自考线性代数

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类) 试题 课程代码：04184

T *

说明:在本卷中,A 表示矩阵A 的转置矩阵,A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分, 共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT |=( ) A.-8 B.-2 C.2

D.8

2. 设矩阵A=⎛ 1⎫

⎝-1⎪⎪⎭,B=(1,1),则AB=( )

A.0 B.(1,-1) C. ⎛ 1⎫

-1⎪⎝⎪⎭

D. ⎛ 1

1⎫ -1-1⎪⎝⎪⎭

3. 设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

4. 设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎛ 12⎫ -1

⎝34⎪⎪⎭

, 则A = ( )

A. -

1

⎛ 4-3⎫ ⎪⎝-21⎪⎭ B. -12

2 ⎛ 1-2⎫ ⎪⎝-34⎪⎭

C. -1⎛12⎫2 ⎝34⎪⎪⎭ D. -

1

⎛ 42⎫2

⎝31⎪⎪⎭

5. 下列矩阵中不是．．

初等矩阵的是( ) ⎛101⎛⎛A. ⎫

010⎪⎪ B. 001⎫

⎛ 100⎫

D. 010⎪⎪ C. 100⎫

030⎪ ⎪ 010⎪⎪ ⎝000⎪⎭ ⎝100⎪⎭⎝001⎪⎭ ⎝201⎪⎭

6. 设A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则必有( )

A.A+B可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA可逆 7. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )

A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示, 但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示, 且表示法惟一

8. 设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1, 则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( A.0 B.1 C.2

D.3

⎧2x 1-x 2+x 3=0

9. 设齐次线性方程组⎪

⎨x 1-x 2-x 3=0有非零解, 则λ为( )

⎪⎩λx 1

+x 2+x 3=0

A.-1 B.0 C.1

D.2

10. 设二次型f(x)=xT Ax 正定, 则下列结论中正确的是( )

A. 对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零 B.f 的标准形的系数都大于或等于零 C.A 的特征值都大于零 D.A 的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

0112

的值为_________.

12. 已知A=⎛ 12⎫

⎝23⎪⎪⎭

, 则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.

)

⎛11⎫⎛1-3⎫3 ⎪13. 设矩阵A= ,P= 01⎪⎪, 则AP =_________. -24⎪

⎝⎭⎝⎭

14. 设A,B 都是3阶矩阵, 且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.

15. 已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关, 则数k=_________.

⎛1⎫⎛3⎫

⎪ ⎪2 ⎪ 5⎪

16. 已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解, 且α1= ⎪, α1+α3= ⎪, 则该线性方程组的通解是

37 ⎪ ⎪ 4⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭

_________.

⎛1⎫⎛1⎫

⎪ ⎪

17. 已知P 是3阶正交矩, 向量α= 3⎪, β= 0⎪, 则内积(P α, P β) =_________.

2⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭

18. 设2是矩阵A 的一个特征值, 则矩阵3A 必有一个特征值为_________.

⎛12⎫

19. 与矩阵A= 03⎪⎪相似的对角矩阵为_________.

⎝⎭

⎛1-2⎫T

20. 设矩阵A= -2k ⎪⎪, 若二次型f=xAx 正定, 则实数k 的取值范围是_________.

⎝⎭

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

01201012

. 21. 求行列式D=

2101

0210

⎛0-10⎫⎛-1-20⎫ ⎪ ⎪100, B =2-1022. 设矩阵A= ⎪ ⎪, 求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 001⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛-2⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

23. 若向量组α1= 1⎪, α2= -1⎪, α3= 6⎪, α4= 0⎪的秩为2, 求k 的值.

1⎪ 3⎪ -k ⎪ -2k ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23⎫⎛2⎛2⎫ ⎪ ⎪

24. 设矩阵A = 1-10⎪, b = 1⎪.

-121⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

(1)求A -1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25. 已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2, 设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.

(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.

⎧x 1=2y 1+2y 2+y 3

⎪

26. 求二次型f(x1,x 2,x 3)=- 4 x1x 2+ 2x1x 3+2x2x 3经可逆线性变换⎨x 2=2y 1-2y 2+y 3所得的标准形.

⎪x =2y 3⎩3

四、证明题(本题6分)

27. 设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是±1.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

T *

试卷说明：在本卷中，A 表示矩阵A 的转置矩阵；A 表示A 的伴随矩阵；r (A ) 表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单

位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12

3 0 -2 0

2 10 5 0

2. 计算行列式=( )

0 0 -2 0-2 3 -2 3

A.-180 B.-120 C.120 D.180 3. 若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.

1

B.2 C.4 D.8 2

B. α1，α2，α3，α4线性相关 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示

4. 设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A. α1，α2，α3，α4线性无关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示

5. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. 设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B ) ，则( )

A. A 与B 相似 B.| A |=| B | C. A 与B 等价 D. A 与B 合同 7. 设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3 D.24 8. 若A 、B 相似，则下列说法错误的是( ) ．．

A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C.| A |=| B | D. A 与B 有相同特征值 9. 若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t ) 正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 10. 设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( )

A. A 正定 B. A 半正定 C. A 负定 D. A 半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

⎛3 -2⎫

⎪⎡2 1 -1⎤

11. 设A = 0 1⎪, B =⎢⎥，则AB =_________________.

0 -1 0⎣⎦ 2 4⎪

⎝⎭

12. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________.

13. 三元方程x 1+x2+x3=1的通解是_______________.

14. 设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15. 设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________. 16. 设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，

1

，1，则| 5A -1 |=______________. 2

17. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________.

⎛ 2 -1 0⎫ ⎪

18. 实对称矩阵 -1 0 1 ⎪所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.

0 1 1⎪⎝⎭

⎛1⎫⎛-1⎫

⎪ ⎪

19. 设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1= 2⎪，α2= 2⎪且r (A )=2，则Ax =b 的通解是_______________.

3⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫

⎪

20. 设α= 2⎪，则A =ααT 的非零特征值是_______________.

3⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 1 0 2 0 0 0

21. 计算5阶行列式D =

0 0 2 0 0 1 0 0 0 2

⎛2 0 0⎫⎛1 0 0⎫⎛1 -4 3⎫ ