高中数学必修五第二章[数列]强化训练题

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

广州学大个性化教育发展中心

新课标必修五《数列》强化训练题

1． 已知三个正数成等差数列，如果最小的数乘以2，最大的数加上7，则成等比数列，且它们的积为1000，求等差数列的公差

2．设{a n }是一个公差为d (d ≠0) 的等差数列，它的前10项和S 10=110，且a 1，

a 2，a 4成等比数列。 （1）证明a 1=d ；

（2）求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.

3．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和． （1）若这个数列前n 项和最大，求n 的值． （2）求该数列前14项的和

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项的和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{|的前n 项的和，求T n

5．已知数列{a n }中，a n >0, S n =a 1+a 2+ +a n ，且a n =

6．已知数列{a n }中, s n 是其前n 项的和, 且对不小于2的正整数n 满足关系

S n

|}n

广州学大个性化教育发展中心

6S n

，求S n 。 a n +3

1+a n =S n +a n -1. （I ）求a 1, a 2, a 3； （II ）求数列{a n }的通项.

7．数列{a n }共有k 项(k为定值) ，它的前n 项和S n =2n2+n(1≤n≤k ，n∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项) ，余下的k -1项的平均值是79。 （1）求数列{a n }的通项。

（2）求出k 的值并指出抽取的是第几项。

8．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2an -1，数列{b n }满足b 1=2，b n +1=a n +b n . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和为T n

9．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项. （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；

c n c 1c 2c 3

（2）设数列{cn }对任意自然数n 均有+++ +=a n +1成立，求

b 1b 2b 3b n

c 1+c 2+c 3+ +c 2007的值.

10．设数列{a n }前项和为S n , 且(3-m ) S n +2ma n =m +3 (n ∈N +), 其中m 为常数,m ≠3.

（1）求证: 数列{a n }是等比数列; （2）若数列

{a n }

的公比q =f (m ) , 数列

{b n }

满足

⎧1⎫3+

b 1=a 1, b n =f (b n -1)(n ∈N , n ≥2), 求证:⎨⎬为等差数列，求b n .

2⎩b n ⎭

11．已知数列{a n }中, a 1=1, 前n 项和为S n , 对于任意的n ≥2(n ∈N *) ，

3S n -4, a n , 2-

3

S n -1总成等差数列. 2

（1）求a 2，a 3，a 4的值； （2）求通项a n ；

12．已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n =1, 2, 3, ) , 它的前n 项和为S n ，且

a 3=5，S 6=36． （Ⅰ）求a n ；

（Ⅱ）已知等比数列{b n }满足b 1+b 2=1+a ，b 4+b 5=a 3+a 4(a ≠-1) ，设数列{a n ⋅b n }的前n 项和为T n ，求T n ．

13. 已知等差数列{a n }中，a 2=8,前10项和S 10=185. （1）求数列{a n }的通项；

（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项……第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .

14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2, a 1+a 2+a 3=12. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）令b n =a n x n (x ∈R ). 求数列{b n }前n 项和的公式.

15．设正数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设b n =

1

(a n +1) 2. 求： 4

1

, 记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n

a n ⋅a n +1

16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若{S n }是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n （用S 1和q 表示）； （Ⅱ）试比较a n +a n +2与2a n +1的大小，并证明你的结论.

新课标必修五《数列》强化训练题

参考答案

1．因成等比数列的三个数的积为1000，故设成等比数列的三个数为

10

, 10, 10q . q

555

当成等差的三个正数为, 10, 10q -7时，有+(10q -7) =20，解得q =或

2q q

q =

1

（舍去）。此时2，10，18成等差数列，公差为8。 2

当成等差的三个正数为公差为-8。

1010

-7, 10, 5q 时，有(-7) +5q =20，类似可求得q q

2

2．（1）证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故a 2=a 1a 4，而{a n }是等差数列，

有a 2=a 1+d ，a 4=a 1+3d , 于是 (a 1+d ) 2=a 1(a 1+3d ) ，即

22

a 1+2a 1d +d 2=a 1+3a 1d ，化简得 a 1=d

（2）解：由条件S 10=110和S 10=10a 1+

10⨯9

d ，得到10a 1+45d =110，由2

（1），a 1=d ，代入上式得55d =110，故 d =2，

所以a n =a 1+(n -1) d =2n ，n =1, 2, 3,

3．（1）由已知s 3=s 11，得a 4+a 5+a 6+ +a 10+a 11=0，

又a 4+a 11=a 5+a 10= =a 7+a 8．所以a 7+a 8=0

因数列首项为正，故公差d 0，a 8

即3a 1+

3(3-1) 11(11-1)

