奥数题 等差数列求和及应用一

等差数列求和及应用一

等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫做末项。 （以下公式要求熟记）

基本公式：和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+（项数-1）×公差

项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=末项-（项数-1）×公差 公差=

末项-首项

项数-1

例1、 计算：1+2+3+4+„+99+100=？

例2、 计算：1+3+5+7+„+1995+1997+1999=？

例3、 数列4，9，14，19，„的第80项是多少？

例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，„这数列中前100个数的和是多少？

例5、 求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少？

例6、 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛？⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？

例7、 小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。问小红家的门牌是几号？全胡同里共有几家？

例8、 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。问：共有多少个盒子？

家庭作业：

【1】计算 ⑴ 2+4+6+8„+198+200 ⑵ 3+10+17+24+31+„+94 ⑶ 77+74+71+„„+11+8+5

【2】已知等差数列3，7，11，15，„，195，问这个数列共有多少项？

【3】已知等差数列2，7，12，17，„„它的第25项是多少？第36项是多少？

【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少？

【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，公差是6，这列数的总和是多少？

【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数的前50个数的和是多少？

【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛？

【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米？

【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。问：共有多少个同学？我报的数是几？

【10】7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？

【11】编号为1—9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖。如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？如果3号盒子里放了23粒糖呢？

体育比赛中的数学问题

例1、 三年级一班组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投5个球，投进了3个，那么他应该得多少分？

例2、 甲、乙、丙3人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同，问第一名胜了几场？

例3、 甲、乙、丙、丁等4人进行乒乓球比赛，每2人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，问丁胜了多少场？

例4、 甲、乙、丙、丁与小华等5个人参加乒乓球比赛，每2人都要比赛1盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，小华赛了几盘？

例5、 ⑴世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛。每场比赛胜队得3 分，败队得0分。平局时两队各得1分，各小组之间全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。如果积分相同，要按小分排序。问一个队至少要积几分才能保证本队出线？简述理由。

（2）在上述世界杯足球小组赛中，若有一个队总积3分，问：这个队有可能出线吗？为什么？

例7、A ，B ，C ，D ，E 等五人参加乒乓球比赛。每两个人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛得结果如下：⑴A 与B 并列第一名；（2）C 是第三名；⑶D 和E 并列第四名。求C 的得分。

例8、六个足球队进行单循环比赛，每两队都要比赛一场。如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。现在比赛已进行了四轮（每队都已与4个队比赛过），各队4场得分之和都互不相同。已知总分居第三位的队共得7分，并且有场球赛踢成平局，总得分居第五位的队最多可得 少可得 分。

例9、 在某市举行的一次乒乓球比赛中，有6名选手参赛。其中专业选手与业余选手各3名。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分；每胜专业选手一场的加2分，每胜业余选手一场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分。现问：一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？

家庭作业：

【1】三年级六个班举行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？

【2】在一次排球联赛中，所有参赛队每两队都要赛1场，共赛21场，问有多少个队参加？

【3】某校五年级五个班各派一队参加小足球比赛，每两队都要比赛一场，到现在为止，一班赛了4场，二班赛了3场，三班赛了1场，那么五班赛了 场。 【4】甲、乙、丙、丁与小明等五位同学进入象棋比赛。每两人都要比赛1盘，每胜1盘得2分，和1盘得1分，输一盘得0分。到现在为止，甲赛了4盘，共得2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分，丁赛了1盘，得了2分，那么小明现在已赛了 盘，得 分。

【5】五所小学进行足球赛，每两所学校赛一场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平各和1分。已知四所小学的得分分别为8、7、4、1，第五所小学的得分最多是 。

【6】六个排球队进行比赛，每两队都刚好比赛一次，现知各队的得分都各个相同（排队赛中没有平局，赢队得1分，输队得0分）；且A 队名列第三，B 队名列第四。试问：在A 、B 两队比赛时，谁赢了谁？试加以论证。

【7】德国队、意大利和荷兰进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场，现在知道：⑴意大利队总进球数是0，并且有一场平局；⑵荷兰队总进取球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。按规定，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，那么德国队共得 分。

【8】德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球赛，每队与另外两队各比赛一场。现在知道：

⑴意大利总进球是0。并且有一场打了平局。

⑵荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且经恰好胜过1场。 按照规则胜1场得2分，平一场得1分，负一场得0分。那么，德国队得了 分。 【9】四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。比赛结果各队得分恰好是连续自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？

【10】四名棋手进行循环比赛，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。如果各人得的总分不同，第一名不是全胜，那么至少多有 局是平局。 【11】1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支足球队分在同一小组。在小组赛中这4支队伍中的每支队伍都要与其他3队比赛1场，根据规定：每场比赛胜队可得3分，负队得0分，如果双方踢平，两队各记1分。已知：⑴这4支队比赛得总得分为4个连续奇数；⑵乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。根据以上条件可以推断：总分排在第四位的是

