16.2二元函数的极限

§2 二元函数的极限

教学目的 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． 教学要求

(1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． 教学建议

(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．

(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法． 教学程序

一、二重极限与累次极限:

定义l 设二元函数f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数．若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P ∈∪0(Po；δ) ∩ D时，都有

|f(P)-A|＜ε,

则称f 在D 上当P →P 0时，以A 为极限，记作

lim

p →p

p ∈D

f (P ) =A . (1)

在对于P ∈D 不致产生误解时，也可简单地写作

lim p →p 0

f (P ) =A .

当P ，P 0分别用坐标(x，y) ，(x0，y 0) 表示时，(1)式也常写作

(x , y ) lim →(x 0y 0) f (x , y ) =A .

22

例1 依定义验证 (x , y ) lim →(2, 1) (x +xy +y ) =7.

证 因为

|x2+xy+y2-7|

= |(x2-4)+xy-2+(y2-1)|

=|(x+2)( x-2)+( x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|

≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.

先限制在点（2，1）的δ=1的方邻域

{（x ，y ）||x-2|＜1，|y-1|＜1} 内讨论，于是有

|y+3|=|y-1+4|≤|y-1|+4＜5 |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5|

≤|x-2|+|y-1|+5＜7．

所以

|x2+xy+y2-7|≤7|x-2|+5|y-1|

＜7(|x-2|+|y-1|).

设ε为任给的正数，取δ=min(1，ε(x，y) ≠（2，1）时，就有

) ，则当|x一2|＜δ,| y-1 |＜δ,

|x2+xy+y2-7|＜7·2δ=14δ＜ε.

例2 设

⎧x 2-y 2⎨xy 2

f(x,y)=⎩x +y 2

(x , y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)

证明 lim (x , y ) →(0, 0) f(x,y)=0．

证 对自变量作极坐标变换x=rcos ϕ,y=rsin ϕ．这时(x，y) →(0，0) 等价于对任何ϕ, 都有r →0．由于

x 2-y 2

|f(x,y)-0|=xy 2 2

x +y

11=r 2|sin 4ϕ|≤r 2 44

因此，对任何ε＞0，只须取δ=2，当0＜

δ时，不管ϕ取什值都有|f(x,y)-0|

下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原则(而且证明方法也相似) ．读者可通过它们进一步认识定义1中“P →P 0”所包含的意义．

定理16.5 lim f (P ) =A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要

P →P 0

P ∈D

P o 是E 的聚点，就有

P →P 0P ∈E

lim f (P ) =A .

lim

p →p

0p ∈E 1

推论1 设E 1⊂D ，P 0是E l 的聚点. 若存在．

f (P ) 不存在，则lim p →p 0f (P ) 也不

p ∈D

推论2 设E 1，E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限

f (P ) =A 1, lim f (P ) =A 2 lim p →p 0p →p 0

p ∈E 1

p ∈E 2

但A 1≠A 2，则

lim

p →p 0

p ∈D

f (P ) 不存在·

lim

p →p 0p ∈D

推论3 极限

f (P ) 存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 。

且lim n →∞P n =P 0的点列{Pn }，它所对应的函数列{f(Pn )}都收敛． 下面两个例子是它们的应用． 例3 讨论f(x，y)=

xy

当(x，y) →(O，0) 时是否存在极限． 22

x +y

解 当动点(x，y) 沿着直线y=mx而趋于定点(0，0) 时，由于此时 f(x，y)=f(x，mx)=

m

，因而有 2

1+m

m

, 1+m 2

lim

lim ((x , y ) →(0, 0) f (x , y ) =x →0f (x , mx ) =

y =mx

这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在． 例4二元函数

⎧1, 当0

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其余部分.

如左图所示，当(x，y) 沿任何直线趋于原点时，相应的f(x，y) 都趋于零，但这并不表明此函数在(x，y) →(0，0) 时极限存在．因为当点 (x，y) 沿抛物线y=kχ2(0

f(x，y) 将趋于1．所以极限(x , y ) lim y) 不存在． →(0, 0) f(χ，

下面我们再给出当P(x，y) 一P 0(x0，y 0) 时， f(x，y) 趋于+∞(非正常极限) 的定义．

定义2 设D 为二元函数，的定义域，P 0(x0，y 0) 是D 的一个聚点．若对任给正数M ，总存在点P 0的一个δ邻域，使得当P(x，y) ∈∪0(Po；δ) ∩D 时，都有f(P)＞M ，则称f 在D 上当P →Po 时，存在非正常极限+∞，记作

lim

p →p 0

f (x , y ) =+∞,

仿此可类似地定义：

lim

lim p →p 0f (p ) =-∞ 与 p →p 0f (p ) =∞

例5 设f(x，y)=

1

. 证明

2x 2+3y 2

(x , y ) lim →(0, 0) f(x，y)=+∞.

