高中公式定理大全

数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . ∅ØA ⇔A ≠∅

2 集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个;真子集有2-1个;非空子集有2-1个;非空的真子集有2-2个.

3 二次函数的解析式的三种形式:

(1) 一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ;

(2) 顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (当已知抛物线的顶点坐标(h , k ) 时,设为此式) (3) 零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ;(当已知抛物线与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0) 时,

设为此式)

(4)切线式:f (x ) =a (x -x 0) 2+(kx +d ), (a ≠0) 。(当已知抛物线与直线y =kx +d 相切且切点的

横坐标为x 0时,设为此式)

7 函数单调性:

增函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而增大。

(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的

n

n

n

n

x 1, x 2∈D , 且x 1

f (x 1)

减函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而减小。

(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的

x 1, x 2∈D , 且x 1

f (x 1) >f (x 2) 成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是减函数。D 则就是f (x )的递减区间。

单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数;

(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。

(1)设x 1, x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数;

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导,如果f '(x ) >0,则f (x ) 为增函数;如果f '(x )

定义:在前提条件下,若有f (-x ) =-f (x ) 或f (-x ) +f (x ) =0,

则f (x )就是奇函数。

性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;

(2)、奇函数在x >0和x

(3)、定义在R 上的奇函数,有f (0)=0 . 偶函数:

定义:在前提条件下,若有f (-x ) =f (x ) ,则f (x )就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于y 轴对称;

(2)、偶函数在x >0和x

(1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数;

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9函数的周期性: 定义:对函数f (x ),若存在T ≠0,使得f (x+T)=f(x ),则就叫f (x )是周期函数,其中,T 是f (x )

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式:

(1)、f (x+T)= - f(x ),此时周期为2T ;

(2)、 f (x+m)=f(x+n),此时周期为2m -n ; (3)、f (x +m ) =-

10常见函数的图像:

1

,此时周期为2m 。 f (x )

11 对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是x =函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x )

的图象关于直线x =12 分数指数幂与根式的性质: (1)a

m n

a +b

; 两个2

b -a

对称. 2

=

a >0, m , n ∈N *,且n >1).

m n

(2)a

-

=

1

m n

=

a

(3)n

=a .

a >0, m , n ∈N ,且n >

1).

*

(4)当n =a ;当n =|a |=⎨

⎧a , a ≥0

.

-a , a

13 指数式与对数式的互化式: log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .

指数性质: (1)1、a

r -p

=

s

10

; (2)、a =1(a ≠0) ; (3)、a mn =(a m ) n p a

r +s

(4)、a ⋅a =a 指数函数:

(a >0, r , s ∈Q ) ; (5)

、a = ;

m n

(1)、 y =a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;

(2)、 y =a x (0

(1)、 log a M +log a N =log a (MN ) ;(2)、 log a M -log a N =log a (3)、 log a b m =m ⋅log a b ;(4)、 log a m b =(6)、 log a a =1 ; (7)、 a 对数函数:

(1)、 y =log a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;

(2)、y =log a x (00

+(1,∞

l o a g b

n

M

; N

n

⋅log a b ; (5)、 log a 1=0 m

=b

(4)、log a x

对数恒等式:a

n

log m N

(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).

log m a

log a N

=N (a >0, 且a ≠1, N >0).

推论 log a m b =

n

log a b (a >0, 且a ≠1, N >0). m

15对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则

(1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a (3)log a M n =n log a M (n ∈R ) ; (4) log a m

16 平均增长率的问题(负增长时p

x

如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有y =N (1+p ) . 19三角不等式:

M

=log a M -log a N ; N

n

N n =log a N (n , m ∈R ) 。

m

(1)若x ∈(0,(2) 若x ∈

(0,

π

2

) ,则sin x

π

2

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

) ,则1

, cos θ

20 同角三角函数的基本关系式 :sin θ+cos θ=1,tan θ=

22

21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan(α±β) =

tan α±tan β

.

1 tan αtan β

b

). a

a sin α+

b cos αα+ϕ)

(辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=23 二倍角公式及降幂公式

sin 2α=sin αcos α=

2

2tan α

.

1+tan 2α

2

2

1-tan 2α

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=. 2

1+tan α

2tan αsin 2α1-cos 2α

tan 2α=tan α==.

