第三章平面机构的运动分析(新20**年)

第三章 平面机构的运动分析

本章教学目标

明确机构运动分析的目的和方法。 理解速度瞬心(绝对瞬心和相对瞬心)的概念，并能运用 三心定理确定一般平面机构各瞬心的位置。 能用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析。 初步能用解析法对平面II级机构进行运动分析。 掌握图解法的基本原理并能够对平面II级机构进行运 动分析。

张 河北工业大学机械原理与机械设计教研室

第三章 平面机构的运动分析

本章教学内容

§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法 §3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析 §3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析 §3-4 速度瞬心法和矢量方程图解法的综合运用 §3-5 用解析法作机构的运动分析

重

点

速度瞬心及“三心定理”的运用、矢量方程图解 法求一般机构的速度和加速度。

§3-1 机构运动分析的任务、目的及方法

◆ 机构运动分析的任务

在已知机构尺寸和原动件运动规律 的情况下，确定机构中其它构件上某些 点的轨迹、位移、速度及加速度和某些 构件的角位移、角速度及角加速度。

§3-2 用速度瞬心作平面机构的速度分析

一、速度瞬心

◆ 速度瞬心(瞬心): 指互相作平 面相对运动的两构件在任一瞬 时其相对速度为零的重合点。 即两构件的瞬时等速重合点。 P12 ◆ 绝对瞬心: 指绝对速度为零的瞬心。 vP＝0 ◆ 相对瞬心: 指绝对速度不为零的瞬心。 vP≠0 ◆ 瞬心的表示 构件i 和 j 的瞬心用Pij表示 vP 1

(A A2 ) 1

vA2A1

2 B2(B1) vB2B1

◆ 机构运动分析的方法

速度瞬心法 ●图解法 矢量方程图解法 ●解析法

二、机构中瞬心的数目

由N个构件组成的机构, 其瞬心总数为K K =

三、机构中瞬心位置的确定 （续） ◆ 不直接相联两构件的瞬心位置确定

N ( N − 1) 2

三、机构中瞬心位置的确定 ◆通过运动副直接相联两构件的瞬心位置确定

转动副联接两构件的 瞬心在转动副中心。 若为纯滚动, 接触 点即为瞬心；

三心定理： 三个彼此作平面平行运动的构件的三 个瞬心必在一条直线上

证明:P23在P12P13线上 反证法： 取P12P13连线外某重合点K, 可知 vK2 ≠ vK3 因而K不是瞬心，只有 在连线上才能保证同方向。 P12 2 vK2 K P23 × 3 P13 1 vK3

移动副联接两构件的 瞬心在垂直于导路方 向的无穷远处。

若既有滚动又有滑动, 则瞬心在高副接触点 处的公法线上。

1

张

P13

例题

试确定平面四杆机构在图示位置时的

四、用瞬心法进行机构速度分析 例题分析一

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

全部瞬心的位置。

解: 机构瞬心数目为: K=6 瞬心P13、P24用 于三心定理来求 3 4 P23 P24 2 P12 P34

例题分析二 例题分析三 总结：

瞬心法优点: 速度分析比较简单。 瞬心法缺点： 不适用多杆机构； 如瞬心点落在纸外，求解不便； 速度瞬心法只限于对速度进行分析, 不能分析机构的加速 度；精度不高。

ω4 ω2

1 P14

§3-3 机构运动分析的矢量方程图解法

一、矢量方程图解法的基本原理和作法

矢量方程图解法 （相对运动图解法） 依据的原理 理论力学中的运 动合成原理

矢量方程的图解法 b 矢量：大小、方向 矢量方程

A

A+ B = C

a

B A

θ

x

基本作法

1. 根据运动合成原理列机构运动的矢量方程 2. 根据矢量方程式图解条件作图求解

一个矢量方程可以解两个未知量。

A+B =C

大小 √ 方向 √ 大小 √ 方向 √ √ √ ？ √ ？ ？ ？ √

机构运动 分析两种 常见情况

◆同一构件上两点间速度及加速度的关系 ◆两构件重合点间的速度和加速度的关系

C B

A

1）刚体（构件）的平面运动分解为随基点的平动加上绕基点的转动。[基点法] 2）点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。[重合点法]

