烟草包装保存预测数学模型的改进

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烟草包装保存预测数学模型的改进

刘跃武1， 彭 艳2

（1. 湖南农业大学理学院，湖南 长沙 410128；2. 湖南农业大学烟草科学与健康重点实验室，湖南 长沙 410128）

摘 要：引入三次样条插值多项式，研究烟草包装保存预测的数学模型。由于三次样条插值多项不仅在节点上具有二阶导数，而且式能较

好地逼近真实函数，数值稳定。从而提高烟草吸湿模型，使烟草包装保质期预测更准确。

关键词：烟草；吸湿模型；吸湿能力

中图分类号：TS452.7 文献标识码：A 文章编号：1006-060X （2010）10-0053-01 中国是一个烟草大国，现有卷烟企业165家，生产能力为6 675万箱，总销量3 498万箱。近年来，我国部分烟区烟叶外观质量已接近美国、加拿大、津巴布韦、巴西等先进产烟国，但烟叶化学成分不协调，主要是烟碱含量偏高，造成烟叶可用性降低。目前为止，没有任何卷烟企业的任何品牌的香烟给出保质期。许多研究人员对烟草的保质期做了大量研究，刘力桥等给出了烟草包装的透湿方程，以及烟草包装保存期预测的数学模型。笔者试图从数值计算方法的角度，引入三次样条插值多项式，对等温吸湿曲线进行改进，从而使烟草包装保存期预测的数学模型更合理。

这是三次样条插值多项式的表达式，当求出M i (i=0，1，…，n) 后，S(x)就由上式完全确定。下面推导求M i 的方程，由三次样条插值多项式S(x)二次导数连续，可得其一次导数(xi -0) 自S ＇(x)连续，利用S ＇(xi +0)和S ＇然边界条件可得M 0=0，M n =0，μi M i-1 +2Mi +λi M i+1=di ，i=1，2，…，n -1其中

设函数f(x)为四次导数连续，记，则

函数f(x ) 的三次样条插值多项式S(x ) 对任意x ∈[a ，b ]有误差估计即为误差估计

x i+1-x i 。对S"(x ) 积分二次，并利用插值条件S(x i )=f i ，S(x i-1)=f i+1定出积分常数，可得到

似。由于前人试验只是绘制了等温吸湿曲线，没有建立函数表达式，不利于预测烟草保质期模型的建立。刘力桥等依据前人试验所得到的曲线形状利用最小二乘方法拟合三次多项式，得到了烟草吸湿模型。

刘力桥等首先对等温吸湿曲线进行数学刻画，建立了烟草吸湿数学模型，对烟草保质期的预测具有重要意义。但不足之处主要有以下几点：①凭借试验描绘的曲线形状将曲线在整个观测区域看成一个三次多项式，理论依据不充分；②最小二乘方法很可能会使曲线在节点上不等于观测值；③所得到的拟合函数只能在节点上做误差分析，而对于非节点上的误差则无法分析。该研究在刘力桥等基础上，引入三次样条插值多项式，从而改进以上3个不足之处。

该研究对云南地区某烟草在温度为10℃条件下某一部位不同湿度的平衡含水率，利用三次样条插值多项式原理计算了在此温度时，烟草的平衡含水率和水分活性(RH/100)的三次样条插值多项式：

1 三次样条插值多项式

设在区间[a ，b ]上取n +1个节点a=x0＜x 1＜…＜x n =b，给定这些点的函数值f (x i ) =fi ，(i=0，1，…，n ) 。若S (x ) 满足条件：①S (x ) 在区间[a ，b ]上二次导数连续（即函数曲线表现非常光滑）；②S (x i )=f i ，(i=0，1，…，x i+1]间上，S (x ) n ) ；③在每个小区[x i ，