d =11a 1+d ，2a 1+13d =0． 22

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

故s 14=14a 1+

14(14-1)

d =7(2a 1+13d ) =0． 2

广州学大个性化教育发展中心

⎧7a 1+21d =7⎧a 1=-2

4．设数列{a n }的公差为d ，则⎨，解之得：⎨，所以

d =75⎩d =1⎩15a 1+105S n =

S n (n -5) n -5

；设b n =n =，则2n 2

{b n }

是等差数列，设

n 2-9n n -5

≥0，S ' n =b 1+b 2+ +b n =。令b n =解得：n ≥5，所以b 1, b 2, b 3, b 424

小于0，b 5=0，n ≥6时，b n >0；所以

9n -n 2

当n ≤5时，T n =|b 1|+|b 2|+ +|b n |=；

4

当n ≥6时，T n =|b 1|+|b 2|+ +|b 5|+|b 6|+ +|b n |

=-(b 1+b 2+ +b 5) +b 6+ +b n n 2-9n +40

=-S ' 5+(S ' n -S ' 5) =

4

⎧9n -n 2

n ≤5⎪⎪4

所以T n =⎨2

⎪n -9n +40n ≥6⎪⎩45．由已知，a 1=

6a 11

，得a 1=3，且S n =a n (a n +3) 。

6a 1+3

11

a n (a n +3) -a n -1(a n -1+3) ， 66

当n ≥2时，a n =S n -S n -1=

整理得：(a n +a n -1)(a n -a n -1-3)=0，

a n >0⇒a n +a n -1>0, 所以a n -a n -1=3, S n =6．（I ）a 1=

3n (n +1)

。 2

111、a 2=、a 3=； 248

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center （II ）由1+a n =S n +a n -1得1+a n -1=S n -1+a n -2，这两式相减，得

广州学大个性化教育发展中心

a n -a n -1=a n +a n -1-a n -2，化简得，

a n -111

=，所以数列｛a n ｝的通项a n =n .

2a n -22

7． (1)a n =S n -S n -1=2n 2+n -2(n -1) 2-(n -1) =4n -1(1≤n ≤k )

(2)设抽取的是第i （1

⎧k 2-39k +40

>1⎪k 2-39k +40⎪2

解得 i =，由 1

2⎪k -39k +40

⎪2⎩ 解得38

8． (1)当n=1时，a 1=2a1-1，∴a1=1，

当n≥2时，a n =Sn -S n-1=2an -1-2a n-1+1， ∴an =2an-1.

于是数列{an }是首项为1，公比为2的等比数列. ∴an =2n-1. (2)∵bn+1=an +bn ，∴bn+1-b n =2n-1. 从而b n -b n-1=2n-2， bn-1-b n-2=2n-3, …… b2-b 1=1，

以上等式相加，得b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又b 1=2，∴bn =2n-1+1 Tn =b1+b2+…+bn =(20+21+…+2n-1)+n.=2n -1+n.

9． (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d＞0). 解得d=2,∴an =2n-1,可得b n =3n-1. (2)当n=1时，c 1=3；当n≥2时，由

c n

=an+1-a n ，得c n =2·3n-1, 故b n

⎧3(n =1), c n =⎨ n -1

⎩2∙3(n ≥2).

故c 1+c2+c3+…+c2007=3+2×3+2×32+…+2×32006=32007.

