专题一 因动点产生的等腰三角形问题

专题一 因动点产生的等腰三角形问题

例1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

分）

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若ED=BE，求∠F的度数；

（2）设CO=x,EF=y,写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

第25题

备用图

题5分）

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，

DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长； （2）若BP=2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

A

A

E

第25题图

C （备用图）

C

专题一 引动点产生的等腰三角形问题答案

例1、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，

∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。 （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

⎧3k+b=0⎧k=-1

⎨⎨⎩b=3，解得：⎩b=3。

∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。

（3）存在。点M的坐标为(1

)，(1

)，(1，1)

，(1，0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。 ①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。 ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m。

③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1

，(1，－)

，(1，1)，(1，0)。 例2、考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为

C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

=2

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，

当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

=

，

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），

例3、解答（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

（1）联结OE--------------------------------------------------------------------------(1分)

∵ED=BE ∴∠BOE=∠EOD--------------------------------------------------(1分) ∵OD//BF ∴∠DOE=∠BEO

∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB--------------------------------------------------(1分) ∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°-------------------------------------------------(1分) ∵∠FCB=90°∴ ∠F=30°-------------------------------------------------------(1分) (2)作OH⊥BE，垂足为H，---------------------------------------------------------(1分) ∵∠DCO=∠OHB=90°，OB=OD，∠OBE=∠COD

∴△HBO≌△COD-----------------------------------------------------------------(1分) ∴ CO=BH=x,BE=2x,

ODOC

=

∵OD//BF ∴ BFBC-------------------------------------------------------(1分)

24x4x+16-2x=y=

2x+y4+xx ∴ ∴

⋂⋂

(0

-------------------(2分)

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB

∴ ∠COD=∠DOE， ∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上--(1分)

若△PBE为等腰三角形

① 当PB=PE，不合题意舍去；------------------------------------------(1分)

4

2x=4-x,x=

3-----------------------------------------(1分) ② 当EB=EP

③ 当BE=BP 作BM⊥OE，垂足为M，

易证△BEM∽△DOC

4-x

BEEM2x

==x ∴DOOC ∴4

x2+x-4=0,x=

-1±2（负数舍去）--------------(1分)

整理得：

4-1+2综上所述：当OC的长为3或时，△PBE为等腰三角形。

例4【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴

BC=10……………………（1分） 点D为BC的中点 ∴CD=5 可证△ABC∽△DEC

DEECCDDEEC5

====ABBCAC6108………………………………（1分） ∴， 即DE=

1525

CE=4，4……………………………………………………（2分）

∴

（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°， 在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°， ∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90° ∴∠PDQ=∠BDE=90° ∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD ……………………………………………………………（1分）

15

EQDEEQ==BPBD25， ∴， 即

EQ=

3

2 ………………………………………………………………………（2分）

∴

∴CQ=EC-EQ

=

19

4…………………………………………………………（1分）

EQ=

32，

②当点P在AB的延长线上时，同理可得：∴CQ=EC+EQ

=

31

4 …………………………………………………………（1分）

（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上

BPBDPD4

===EQEDQD3 ∵△BPD∽△EQD ∴

若设BP=x ，则

253CQ=-x

44 …………………………………（1分） 可得

4

cot∠QPD==cotC

3 ∴∠QPD=∠C 又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF为等腰三角形 ∴△CDQ为等腰三角

形………………………（1分）

253

-x=544①当CQ=CD时，可得： 解得：

x=

5

3………………………（1分）

EQ=

3x4，

②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，

155525CM=CD=CQ=⨯=

22，248 ∴

25325-x=

8， 解得 ∴44

x=

25

6……………………………………………（1分）

③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，

CN=5⨯

4=45，CQ=2CN=8

∴

2537-x=8x=-

3(不合题意，舍∴44， 解得

去)…………………………（1分）

BP=

525

3或6.

∴综上所述，