是一个三次多项式，则S (x ) 称为f (x ) 在[a ，b ]上的三次样条插值多项式。通常S (x ) 的二次导数在2个端点a ，b 上设置为0（即自然边界条件）。 在每个小区间[x i ，x i+1]上，S (x ) 是一个三次多项式，则二阶导数S" (x ) 在[x i ，x i+1]为一次多项式，在节点x i 上记S " (x i ) =M i ，则在[x i ，x i +1]上，

2 烟草吸湿模型的改进

等温吸湿曲线是在恒定温度下，食品水分含量（质量干基含水量）对水分活度作图得到的曲线，可以用来表示温度、含水量和水分活度之间的关系。物品平衡含水量和水分活性之间的关系常用物品吸湿等温曲线表示。Brunauer 试验得到食品类吸湿等温曲线其形状与抛物线相似。金敖熙等对不同产地烟草的不同部位分别进行试验，得到较为详细的数据，并绘制了不同温度下的等温吸湿曲线，结果与Brunauer 的等温曲线形状相似。胡有持等对云南烤烟进行了类似试验，采用不同的试验温度、相对湿度以及实验装置，得出的吸湿曲线均相

（1）

为了表达方便，记

m=ai A w 3 + bi A w 2+ci A w +di , Aw,i ≤A w ＜A w,i+1 , i =1,2, …,7.

三次样条插值多项式与观测数据的对照见图1。三次样条多项式完全通过观测数据，且整个曲线光滑。

S ′′(x ) =M

x i +1−x i h i

+M

x −x i

i +1h i

，其中h i =

收稿日期：2010-04-23

基金项目：湖南省科技厅基金(09jj3001)；湖南农业大学基金(07QN14)；东方科技学院基金(52030750)

作者简介：刘跃武（1979-），男，湖南长沙县人，讲师，硕士，主要从事数学模型研究。通讯作者：彭 艳

3 包装保质期预测模型的改进

烟草包装透湿方程为

（下始第56页）

• 53

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益阳长沙后花园，主要积极开展和利用其生态、人文和旅游资源，与长株潭经济区相对接。

弱竞争力城市与其他城市存在较大差距，竞争力落后于其他城市。因此，应增加全社会固定资产投资，大力发展乡镇企业，努力扩大对外开发程度，主动与周围城市展开合作，充分利用长沙等较高竞争力城市在资金、技术和市场等方面的优势，发挥比较优势，打造自身特色的优势产业和优势部门，提高城市竞争力。参考文献：

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4 结 论

研究利用主成份分析方法，对湖南省14个城市的竞争水平进行测定。从纵向来看，长沙得分远远高于其他城市，说明湖南省城市发展不平衡；从横向来看，除长沙外，各城市的竞争力得分呈逐年下降趋势。全省城市竞争力普遍较低，有待进一步提高。 长沙作为湖南省会城市应积极拓展其核心地位，在经济、文化多方面发挥辐射作用，带动就近区域的城市发展，提高全省整体城市竞争力；常德、益阳、娄底等城市比较优势不明显，综合创新能力有待增强，缺乏科技创新实力；张家界和湘西作为较

（上接第53页）

222018平衡合水率 (%)

[1**********]2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

环境水分活性 （%）

观测数据三次样条

以得到：

两边积分得：

环境温度θ的函数采用文献中的

其中，A w,k0表示烟草的初始水分活性，A w,k+1表示t 时刻时烟草的水分活性。积分得时间的表达式为

P 表示透湿系

数，A 表示有效透湿表面，p 表示与饱和水蒸气压力相关的系数，W s 表示烟草干重，l 表示薄膜厚度。参考文献：

[1] 刘力桥，奚德昌. 烟草包装保存期预

图１ 三次样条插值多项式 与观测数据的对照

其中，G(θ) 表示环境温度θ的函数，τ表示透湿时间常数，A we 表示烟草临界水分活性。 将透湿方程变形：

（2） 将方程（1）代入到方程（2）可

当烟草的水分活性从初始值A w ,k0达到临界水分活性值A we 时，即A w,k+1=Awe 认为烟草变质，此时，所需的时间t 定义为包装的保质期T ，其表达式为

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