概率论思想方法在代数中的应用

安徽农业技术师范学院学报,2001,15(1) :54～56

Journal of Anhui Agrotechnical Teachers College

概率论思想方法在代数中的应用

余宏旺

(安徽技术师范学院基础部, 安徽　凤阳233100)

　　摘　要:文章主要介绍如何把概率论的基本概念, 性质和概率模型等应用于三角不等式, 组合等式和数列不等

式的证明之中, 旨在简化证明过程, 同时锻炼思维, 培养创新意识, 感悟数学学科的统一性。

关键词:概率论; 巴纳赫氏问题; 数学期望

中图分类号:O211.9　　　文献标识码:B　　　文章编号:1007-3302(2001) 01-0054-03

　　近年来, 从事数学教学的工作者在其数学观上发生了或正在发生深刻的变化“, 数学=逻辑”的狭隘观念得到了相当程度的纠正“, 数学的绝对主义”理论在一步步消退, , , 但是应用数学手段解决实际问题显得更有意义和价值。可以想象, 角落。在此大背景之下, , 。。1　思想方法

源于赌博场上游戏规则的概率论, 虽然曾一度因其“出身不好”, 而引起人们的争议, 但由于其研究的对象———随机现象在社会日常生活中的广泛存在性, 从而使得它随着社会的发展而蓬勃发展起来, 最终以其独特的思想和方法、丰富的内容、严谨的理论而构成数学的一个有特色的分支学科。概率论是在寻求解决社会日常生活中的一类随机现象发生的概率问题过程中形成自身一整套严密的知识体系, 在理论上研究探索随机现象发生的统计规律, 同时运用自身丰富的内容和严谨的理论来探讨解决实践中的问题, 又在具体实践问题的探索中发现和建立新的概率模型, 以此丰富和发展概率论这门学科。

2　具体应用

近年来数学上的许多重大突破, 绝大多数反映了数学的各分支学科之间的相互交叉和渗透, 数学发展日益表现出内在的统一性。概率论以其研究对象———随机现象的普遍性, 从而在科学技术、工农业生产和其它学科如物理、生物等各方面具有极其广泛的应用, 但作为数学的一门有特色的分支学科, 它本身又与数学的其它分支学科紧密联系。本文运用概率论的基本概念, 性质和概率模型等有关思想方法证明一些等式和不等式, 从中感悟数学的统一性, 同时在思维和意识上取得一种进步。

2. 1　三角不等式方面的应用

根据事件概率的定义, 对于任意事件A , 都有0≤P (A ) ≤1, 灵活利用它和相关概率性质及方式, 我们在证明一些比较特殊情形的三角不等式时往往能起到意想不到的显著效果。

αβπ/2, 例1. 已知0≤, ≤

αSin β证明:SinαSin β≤Sin α+Sin β≤1+Sin

收稿日期:2000-12-19

15卷第1期　　　　　　　　　　　　　余宏旺　概率论思想方法在代数中的应用　　　　　　　　　　　　　　　55

[分析:这道题主要是考察三角函数, 单纯地利用我们有限的三角函数知识, 实在是无从下手。而我们若

α≤β≤α,Sin β分别取作两应用概率方法, 从已知出发, 得到:0≤Sin 1,0≤Sin 1, 再根据事件概率的性质, 把Sin

相互独立事件的概率, 最后运用概率加法公式即可推出其结果, 由此在解题中起到化繁为易的作用。]

αβπ证明:由0≤, ≤/2,

α,Sin β≤⊥0≤Sin 1

α,Sin β分别为两相互独立事件A 、可设Sin B 的概率,

α, (P ) B =Sin β。根据概率加法公式和相互独立性, 即P (A ) =Sin

得:P (AUB ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =P (A ) +P (B ) -P (A ) P (B )

由于0≤P (AUB ) ≤1,

α+Sin β-Sin αSin β≤从而推导出0≤Sin 1,

移项即证得原不等式成立。

2. 2　组合恒等式方面的应用

组合恒等式一般比较复杂, 而我们所学的知识也毕竟有限, 所以在面对一个组合恒等式时往往显得无从下笔。如果恰当地应用概率论思想方法, 构造适当的概率模型则能让人领悟到“柳暗花明又一村”的惊喜感受, 下面就是一个很好的例子。

例2. 证明恒等式:

1+N +1N +2N +N +2+…+N =N

212N 22

[分析和证明][1]:有一数学家有两盒火柴, , , 连续地抽取, , 另一盒火柴还剩下r 根火柴的概率。解决巴纳赫氏问题, 我们记从第一盒中选取为“成功”, 事件A r =“发现一盒空, 另外一盒尚有r 根火柴”“当发现第一盒火柴空时, , 第二盒中尚有r 根火柴”这一事件, 等价于“恰有N -r 次失败发生在第N +1次成功之前”, 再考虑到两盒火柴地位相同, 由熟知的巴斯卡分布可得:

2N -r 2N -r =22N

现在我们利用巴纳赫氏问题来证明例2, 显然经上面分析知,r 取0到N 的诸事件之和构成样本空间Ω2N -r P (A r ) =22N 1N -r n 中的所有的样本点。

故

2N -r A =∑P (A r ) =1]P (Ω) =P r ∪=0r =0r =02n

两边同乘以2N 和利用组合数性质变形可得:N N

N N 2N -r =12N -r N -r =2N r =02N -r

令N -r =K , 注意到r 从0变化到N , 相应地K 从N 变化到0, 故:

N +K =02K N K =2N

即可证得原题中组合恒等式成立。[证后小结]:利用概率论思想方法证明组合数等式, 相应要求我们对概率论中的有关概率模型和典型问题的解决方法要熟练掌握, 从而在证题过程中才能得心应手。

2. 3　数列不等式证明中的应用

数列不等式的证明也是一个相当复杂的问题, 但如果我们恰当地选取概率分布密度以及相关概率不等式, 从而就可以达到简化这一类问题的证明过程。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　安徽农业技术师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　2001年56

例3[2]:设{an }{bn }, 则

∞∞∞2∑b ∑a k b k ∑k =1k =1k =1a k

证明:{ak }, 可以构造离散型随机变量ζ, 使其概率分为密度为ζ=a k }=C k ≥P{0,

∞显然∑C k =1k =1

ζE ≥再利用随机变量ζ的数学期望和其函数ζ的数学期望的乘积不小于1, 即E ζ1

∞a k c ∑得:k ∑=1k =1∞a k ≥1

恰当选取C k =代入上式即得:

∞

k =1∞k =1≥0∑b k ∑a k b k

∞∞b k ∑≥k ∑=1k =1a k ∞2从而证得成立。k =1k =1a k

在证明过程中, 我们适当选取了C k , 。∑b 2∞a k b k ∑k ∑=1∞

[　献]

[1]魏宗舒. [M ].北京:高等教育出版社,1983,10:58

[2]匡继昌. 常用不等式[M ].湖南:湖南教育出版社,1993,5:550～551

An Application of the Idea of Probability Theory in G eometry

YU Hong 2wang

(Basic Department ,Anhui Technical Teachers College ,FengY ang ,Anhui )

　　Abstract :The article mainly discusses how to apply the basic concept of probability theory ,probability char 2acter and probability model ,etc. toproving tringle unequility ,formation equality and numerical list uneqility ,aim 2ing to simplify the proving porcess. The method also helps to temper our intellect ,foster our innovative sense and make us appreciate the unity of number science.

　　K ey Words :Probability theory ;Banach problem ;Number expectatin