -1, b -1]；B ．[a , b ]；C ．[a +1, b +1]；D ．无法确定

5．(2008江西改) 若函数y =f (x ) 的定义域是[1, 3]，则函数g (x ) =

f (2x ) 的定义域是 x -1

6．(2008江西理改) 若函数y =f (x ) 的值域是[, 3]，则函数F (x )=f (x )+

是 231的值域 f (x )

考点三：映射的概念

[例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a , b , c , d 对应密文

当接收方收到密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d . 例如，明文1,2,3,4对应密文5, 7,18,16.

14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）

A ．7,6,1,4；B ．6,4,1,7；C ．4,6,1,7；D ．1,6,4,7

[新题导练]

7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.

8．若f :y=3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.

基础巩固训练：

1．(2007·广东改编) 已知函数f (x ) =1

-x 的定义域为N ，g (x ) =ln(1+x ) 的定义域为

M ，则M N =2．函数y =log 1(3x -2) 的定义域是3

2x -13．函数y =x 的值域是2+1

4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中, 下列说法正确的是( )

A ．B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个

C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同

5．法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是

A ．A ={x |x >0},B =R , f :x →|y |=x 2 B ．A ={-2, 0, 2},B ={4},f :x →y =x 2 C ．A =R , B ={y |y >0},f :x →y =D ．A ={0, 2},B ={0, 1},f :x →y =1 x 2x 2

25，-4]，则m 的取值46．（09年执信中学）若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ], 值域为[-

范围是（ ）

+∞）3]； C．[，4]；D ．[，A ．(0, 4]；B ．[，

综合提高训练：

8．（05天津改）设函数f (x ) =ln

29．设函数f (x ) =x +x +3232322+x x 1，则函数g (x ) =f () +f () 的定义域是2-x 2x 1的定义域是[n , n +1](n 是正整数) ，那么f (x ) 的值域中共有 2

个整数