C

二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系

1. 所依据的基本原理: 运动合成原理：一构件上任一点的运动，可以看作是随同该构 件上另一点的平动(牵连运动)和绕该点的转动(相对运动)的合成。

实例分析

已知:图示曲柄滑块机构原动件AB的运动规律和各构件尺寸。 求： ①图示位置连杆BC的角速度 和其上各点速度。 ②连杆BC的角加速度和其上 C点加速度。

解题分析：原动件AB的运动规 律已知，则连杆BC上的B点速 度和加速度是已知的，于是可 以用同一构件两点间的运动关 系求解。

若已知 vA、ω 和 aA、α

v B = v A + v BA

大小 ？ 方向 ？ √ √ ω×LAB ⊥AB

a b 设μv= n b’ a’

p

ω

B

•

r vB

E 2 B 1 A vB

r A vA •

p’

r v BA

B

ω2α2 v ,a c c

C x 4

ω4

3 D

x

r r rn rt a B = a A + a BA + a BA

大小 ？ 方向 ？ √ √ B→A ⊥AB

ω2×LAB α×LAB

r aA

设μa=

α r aB r A a BA

•

ω1

αB

•

2

张

ω2α2 v c ,a c

C

（1） 速度解题步骤：

E 2

★ 速度多边形特性

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

★求VC ①由运动合成原理列矢量方程式 B r r r vB v C = v B + v CB 1 αB 大小： ？ √ ? A ω1 方向： ∥xx ⊥AB ⊥BC ②确定速度图解比例尺μv( (m/s)/mm) ③作图求解未知量：

x 4

ω4

3 D

x

c

速度多边形

E 2 B 1 A vB

ω2α2 v c ,a c

C x 4

p

极点

e b

ω4

3 D

x

ω1

αB

速度多边形

v C = μ V pc m/s v CB = μ V bc m/s ω 2 = v CB / l CB （逆时针方向） p

★求VE r 大小： 方向： 极点 r r r r v E = v B + v EB = v C + v EC √ ? ∥xx ⊥EC

c

①由极点p向外放射的矢量代表相应点的绝对速度； ②连接极点以外其他任意两点的矢量代表构件上相应两点间的 相对速度， 其指向与速度的下角标相反； ③因为△BCE与 △bce 对应边相互垂直且角标字母顺序一致， 故相似， 所以图形 bce 称之为图形BCE的速度影像。

注：速度影像只适用于同一构件上的不同点之间的速度求取，不同构件一 般不满足影像关系。

e b

？ √ ? ？ ⊥AB ⊥EB

（2）加速度求解步骤：

★ 求aC ①列矢量方程式 r r r r rn rt a C = a B + a CB = a B + a CB + a CB 大小：？

∥xx 方向：

E 2 B 1 A

★加速度多边形的特性

加速度多边形 c' 极点

p'

n' ' '

E 2 B 1 A vB

ω α2

2

√ ω 22 l BC ? √ C→B ⊥BC

ω1

αB

vB x 4

c'

v c ,a c C x ω 34 D

ω2α2 v c ,a c

C x 4

ω4

3 D

x

ω1

αB

②确定加速度比例尺 μa((m/s2)/mm) ③作图求解未知量：

a

C

极点

p'

n" '

e n'

= μ

a

p 'c '

n"

b' 注意：速度影像和加速度影像 只适用于构件。

α

2

= a

t CB

★求aE

/ l BC = μ a n ' c ' /( μ l BC ) r r rt r rn rt aB + an EB + a EB = a C + a EC + a EC

√ √ ？ √ √ √ √ √ ？ √

①由极点p1向外放射的矢量代表构件相应点的绝对加速度； ②连接两绝对加速度矢量矢端的矢量代表构件上相应两点间的 相对加速度，其指向与加速度的下角标相反； ③同一构件上三点满足加速度影像原理。

大小√ 方向√

e'

b'

n'

加速度多边形

n"