证 因为2x 2+3y2

x 2+3y 2

12M

,

δ=

12M

,

由此推得

2 x2+3y2

1

>M . 22

2x +3y

1, M

这就证得结果(该函数在原点附近的图象参见下图

:

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别f(x，y) 看作点函数f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出． 二、 累次极限

在上一段所研究的极限(x , y ) lim y) 中，两个自变量x ，y 同时以任何方→(0, 0) f(x，式趋于x 0，y 0．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于x 0与y 0时f 的极限，这种极限称为累次极限．

定义3 设E χ，Ey ⊂R ，x 0是E χ的聚点，y o 是E y 的聚点，二元函数f 在集合D=Eχ×E y ①上有定义。若对每一个y ∈E y ,y ≠y 0, 存在极限旦影 lim x →x 0f (x , y ), 由于此

x ∈E x

极限一般与y 有关，因此记作

ϕ(y ) =lim x →x 0f (x , y ),

x ∈E x

而且进一步存在极限

L=lim x →x 0f (x , y ),

x ∈E y

则称此极限为二元函数f 先对x(→x 0) 后对y(→y 0) 的累次极限，并记作

L=lim y →y 0

y ∈E y

lim

x →x 0

x ∈E x

f (x , y )

或简记作

lim

L=lim y →y 0y →y 0f (x , y ).

类似地可以定义先对y 后对z 的累次极限

lim

K=lim y →x 0y →y 0f (x , y ).

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系． 下面三个例子将说明这一点．

例6设 f(x，y)=

xy

. ．由例3已经知道(x，y) →(0，0) 时f 的重极22

x +y

限不存在．但当y ≠0时有

lim x →0

xy

=0. 22

x +y

lim x →0

从而有 lim x →0

xy

=0.

x 2+y 2

xy

=0. 22

x +y

同理可得

lim lim x →0y →0

即f 的两个累次极限都存在而且相等．

x -y +x 2+y 2

例7 设f(x，y)=. 它关于原点的两个累次极限分别为

x +y

lim lim x →0y →0

x -y +x 2+y 2lim y 2-y lim

=y →0=y →0(y -1) =-1,

y x +y x -y +x 2+y 2lim x +x 2lim

=x →0=y →0(x +1) =1.

x x +y

与

lim lim

x →0y →0

当沿斜率不同的直线y=xm，(x，y) →(0，0) 时，容易验证所得极限也不同．因此该函数的重极限不存在(下面的定理16．6将告诉我们，这是一个必然的结果) ． 例8 设f(χ，y)= xsin

11

+ysin, 它关于原点的两个累次极限都不存在．这

x y

是因为对任何y ≠0，当x →0时f 的第二项不存在极限．同理，对任x ≠0，当y →0时f 的第一项也不存在极限．但是由于 x sin

11

+y sin ≤|x|+|y|， y x

lim

y →0

故按定义1知道f 的二重极限存在，且lim x →0

f (x , y ) =0.

下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的． 定理16.6 若f(x，y) 在点(xo ，y o ) 存在二重极限

lim

lim (x , y ) →(x 0, y 0) f (x , y )

lim

与累次极限 lim x →x 0y →y 0f (x , y )

则它们必相等． 证设

lim

(x , y ) →(x 0, y 0)

f (x , y ) =A

则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当P(x，y) ∈∪0(Po ；δ) 时，有

|f(x,y)-A|＜ε

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 0＜|x-x0|＜δ的x ，存在极限

lim y →y 0

(x，y)=ϕ(x)．

回到不等式(2)，让其中y →y o ，由(4)可得

|ϕ(x)-A|≤ε．

故由(3)，(5)证得lim x →x 0ϕ(χ)=A，即

lim lim

x →x 0y →y 0

(χ，y)=(x , y ) lim →(y →y 0) (x，y)=A.

由这个定理可导出如下两个便于应用的推论． 推论1 若累次极限

lim lim

x →x 0y →y 0

f (x , y ) ，

lim lim y →y 0x →x 0

f (x , y )

和二重极限

lim

(x , y ) →(y →y 0)

f(x，y)

都存在，则三者相等． 推论2 若累次极限

lim lim

x →x 0y →y 0

f (x , y ) 与

lim lim y →y 0x →x 0

f (x , y )

存在但不相等，则二重极限(x , y ) lim →(y →y 0) f(x，y) 必不存在．

注意: 定理16.6保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等．(本节习题3则给出较定理16.6弱一些的充分条件．) 但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2(5)．

推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定二重极限的存在性(如例7) ．

总的来说二重极限与累次极限的关系如下:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序.

（２） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在. （３）二重极限存在也不能保证累次极限存在. 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. （4）二重极限

极限

和累次极限

(或另一次序)

都存在 , 则必相等. （5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等 作业 教材P99:1,2,3,4,5.