1-tan 2α1+cos 2αsin 2α1-cos 2α1+cos 2α

sin 2α=,cos 2α=

22

2

24 三角函数的周期公式

函数y =sin(ωx +ϕ) ,x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ,x ∈R(A,ω, ϕ为常数,且A ≠0) 的周期

T =

π2ππ

;函数y =tan(ωx +ϕ) ,x ≠k π+, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数,且A ≠0) 的周期T =.

2|ω||ω|

三角函数的图像:

C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) . 222

29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:

(1) 结合律:λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律:(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . a a 30与b 的数量积(或内积) :·b =|a ||b |cos θ。

31平面向量的坐标运算:

(3)设A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .

(4)设a =(x , y ), λ∈

R ,则λa =(λx , λy ) .

a a (5)设=(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则·b =(x 1x 2+y 1y 2) .

32 两向量的夹角公式:

(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) .

a a (2)设=(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则-b =(x 1-x 2, y 1-y 2) .

a ⋅b

cos θ==

|a |⋅|b |

(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).

33 平面两点间的距离公式:

d A , B =|AB |==(x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ).

34 向量的平行与垂直 :设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,且b ≠0,则:

a ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (交叉相乘差为零)

a ⊥b (a ≠0) ⇔ a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. (对应相乘和为零)

λP (x , y ) 是线段PP 35 线段的定比分公式 :设P 是实数,且PP P 2(x 2, y 2) ,12的分点, 1(x 1, y 1) ,1=λPP 2,

⎧x 1+λx 2

x =⎪ OP +λOP 2⎪1+λ

则⎨ ⇔OP =1

1+λ⎪y =y 1+λy 2

⎪1+λ⎩

1

t =(). +(1-t ) OP ⇔OP =tOP 12

1+λ

36三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC

x +x 2+x 3y 1+y 2+y 3

, ) . 的重心的坐标是G (1

33

37三角形五“心”向量形式的充要条件:

设O 为∆ABC 所在平面上一点,角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ,则

2 2 2

(1)O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .

(2)O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.

(3)O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .

(4)O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.

(5)O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .

2

40 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ,如果a 与ax +bx +c 同号,则

2

其解集在两根之外;如果a 与ax +bx +c 异号,则其解集在两根之间. 简言之:同号两根之外,异

号两根之间. 即:

x 1x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1

41 含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有

x

x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x

42 斜率公式 :

k =

y 2-y 1

(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ).

x 2-x 1

43 直线的五种方程:

k (1)点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ,且斜率为) .

(2)斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).

y -y 1x -x 1

(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2, y 1≠y 2)).

y 2-y 1x 2-x 1

两点式的推广:(x 2-x 1)(y -y 1) -(y 2-y 1)(x -x 1) =0(无任何限制条件!)

x y

(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距,a ≠0、b ≠0)

a b

(5)一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).

直线Ax +By +C =0的法向量:l '=(A , B ) ,方向向量:l =(B , -A )

(3)两点式

46 点到直线的距离 :d =47 圆的四种方程:

(点P (x 0, y 0) , 直线l :Ax +By +C =0).

(1)圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.

(2)圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F >0).

2

2

⎧x =a +r cos θ

.

⎩y =b +r sin θ

(4)圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).

(3)圆的参数方程 ⎨

48点与圆的位置关系:点P (x 0, y 0) 与圆

(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:

d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d

49直线与圆的位置关系:直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种

Aa +Bb +C (d =):

22A +B

d >r ⇔相离⇔∆0.

若d =

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,O 1O 2=d ,则:

d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;

r 1-r 2

r 2-r 1

+rd =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线; 0

61证明直线与平面的平行的思考途径:

(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径:

(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;

(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算:

设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b 3) 则:

(1) a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ;

(2) a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ;

(3)λa =(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ;

(4) a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3;

65 夹角公式:

设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b

3) ,则cos =

66 异面直线间的距离 :

.

|CD ⋅n |

(l 1, l 2是两异面直线,其公垂向量为n ,C 、D 是l 1, l 2上任一点,d 为l 1, l 2间的距离). d =

|n |

67点B 到平面α的距离:

|AB ⋅n | (n 为平面α的法向量,A ∈α,AB 是α的一条斜线段). d =

|n |

432

68球的半径是R ,则其体积V =πR , 其表面积S =4πR .

3

69球的组合体:

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a

13(

的),

(

的).

44


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