图形的切拼

例1、 用两块相同的直角三角板（不等腰）可以拼成哪几种图形？

例2、 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小形状都相等的两块，并使它们拼成一个正方形。

例3、 把下面16个小方体方格分成两块，然后拼成一个正方形。

例4、 把下面切成两块，拼成一个正方形。

例5、 请把一面两个图中的一个分成3块，使它们能拼成一个正方形。（单位：厘米）

例6、 把图中的不规则图形分成形状大小相同的四块，然后拼成一个正方形。只剪两刀。

例7、 将图剪成一个中间有一个方孔的正方形。

例8、 用四块形状和大小完全一样的三角形，拼拼搭搭（不能重叠），能出现多少个边长不同的正方形？请画出示意图。

例9、 将下图分成三块，然后把这三块拼成一个正方形。

家庭作业

【1】用两块相同的直角三角板（等腰）可以拼成哪几种图形？

【2】一个长方形的长和宽分别是8厘米和2厘米，要把它剪成大小形状都相同的两块，

并使它们拼成一个正方形。

【3】把图分成两块，然后拼成一个5×6的长方形。

【4】将右图切成大小相等、形状相同的4个小方块相连的4块，拼成一个正方形。

【5】将图形切成3块，再拼成一个正方形。

【6】下图是一块长方形铁皮，现在要把它剪成形状、大小都相同的2块，然后拼成一个正方形，拼成的正方形的边长应是多少？（单位：厘米）

【7】把图中的长方形切成两块，然后拼成一个正方形。

【8】把一个平行四边形剪成两块拼成一个长方形。（画图表示）

【9】这是一个阶梯的方格图，顺着哪条方格线剪一刀，就可以拼成一个长方形？

【10】这是一张塔形的方格纸，沿着哪条方格线剪开后，可以拼成一个正方形？

图形的分割

例1、 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割

法？

例2、 在一块长方形的地里有一口正方形的水池，如图，试着画一条直线把除

开水池外的这块地平均分成两块。

例3、 如图是5个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积

相等的两块。

例4、 试将下图分割成4个大小相等、形状相同的图形。

例5、 将图⑴分割成五个大小相等的图形。左下图是一个3×4的方格纸，请用四种

不同的方法将它分割在完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

例6、 把图沿格线分成面积、形状完全相同的五部分，用图表示分割方法。

例7、 将图分成四个大小相等、形状相同的图形。

例8、 把图中分割成大小、形状完全相同的四部分，使每部分都含有一个 “○”，应怎样分割？

例9、 如图是一块“H ”形的地，地里栽了8棵树，现在要把这块地划分成面

积相等、形状一样的4块地，要求每块地里各有2棵树，应如何划分？家庭作业

【1】用一条线段把一个正方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？

【2】在一块正方形的地里有一条长方形的水槽，如图，试画一条直线把除开水槽外的这

块地平分成两块。

【3】图是由7个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

【4】如图是6个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

【5】右上图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

【6】试将图分成形状、大小都一样的四块。

【7】将右图切成大小相等、形状相同的4个小方块相连的4块，拼成一个正方形。

【8】将图分割成两个大小相等、形状相同的图形。

【9】将图分成大小、形状相同的4块，每块带一个小圆圈。

【10】把图分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有1个字母。

【11】将图分割成5个大小相等、形状相同的图形。

【12】将图形分成大小、形状相同的3块，并且每块带一个小圆圈。

幻方及应用

幻方：是指将给定的数，填入3×3，4×4„的方格表中，使得每一横行、每一竖列以及每条对角线的3个或者4个数的和相等，这样的方格表我们就称之为幻方。这个相等的和叫做幻和。小学主要研究3×3的幻方（简称三阶幻方）

一、幻方的基本构成方法

例1、 将1---9这九个数填入右图，使它成为一个三阶幻方。

例2、 用“杨辉法”将3---11这九个数制成三阶幻方。

例3、 将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

二、幻方的应用

例4、 图所示的三阶幻方的幻和是30，请把图所示的幻方填完整。

例5、 将9个连续自然数填入3行3列的9个方格中，使每横行、每一竖行及每一对角线的3数之和都等于51。

例6、 要使图中的3×3的方格表中每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，中间的空格（即第二行第二列的空格）内应该填入什么数？

例7、 图中有九个方格，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一横行、竖行、斜行三个数的和都相等。图中左上角的数是 。

例8、 在方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线上所填的数的和均相等，则x 的值为 。

例9、 在如图方格表的每个方格中，填入一个数字，使和每行、每列以及两条对角线上的四个方格中的数字都是1，3，5，7，那么表中带★的两个方格中的数字之和等于 。

例10、诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城，如图，为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出最多抽调了多少名士兵？

家庭作业

【1】 把2--10填入方格中，使幻方成立。

【2】 试用“杨辉法”将7—15这九个数制成三阶幻方。

【3】 把6、8、10、12、14填入空格中，使幻方的幻和是30。

【4】 在图中的每个没有数的格内填入一个数，使得每行、每列及每条对角线的三个格中的三数之和都等于3000。那么，画有？的格内所填的数是 。

【5】 用1—9这九个数补全图中的幻方，并求出幻和。

【6】 把3、4、5、6、8、10填入空格中，使每行、每列以及两个斜向中三个数的和相等。

【7】 图中的3×3方格表示中行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。正中间方格内填的数是 。

【8】 如图是一个三阶幻方。图中右上角的数是多少？

【9】 图中每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。第一行第二列方格中所填的数是多少？

【10】在图中的方格中填上数，使每行、每列及两条对角线中所填的数的和都相等，则X 的值是 。

【11】在下图（1）的方格内，每条边上的数加起来之和是5，所有数的和是12，现在请你用任何数字重新排列填入图（2），图（3）中，使每条边上的数字之和仍为5，但全部数的和是13、14。

【12】在图所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A ，B ，C ，D ，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么？

【13】图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少？