三、两构件重合点间的速度和加速度的关系

四、典型例题分析

如图所示为一偏心轮机构。设已知机构各构件的尺寸， 并知原动件2以角速度ω2等速度转动。现需求机构在图示位 置时，滑块5移动的速度vE、加速度aE及构件3、4、6的角速 度ω3、ω4、ω6和角加速度α3、a4、α6。 解：1. 画机构运动简图

A a3 3

已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。 1. 依据原理 构件2的运动可以认为是随同构件1的牵连运动和构件2 相对于构件1的相对运动的合成。 2、依据原理列矢量方程式 vc2c1 B 2 C1、C2、C3 C akc2c1 r 3 ac1 A 4 vc1

r r r vC 2 = vC 1 + vC 2C 1

大小： ？ √ ? 方向：⊥CD ⊥AC ∥AB

ω1

1

rn rt r rk rr aC2 = aC 3D + aC3D = aC1 + aC2C1 + aC2C1

2 B D

ω2 ω4

ω3

5

x E(E5,E6)

D 大小： √ ？ √ √ ？ 方向： C→D ⊥CD √ √ ∥AB 科氏加速度方向是将vC2C1沿牵 连角速度ω1转过90o的方向。

α4

C

ω6

F

6 x a6

k aC 2 C 1 = 2ω1vC 2 C 1

3

张

2. 速度分析：

（1） 求vB: （2） 求vC: v C = v B + v CB ? 大小 ？ √ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥CB

r

v B = l ABω 2

2 B

A

ω2 ω4 α4

C

ω3

a3 3 5

e3(e5)

x E(E5,E6)

3. 加速度分析

n 2 (1) 求aB: a B = a BA = l ABω 2

2 B

A

ω2 ω4 α4

C

ω3

a3 3 5

x E(E5,E6)

r

r

ω6

F

6 x a6

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

D

' n3

c b

b

'

' '

D

e6

ω6

F

6 x a6

n

' 4

（3） 求vE3: 用速度影像求解 r r r （4） 求vE6: v E 6 = v E 5 + v E 6 E 5 ? 大小： ？ √ 方向： ⊥EF √ ∥xx （5） 求ω3、ω4、ω6 v bcμ v v pcμ v rad / s ω 4 = C = rad / s e6 ω 3 = CB = l BC BC μ l lCD CDμ l b vE6 pe 6 μ v ω6 = = rad / s l EF EF μ l

p (a'、 d、 f)

'

e3(e5)

c'

(2) 求aC及α3、α4

p(a、d、f)

r rn rt r rn rt a C = a CD + a CD = a B + a CB + a CB

√ ？ √ √ ？ C→D ⊥CD B→A C→B ⊥BC

c

大小： 方向：

(3) 求aE ：利用影像法求解

a E 3 = p ′e ′μ a a C = p′c′μ a 其方向与 p ′c ′一致 ;

' ' e3 (e5 )

p(a、d、f)

α3 =

t a CB n ′ c ′μ a = 3 l BC BC μ l

α

4

=

t a CD n ′ c ′μ a = 4 l CD CD μ l

3. 加速度分析（续）

(4) 求aE6和α6

e3(e5)

2 B

矢量方程图解法小结

1. 列矢量方程式 第一步要判明机构的级别：适用II级机构 第二步分清基本原理中的两种类型。 第三步矢量方程式图解求解条件：只有两个未知数 2. 做好速度多边形和加速度多边形 首先要分清绝对矢量和相对矢量的作法，并掌握判别指 向的规律。其次是比例尺的选取及单位。 3. 注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向 4. 构件的角速度和角加速度的求法 5. 科氏加速度存在条件、大小、方向的确定 6. 机构运动简图、速度多边形及加速度多边形的作图的准 确性，与运动分析的结果的准确性密切相关。

ω2 ω4

A a3 3

ω3

5

x

n

' 3

b'

c e6 b

D

E(E5,E6)

n

' 4

α4

C

ω6

F

6 x a6

p' (a'、 d'、 f ')

p(a、d、f)

c ' n' 6

r r rt r rk rr aE6 = an E6F + aE6F = aE5 + aE6E5 + aE6E5

e

' 6

大小： √

？

√

√

？

方向：E→F ⊥EF √

⊥xx ∥xx

' ' e3 ( e5 )

