高中公式定理大全
数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . ∅ØA ⇔A ≠∅
2 集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个;真子集有2-1个;非空子集有2-1个;非空的真子集有2-2个.
3 二次函数的解析式的三种形式:
(1) 一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ;
(2) 顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (当已知抛物线的顶点坐标(h , k ) 时,设为此式) (3) 零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ;(当已知抛物线与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0) 时,
设为此式)
(4)切线式:f (x ) =a (x -x 0) 2+(kx +d ), (a ≠0) 。(当已知抛物线与直线y =kx +d 相切且切点的
横坐标为x 0时,设为此式)
7 函数单调性:
增函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的
n
n
n
n
x 1, x 2∈D , 且x 1
f (x 1)
减函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而减小。
(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的
x 1, x 2∈D , 且x 1
f (x 1) >f (x 2) 成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是减函数。D 则就是f (x )的递减区间。
单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数;
(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;
注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
(1)设x 1, x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数;
x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导,如果f '(x ) >0,则f (x ) 为增函数;如果f '(x )
定义:在前提条件下,若有f (-x ) =-f (x ) 或f (-x ) +f (x ) =0,
则f (x )就是奇函数。
性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x >0和x
(3)、定义在R 上的奇函数,有f (0)=0 . 偶函数:
定义:在前提条件下,若有f (-x ) =f (x ) ,则f (x )就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于y 轴对称;
(2)、偶函数在x >0和x
(1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数;
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9函数的周期性: 定义:对函数f (x ),若存在T ≠0,使得f (x+T)=f(x ),则就叫f (x )是周期函数,其中,T 是f (x )
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f (x+T)= - f(x ),此时周期为2T ;
(2)、 f (x+m)=f(x+n),此时周期为2m -n ; (3)、f (x +m ) =-
10常见函数的图像:
1
,此时周期为2m 。 f (x )
11 对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是x =函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x )
的图象关于直线x =12 分数指数幂与根式的性质: (1)a
m n
a +b
; 两个2
b -a
对称. 2
=
a >0, m , n ∈N *,且n >1).
m n
(2)a
-
=
1
m n
=
a
(3)n
=a .
a >0, m , n ∈N ,且n >
1).
*
(4)当n =a ;当n =|a |=⎨
⎧a , a ≥0
.
-a , a
13 指数式与对数式的互化式: log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
指数性质: (1)1、a
r -p
=
s
10
; (2)、a =1(a ≠0) ; (3)、a mn =(a m ) n p a
r +s
(4)、a ⋅a =a 指数函数:
(a >0, r , s ∈Q ) ; (5)
、a = ;
m n
(1)、 y =a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;
(2)、 y =a x (0
(1)、 log a M +log a N =log a (MN ) ;(2)、 log a M -log a N =log a (3)、 log a b m =m ⋅log a b ;(4)、 log a m b =(6)、 log a a =1 ; (7)、 a 对数函数:
(1)、 y =log a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;
(2)、y =log a x (00
+(1,∞
l o a g b
n
M
; N
n
⋅log a b ; (5)、 log a 1=0 m
=b
(4)、log a x
对数恒等式:a
n
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
log a N
=N (a >0, 且a ≠1, N >0).
推论 log a m b =
n
log a b (a >0, 且a ≠1, N >0). m
15对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
(1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a (3)log a M n =n log a M (n ∈R ) ; (4) log a m
16 平均增长率的问题(负增长时p
x
如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有y =N (1+p ) . 19三角不等式:
M
=log a M -log a N ; N
n
N n =log a N (n , m ∈R ) 。
m
(1)若x ∈(0,(2) 若x ∈
(0,
π
2
) ,则sin x
π
2
(3) |sin x |+|cos x |≥1.
) ,则1
, cos θ
20 同角三角函数的基本关系式 :sin θ+cos θ=1,tan θ=
22
21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan(α±β) =
tan α±tan β
.
1 tan αtan β
b
). a
a sin α+
b cos αα+ϕ)
(辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=23 二倍角公式及降幂公式
sin 2α=sin αcos α=
2
2tan α
.
1+tan 2α
2
2
1-tan 2α
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=. 2
1+tan α
2tan αsin 2α1-cos 2α
tan 2α=tan α==.
