直线方程几种形式的选择

例谈直线方程几种形式的选择

在求直线方程时,最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)中的哪一种好呢,则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。

1。已知斜率时,可设斜截式

例1求斜率为3,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程。 解:设直线L 的方程为y =

4

x +b

令x=0得y=b;令y=0得x =-。 3b

5 ∴|b|+|-,∴b=±4, ∴直线L 的方程为y =3b |+|3b |=12

3

4

x ±4。

点评:在斜率已知的情况下,直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式,其中的b 表示直线在y 轴上的截距。

2。已知直线过一点时,可设点斜式 例2直线L 过点P (2,3),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。当|PA|•|PB|最小时,求直线L 的方程。

3

思路1:引进斜率,设L 方程为y-3=k(x-2) (k

|PA|•|PB|=(k 2+9)(4+4k ) ≥12,所以当k= -1时|PA|•|PB|取最小值12,此时直线L 的方程为x+y-5=0。

3思路2:设L 倾斜角为α(α为钝角),将其补角记为θ(θ为锐角)。则|PA|=,62

|PB|=,∴|PA|•|PB|==

122

≥12,因此当θ=450,即斜率k= -1时|PA|•|PB|取最

小值12,此时直线L 的方程为x+y-5=0。

点评:设了点斜式后,常常需要求出直线在x 轴和y 轴上的截距,然后解题。 3。与截距相关问题,可设截距式 例3直线L 过点P (4,3),且在x 轴、y 轴上的截距之比为1:2,求直线L 的方程。

x 解:设直线L 方程为:+=1,

y

将点P (4,3)代入直线方程得,a =11, ∴直线L 的方程为:2x+y-11=0。

点评:截距式与直线在x 轴和y 轴上的截距相关,结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解,请大家试试看。

4。适时应用“两点确定一条直线”

例4若2x 1-3y 1=4,2x2-3y 2=4,则经过两点A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 的直线方程为_____________。 分析:由条件知,点A 、B 都在直线2x-3y=4上,而两点确定一条直线,故可得直线AB 的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。

例5过点M (0,1)作直线L ,使它被两条已知直线L 1:x-3y+10=0和L 2:2x+y-8=0所截

得的线段AB 被点M 平分。求直线L 的方程。

解:设点A (a,b )在L 1上,由题设知,点B (-a,2-b )必在L 2上,

∴⎨

⎧a -3b +10=0⎧a =-4

∴⎨即A (-4,2)、B (4,0)

⎩-2a +(2-b ) -8=0⎩b =2

根据两点式可得,直线AB 方程为:x+4y-4=0。

点评:以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式,应注意弥补其缺陷

例6过点(3,-2)且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条?

x

错解:设直线截距式方程为:+

y

=1,将(3,-2)代入得a=1,

∴直线方程为:x+y-1=0。

剖析:以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0,因而出现了少解。事实上,当直线过原点时,其在两轴上截距均为0,也相等,这时设直线方程为y=kx,易得k =-,2此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。

例7经过点P (1,2)作直线L ,使它到点A (-1,-1)的距离为2。求L 的方程。 错解:设L 的方程为y-2=k(x-1),即 kx-y+(2-k)=0

利用点到直线距离公式解得k=12,故L 的方程为5x-12y+19=0。

剖析:由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢?原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用,还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件:到A 点的距离为2。因此L 的方程有两解:5x-12y+19=0和x=1。

点评:在直线方程的几种形式中,点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用,截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用,两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。


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