α6 =

k

'

a l EF

t E 6F

=

′ e 6 'μ a n6 a E 6 = p′e 6 μ a EF μ l

§3-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用

典型例题一：如图所示为一摇动筛的机构运动简图。这是一 种结构比较复杂的六杆机构(III级机构)。设已知各构件的尺 寸，并知原动件2以等角速度ω2回转。要求作出机构在图示位 置时的速度多边形。 解题分析： 作机构速度多边形的关键应 首先定点C速度的方向。 定点C速度的方向关键是定 出构件4的绝对瞬心P14的位 置。

A 1

§3-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用（续）

解题步骤： 1. 确定瞬心P14的位置 vC的方向垂直 P14C 2. 图解法求vC 、 vD 大小 ？

E F 6 4 D 5 3 B 2 C G

F 6 E 4 D C 5 3

G

? √ 方向 ⊥ P14C √ ⊥CB ? √ 方向 ⊥ DG √ ⊥CD 大小 ？

r r r v C = v B + v CB

vC

ω2

1

A

B 2

r r r v D = vC + v DC

P14 d c

ω2

根据三心定理可确定构件4 的绝对瞬心P14。

p e b

3. 利用速度影像法作出vE

4

张

§3-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用（续）

典型例题二：图示为由齿轮－连杆组合机构。原动齿轮2绕固 定轴线O转动，齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮 合。在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸，求 机构在图示位置时构件6的角速度ω6。 r r r 解：P13为绝对瞬心,P23为相对瞬心 P13

3 D 2 1 4 A

C (C1,C2)

ω21

B (P21)

典型案例三：

v C = v B + v CB

b a p c (o,d,e)

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

v k 2 = v k 3 = ω 2 l OK

k

r r r v C1 = v C 2 + v C 2C1

大小 ？ ?

⊥ DC

ω21 BC

c2 c1

方向 ⊥ AC

⊥CB

P23

ω6 =

vC μ pc = v (顺时针） l CD μ l CD

p vc2c1

解析法之复数矢量法（补充讲义）

一、复数矢量简介:

用复数来表示平面上的矢量并通过复数运算 进行机构运动分析的方法称为复数矢量法。

二自变量反正切函数 θ = arctan 单自变量反正切函数

2

( r y , rx )

r B

r C

0

r A

r D

y r ry x

− π / 2

不能表示四个象限的向量，因此引入二自变 量反正切函数

实部

虚部 O

R = r (cosθ + j sin θ ) = re jθ

模 幅角 欧拉公式

R = rx + jry

θ

rx

arctan ( r y / r x )

sgn( r y )

当rx>0时 当rx

θ = arctan 2 ( r y , r x ) = arctan ( r y / r x ) + π π

2

1

r x = r cos θ r y = r sin θ 已知r、θ，求实部和虚部 r r = | R |= r x2 + r y2 r=1的矢量称为单位矢量 或幺矢，如ejθ θ = arctan 2 ( r y , r x )

两个复数相等，则实部和虚部分别相等，模和幅角分别相等

sgn( r y ) =

当ry>0时 当ry

－1 0

∴ − π / 2 ≤ θ = arctan 2 ( r y / r x )

jθ 几个特殊的单位矢量 e = cos θ + j sin θ

二、应用复数矢量解三角形

r R3

r θ 3 R1 θ1

A

B

θ等于0、π／2、π、-π／2时，单位矢

量分别为1、j、－1、-j分别沿坐标轴的正 向或负向。 矢量的回转 -1 0

j -j

1

任意三角形△OAB可写成矢量方程

r R2

r R ' = re

r R = re

jθ

jθ j (θ + ϕ )

r r r R 3 = R1 + R 2

r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2

0

θ2

⋅ e j ϕ = re

即一矢量与单位矢量ejφ相乘相当于把该矢量旋转一个角度 φ（ φ >0时逆时针旋转，反之顺时针旋转）。 几个特殊幺矢与一个矢量相乘的结果

三角形矢量方程包含六个参量，已知四个参量可以求其余两 个。根据未知参量的不同组合方式可以分为四种情况

je

jθ

= e j (θ + π / 2 )