1-tan 2α1+cos 2αsin 2α1-cos 2α1+cos 2α
sin 2α=,cos 2α=
22
2
24 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ,x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ,x ∈R(A,ω, ϕ为常数,且A ≠0) 的周期
T =
π2ππ
;函数y =tan(ωx +ϕ) ,x ≠k π+, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数,且A ≠0) 的周期T =.
2|ω||ω|
三角函数的图像:
⇔
C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) . 222
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:
(1) 结合律:λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律:(λ+μ) a =λa +μa ;
(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . a a 30与b 的数量积(或内积) :·b =|a ||b |cos θ。
31平面向量的坐标运算:
(3)设A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .
(4)设a =(x , y ), λ∈
R ,则λa =(λx , λy ) .
a a (5)设=(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则·b =(x 1x 2+y 1y 2) .
32 两向量的夹角公式:
(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) .
a a (2)设=(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则-b =(x 1-x 2, y 1-y 2) .
a ⋅b
cos θ==
|a |⋅|b |
(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).
33 平面两点间的距离公式:
d A , B =|AB |==(x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ).
34 向量的平行与垂直 :设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,且b ≠0,则:
a ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (交叉相乘差为零)
a ⊥b (a ≠0) ⇔ a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. (对应相乘和为零)
λP (x , y ) 是线段PP 35 线段的定比分公式 :设P 是实数,且PP P 2(x 2, y 2) ,12的分点, 1(x 1, y 1) ,1=λPP 2,
⎧x 1+λx 2
x =⎪ OP +λOP 2⎪1+λ
则⎨ ⇔OP =1
1+λ⎪y =y 1+λy 2
⎪1+λ⎩
1
t =(). +(1-t ) OP ⇔OP =tOP 12
1+λ
36三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC
x +x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) . 的重心的坐标是G (1
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件:
设O 为∆ABC 所在平面上一点,角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ,则
2 2 2
(1)O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .
(2)O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.
(3)O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
(4)O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.
(5)O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .
2
40 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ,如果a 与ax +bx +c 同号,则
2
其解集在两根之外;如果a 与ax +bx +c 异号,则其解集在两根之间. 简言之:同号两根之外,异
号两根之间. 即:
x 1x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
41 含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有
x
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
42 斜率公式 :
k =
y 2-y 1
(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ).
x 2-x 1
43 直线的五种方程:
k (1)点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ,且斜率为) .
(2)斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2, y 1≠y 2)).
y 2-y 1x 2-x 1
两点式的推广:(x 2-x 1)(y -y 1) -(y 2-y 1)(x -x 1) =0(无任何限制条件!)
x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距,a ≠0、b ≠0)
a b
(5)一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
直线Ax +By +C =0的法向量:l '=(A , B ) ,方向向量:l =(B , -A )
(3)两点式
46 点到直线的距离 :d =47 圆的四种方程:
(点P (x 0, y 0) , 直线l :Ax +By +C =0).
(1)圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
(2)圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F >0).
2
2
⎧x =a +r cos θ
.
⎩y =b +r sin θ
(4)圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
(3)圆的参数方程 ⎨
48点与圆的位置关系:点P (x 0, y 0) 与圆
(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
49直线与圆的位置关系:直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种
Aa +Bb +C (d =):
22A +B
d >r ⇔相离⇔∆0.
若d =
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,O 1O 2=d ,则:
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
r 2-r 1
+rd =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线; 0
61证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;
(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算:
设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b 3) 则:
(1) a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ;
(2) a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ;
(3)λa =(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ;
(4) a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3;
65 夹角公式:
设a =(a 1, a 2, a 3) ,b =(b 1, b 2, b
3) ,则cos =
66 异面直线间的距离 :
.
|CD ⋅n |
(l 1, l 2是两异面直线,其公垂向量为n ,C 、D 是l 1, l 2上任一点,d 为l 1, l 2间的距离). d =
|n |
67点B 到平面α的距离:
|AB ⋅n | (n 为平面α的法向量,A ∈α,AB 是α的一条斜线段). d =
|n |
432
68球的半径是R ,则其体积V =πR , 其表面积S =4πR .
3
69球的组合体:
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体
的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
13(
的),
(
的).
44
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