10．（1）由(3-m ) s n +2ma n =m +3得(3-m ) s n +1+2ma n +1=m +3,

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

广州学大个性化教育发展中心

两式相减得(3+m ) a n +1=2ma n , m ≠-3, ∴

a n +12m

=, ∴{a n }是等比数列。 a n m +3

（2）b 1=a 1=1, q =f (m ) =

2m

, ∴n ∈N +n ≥2 m +3

b n =

332b n -1111f (b n -1) =⋅⇒b n b n -1+3b n =3b n -1⇒-=. 22b n -1+3b n b n -13

⎧1⎫1

∴⎨⎬是1为首为公比的等差数列

3⎩b n ⎭

1n -1n +2∴=1+=, b n 33∴b n =

3

. n +2

3

S n -1，∴a n =3S n -4(n ≥2) 2

11．（1）由题意知2a n =3S n -4+2-

由a 1=1可得a 2=

111

, a 3=-, a 4= 248

(2) 当n ≥2时, a n =3S n -4, ∴a n +1=3S n +1+4, 两式相减得a n +1-a n =3a n +1 ∴

a n +11

=-为常数∴a 2, a 3, a 4, 成等比数列

a n 2

(n =1) ⎧1

11⎪

其中a 2=, q =-, ∴a n =⎨ 1n -1

22-(-) (n ≥2) ⎪2⎩12．（Ⅰ）由2a n +1=a n +a n +2得a n +2-a n +1=a n +1-a n ，

⎧a 1+2d =5, ⎧a 1=1,

则数列{a n }是等差数列． ∴⎨ ⇒⎨ 因此，a n =2n -1．

6a +15d =36. d =2. ⎩1⎩

（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q ，

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

⎧b 1(1+q ) =1+a 由⎨3得q =a ，b 1=1． 3

b q (1+q ) =a (1+a ) ⎩1

广州学大个性化教育发展中心

则b n =b 1q n -1=a n -1，a n b n =(2n -1) a n -1．

T n =1+3a +5a 2+7a 3+ +(2n -1) a n -1 ………………① 当a ≠1时，aT n =a +3a 2+5a 3+7a 4+ +(2n -1) a n ………… ② 由①-②得(1-a ) T n =1+2a +2a 2+2a 3+ +2a n -1-(2n -1) a n

2(1-a n )

=-1-(2n -1) a n ,

1-a

2(1-a n ) 1+(2n -1) a n

所以，T n =． -2

1-a (1-a ) 当a =1时，T n =n 2．

⎧a 1+d =8⎪

13．（1）设{a n }公差为d , 有⎨ 10⨯9

10a +d =1851⎪2⎩

解得a 1=5,d =3，∴a n =a 1+(n －1) d =3n +2 (2)依题意 b n =a 2n =3⋅2n +2

∴T n =b 1+b 2+…+b n =(3×21+2)+(3×22+2)+…+(3×2n +2)=3(21+22+…+2n )+2n =6×2n

+2n -6.

14． (Ⅰ）解：设数列{a n }公差为d ，则 a 1+a 2+a 3=3a 1+3d =12, 又

a 1=2, 所以d =2. 所以a n =2n .

（Ⅱ）解：令S n =b 1+b 2+ +b n , 则由b n =a n x n =2nx n , 得

S n =2x +4x 2+ (2n -2) x n -1+2nx n , ①

xS n =2x 2+4x 3+ +(2n -2) x n +2nx n +1, ②

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

当x ≠1时，①式减去②式，得

n

(1-x ) S n =2(x +x 2+ x n ) -2nx n +1=2x (1-x ) -2nx n +1,

广州学大个性化教育发展中心

1-x

所以S

n

2x (1-x n ) 2nx n +1 =-. (1-x ) 21-x

当x =1时, S n =2+4+ +2n =n (n +1)

综上可得当x =1时, S n =n (n +1) ；当x ≠1时，S 15．（I ） S n =

1

(a n +1) 2 ① 4

1

(a n -1+1) 2 ② 4

11

(a n +1) 2-(a n -1+1) 2， 44

n

2x (1-x n ) 2nx n +1 =-.

(1-x ) 21-x

∴S n -1=

①－②得a n =S n -S n -1=

整理得(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0

a n >0∴a n +a n -1>0

∴a n -a n -1-2=0即a n -a n -1=2(n ≥2)

∴{a n }是等差数列. 又a 1=S 1=

1

(a 1+1) 24

∴a 1=1, ∴a n =2n -1

（II ） b n =

11111

==(-)

a n ⋅a n +1(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1

11n 111111

=(1-) =. ∴T n =[(1-) +(-) + +(-)]22n +12n +123342n -12n +1

16．（Ⅰ）∵{S n }是各项均为正数的等比数列.∴S n =S 1q n -1(q >0) .

当n=1时，a 1=S1，

Guangzhou XueDa Personalized Education Development Center

当n ≥2时, a n =S n -S n -1=S 1(q -1) q n -2.

S 1

∴a n =⎧⎨

(n =1)

n -2

广州学大个性化教育发展中心

⎩S 1(q -1) q

(n ≥2)

（Ⅱ）当n=1时，

33

a 1+a 3-2a 2=S 1+S 1(q -1) q -2S 1(q -1) =S 1[(q -) 2+]>0.

24

当n ≥2时,

a n +a n +2-2a n +1=S 1(q -1) q n -2+S 1(q -1) q n -2S 1(q -1) q n -1=S 1(q -1) 3q n -2

因为S 1>0, q n -2>0. 所以

①当q=1时，(q -1) 3=0, ∴a n +a n +2=2a n +1. ②当01时, (q -1) 3>0, ∴a n +a n +2>2a n +1. 综上可知： 当n=1时，a 1+a 3>2a 2 当n ≥2时, 若q =1, 则a n +a n +2=2a n +1;

若01, 则a n +a n +2