(1 ) (2)

? ? r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2 ? ? r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2

(3) (4)

? ? r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2 ? ? r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2

逆时针旋转π／2 逆时针旋转π 顺时针旋转π／2

−e

jθ

= e j (θ + π )

jθ

− je

= e j (θ − π / 2 )

5

(1 )

? ? r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2

张

B r

将上式分别取取虚部和实部得

r R3

R2

(2) r3 e

jθ 3

? ? r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2 = r1 e

jθ 1

B r

θ2

+ r2 e

jθ 2

r3 sin θ 3 = r1 sin θ 1 + r2 sin θ 2 r3 cos θ 3 = r1 cos θ 1 + r2 cos θ 2

将以上二式相除得：tg θ 3 = 0

θ3

r1 sin θ 1 + r2 sin θ 2 r1 cos θ 1 + r2 cos θ 2 即： θ 3 = arctan 2 ( r1 sin θ 1 + r2 sin θ 2 , r1 cos θ 1 + r2 cos θ 2 ) r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2 e jθ 3

两边取实部

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

r R1 θ1

A

r A θ 3 R1 r3 e j (θ 3 −θ 2 ) = r1 e j (θ 1 − θ 2 ) + r2 θ1 r sin( θ 1 − θ 2 ) 0 r3 = 1 sin( θ 3 − θ 2 ) 取虚部和实部 r2 = r3 cos( θ 3 − θ 2 ) − r1 cos( θ 1 − θ 2 ) ? ? ( 3 ) r3 e j θ 3 = r1 e jθ 1 + r2 e j θ 2

r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2 e jθ 3

取虚部

e jθ 2

e jθ 2

r R3

R2

θ2

e jθ 3

r3 = r1 e j (θ 1 − θ 3 ) + r2 e j (θ 2 − θ 3 )

r3 = r1 cos( θ 1 − θ 3 ) + r2 cos( θ 2 − θ 3 )

e jθ 3

r3 = r1 e j (θ 1 − θ 3 ) + r2 e j (θ 2 − θ 3 )

sin( θ 2 − θ 3 ) = r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2

sin( θ 2 − θ 3 ) = r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2

⇒ cos( θ 2 − θ 3 ) = ± 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2 r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ⇒ tg (θ 2 − θ 3 ) = ± 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2

⇒ θ 2 = θ 3 + arctan 2 ( r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 , ± 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2 )

θ 2 = θ 3 + arctan2 ( r1 sin(θ 3 − θ 1 ) / r2 , M 3 1 − [r1 sin(θ 3 − θ 1 ) / r2 ]2 )

™当∠( R 2 , R 3 )＜90°时，M3=1，即：

⇒ θ 2 = θ 3 + arctan 2 ( r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 , 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2 )

r

r

™当∠( R 2 , R 3 )＞90°时， M3=－1，即：

⇒ θ 2 = θ 3 + arctan 2 ( r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 , − 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2 )

r

r

⇒ θ 2 = θ 3 + arctan 2 ( r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 , M 3 1 − [ r1 sin( θ 3 − θ 1 ) / r2 ] 2 )

模式因子

™当 |

B r

0

r ' R3 r 'θ 2 θ 2 R2 B’ r A θ 3 R1 θ1

? r3 e

jθ

3

R2

r R3

r 1 sin( θ 3 − θ 1 ) |> 1 时，无解 r2

r' R2

Br

R2

θ2 θ3

jθ

1

= r1 e

+ r2 e

0

r A R1 θ1

r θ 2' R3 B’ r A θ 3 R1

B r R2 θ2

r R3

Br

θ

r R1 A

R2

2

0

jθ

?

2

0 ? ? r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e jθ 2

θ1

θ

3

θ1

(4)

jθ 3

? ? r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2

− jθ 3

等式两边分别乘以各自共轭复数

r3 e ⋅ r3 e = ( r1 e j θ 1 + r2 e jθ 2 ) ⋅ ( r1 e − j θ 1 + r2 e − j θ 2 )

r B R r 2 θ2 R3 r R ' A θ3 1 θ2 r' θ 1 R2 r' 0 R ' B’ 3 θ3

⇒ θ 2 = θ 1 + arctan2 ( M 4 1 − [(r32 − r12 − r22 ) / 2r1r2 ]2 , ( r32 − r12 − r22 ) / 2r1r2 )

™当 R 1 逆时针转至 R 2 ,转角小于或等于180°时， M4=1，即：

r

r

⇒ θ 2 = θ 1 + arctan 2 ( 1 − [( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 ] 2 , ( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 )

⇒ r = r + r + r1 r2 ( e

2 3 2 1 2 2

j (θ 2 −θ 1 )

+e

− j (θ 2 − θ 1 )

)

™当 R 1 逆时针转至 R 2 ,转角大于180°时， M4=－1，即：

r

r

取实部整理得: cos( θ 2 − θ 1 ) = ( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2

⇒ sin( θ 2 − θ 1 ) = ± 1 − [( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 ]

实部相等，虚部相反的 一对复数互为共轭复 数， （模相等，幅角相反） 2

⇒ θ 2 = θ 1 + arctan 2 ( − 1 − [( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 ] 2 , ( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 )

™ 当 | (r3 − r1 − r2 ) / 2r1r2 |> 1 时，无解 两圆无交点。

2 2 2

⇒ tg (θ 2 − θ 1 ) =

±

1 − [( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2 ] 2 ( r32 − r12 − r22 ) / 2 r1 r2

注:以上四种情况分别可以由 四个子程序来完成计算过程。

＝模式因子M4

? ? r3 e jθ 3 = r1 e j θ 1 + r2 e j θ 2

r B R r 2 θ2 R3 r R ' A θ3 1 θ2 r' θ 1 R2 r' 0 R ' B’ 3 θ3

6

张 河北工业大学机械原理与机械设计教研室

三、用复数矢量法进行机构的运动分析

基本步骤: 1）按机构运动简图画封闭矢量回路； 2）按封闭矢量回路列出机构位置矢量方程式； 3）将位置方程对t求一阶和二阶导数，得速度矢量方程和 加速度矢量方程。 4）解矢量方程

注：对未知方程求导时，应区分运动变量和常量： 变量一般包括：旋转构件的转角、移动副导路或导杆长度等。 常量一般包括：同一构件上两转动副的距离长度，机架的幅角等。

例1

如图导杆机构，rAC=0.25m，rAB=0.1m， θ 1 = 120 ° , θ&1 = 10 rad / s && = 0 ， 试对该位置机构进行运动分析。 θ 1

解: 1. 位置分析 绘出封闭矢量回路，写出位置矢量方程 r r r R CB = R CA + R AB

B

θ&1

？

或

rBC e

jθ 3

？

θ1

A

= r AC j + r AB e

jθ 1

属于情况1，由前述解法知： θ 3 = arctan 2 ( r AC + r AB sin θ 1 , r AB cos θ 1 )

= arctan 2 ( 0 . 25 + 0 . 1 sin 120 ° , 0 . 1 cos 120 ° ) ≈ 98 . 4492 ° = 98 ° 27 ' r BC = r AC cos( 90 ° − θ 3 ) + r AB cos( θ 2 − θ 3 ) = 0 . 25 sin 98 . 4492 ° + 0 . 1 cos( 120 ° − 98 . 4492 ° ) ≈ 0 . 3403 m

θ3

C

2. 速度分析

rBC e

jθ 3

3. 加速度分析

rBC θ&3 je

jθ 3

= r AC j + r AB e

jθ 1

&BC e jθ 3 = r AB θ&1 je +r

jθ 3

jθ 1

将速度方程对时间t求导得：

将位置方程对时间t求导得：

rBC θ&3 je

jθ 3

&BC e +r

jθ 3

= r AB θ&1 je

jθ 1

jθ 1

&& je − rBC θ&32 e jθ 3 + rBC θ 3

jθ 3

&BC θ&3 je + 2r

+& r&BC e jθ 3 = − r AB θ&12 e j θ 1

？ rBC θ&3 je

jθ 3

= r AB θ&1 je

？ &BC e jθ 3 −r

jθ 3

？ && je rBC θ 3

jθ 3

&BC θ&3 je = − r AB θ&12 e j θ 1 − 2 r

case1 case1 case2

jθ 3

？ jθ + rBC θ&32 e jθ 3 − & r&BC e 3

属于情况2，由前述解法解得:

以上两式分别除以 e

&BC = r AB θ&1 sin( θ 1 − θ 3 ) = − 0 . 36873 m / s r

r BC θ&3 = r AB θ&1 cos( θ 1 − θ 3 ) ⇒ θ&3 = r AB θ&1 cos( θ 1 − θ 3 ) / r BC = 2 . 733 rad / s

上式两边分别除以 e jθ 3

取虚部得：

&& = r θ& 2 sin( θ − θ ) − 2 r &BC θ&3 rBC θ AB 1 3 1 3 2 && = ( r θ& 2 sin( θ − θ ) − 2 r & & ⇒θ AB 1 BC θ 3 ) / rBC = − 4 . 894 rad / s 3 1 3

&&BC = − r AB θ&12 cos( θ 1 − θ 3 ) + rBC θ&32 = − 6 . 7588 m / s 2 取实部得：r

用解析法作机构的运动分析小结：

机构运动分析 建立坐标系 标出杆矢量 列矢量封闭方程式 转换成写标量 机构位置、速度、 加速度分析 矢量方程解析法 复数法 矩阵法

典型例题分析

如图所示为一牛头刨床的机构运动 简图。设已知各构件的尺寸为:

l1 = 125mm l 3 = 600mm, l 4 = 150mm

o 原动件1的方位角 θ 1 = 20 和等角 速度 ω1 = 1 rad s .

求导杆3的方位角 θ 3 ,角速度 ω 3 及 角加速度α 3 和刨头5上点E的位移 s E 及加速度 a . E 要求分别用矢量方程图解法和 复数矢量法求解。

7

张

◆典型例题分析——复数矢量法

◆按矢量方程解析法求解： 1. 建立一直角坐标系 2. 标出各杆矢及方位角. 共有四个未知量 θ 3 ,θ 4 , s3 , s E 3. 未知量求解 （1）位置分析

I.由封闭图形ABCA列矢量方程

◆典型例题分析——复数矢量法（续） ? ? r BC e j θ = r AC j + r AB e j θ

3 1

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

属于情况1，由前述解法解得:

θ 3 = 69 . 7125 ° rBC = s 3 = 0 . 3388 m

II.由封闭图形CDEGC可得

RCD + RDE = YE + X E ? ? x E = − y E j + rCD e jθ 3 + rDE e jθ 4 ( 2)

case1 case3 M3=-1

R CB = R CA + R AB

? ? r BC e j θ 3 = r AC j + r AB e

jθ 1

(1 )

θ 4 = 175.327°

x E = s E = 0 .05854 m

◆典型例题分析——复数矢量法（续）

2. 速度分析 将位置方程1 r BC e

jθ 3

◆典型例题分析——复数矢量法（续）

3. 加速度分析

&BC e jθ = r AB θ&1 je jθ 对时间t求导得： 将速度方程 3 rBC θ&3 je jθ + r && je jθ 3 + 2 r &BC θ&3 je jθ 3 + & − rBC θ&32 e jθ 3 + rBC θ r&BC e jθ 3 = − r AB θ&12 e j θ 1 3 ？ ？ jθ && je jθ 3 = − r θ& 2 e j θ 1 − 2 r &BC θ&3 je jθ 3 + rBC θ&32 e jθ 3 − & rBC θ r&BC e 3 AB 1 3

3 3 1

= r AC j + r AB e

jθ 1

对时间t求导得：

rBC θ&3 je

jθ 3

&BC e jθ 3 = r AB θ&1 je +r

= r AB θ&1 je

jθ 1

jθ 1

？ rBC θ&3 je

jθ 3

case2

？ &BC e jθ 3 −r

(3)

&BC = 0 . 0954 m / s r

θ&3 = 0 . 2386 rad / s

将位置方程2 x E = − y E j + rCD e jθ + rDE e jθ 对时间t求导得：

3 4

case1 case2

case1

&& = 0 . 1471 rad / s 2 θ 3

&&BC = − 0 . 0615 m / s 2 r

？

？

case2

& E = jθ&3 rCD e jθ 3 + jθ&4 rDE e jθ 4 对时间t求导得： 将速度方程4 x

& E = jθ&3 rCD e jθ 3 + jθ&4 rDE e jθ 4 x

& E = v E = −0.1383 m s x

( 4)

？

&& r e jθ 3 − θ& 2 l e n − θ& 2 r e jθ 4 + jθ && r e jθ 4 &&E = jθ x 3 CD 3 3 3 4 DE 4 DE

case1 case2 case1

？

θ&4 = ω 4 = 0 . 3320 rad （逆时针） s

2 && = α = − 0 . 0186 rad s （逆时针） & &E = a E = −0.1111 m s 2 x θ 4 4

◆典型例题分析——矢量方程图解法 r r r ‰求vB3 vB3 = vB2 + vB3B2

大小： 方向：

◆典型例题分析——矢量方程图解法

b2 d b3 e

n 2 (1) 求aB2: a B 2 = a BA = l1ω 2 = 0.125 m / s 2 (2) 求aB3

? ？ √ ⊥BC ⊥AB ∥BC

r r rt r rk rr aB3 = an B3C + aB3C = aB2 + aB3B2 + aB3B2

‰ 速度影像法求vD ‰求vE 大小： 方向：

r r r v E = v D + v ED

b2

p(a、d、f) 方向：

大小： 0.01928 ？ 0.125 0.04552 ？ B→C ⊥BC B→A ⊥BC ∥BC

(3) 求aD ：利用影像法求解

? ？ √ ∥EF ⊥DC ⊥ED

μ v = ω 1l1 / pb2

t (4) 求aE ： a E = a D + a n ED + a ED 大小： ？ √ 0.01653 ？ 方向： ∥EF √ E→D ⊥ED

r

r

r

r

d b3 e

p(a、d、f)

d’

e’

p’(a’、d’、f’)

n4 ’ b’2 k

n’3 b’3

μ a = a B 2 / p' b'2

8

第三章 平面机构的运动分析

本章小结

速度瞬心法 ◆速度瞬心的定义 ◆机构中瞬心数目和位置的确定 ◆瞬心的应用 ◆矢量方程图解法的基本原理 矢量方程图解法 ◆同一构件上两点间的速度及 加速度的关系 ◆两构件重合点间的速度和加 速度的关系

张

速度瞬心法应用例题分析一

如图所示的平面四杆机构中, 已知原动件2 以角速度ω2等速度转动, 现需确定机构在 图示位置时从动件4的角速度ω4。 解：1、确定机构瞬心

P13

返回

河北工业大学机械原理与机械设计教研室

图解法

2、P24为构件2和4的等速重合点, 故

ω 2 P12 P24 μ l = ω 4 P14 P24 μ l

ω ω

2 4

P34 3 4

ω

解析法

复数矢量法

称为机构传动比 且等于该两构件绝对瞬心 至其相对瞬心距离的反比

2 4

ω

P P = 14 24 P 12 P 24

P23 2 P12

ω4 ω2

1 P14

P24

速度瞬心法应用例题分析二

返回

速度瞬心法应用例题分析三

返回

如图所示的带有一移动副的平面四杆机构中, 已知原动件2 以角速度ω2等速度转动, 现需确定机构在图示位置时从动件 4的速度v4。 解：确定机构瞬心如图所示

如图所示凸轮机构，设已知各构件尺寸和凸轮的角速度 ω2，求从动件3的速度v3。 解：

P24 P23 2 P12 3

v = v P 24 = ω 2 P12 P24 μ l

P14→∞

3

n K

确定构件2和3的相对瞬心P23

ω2

P12 1

2 P23 n

v = v P 23 = ω 2 P12 P 23 μ l

ω2

v4

4 P34

P13→∞

9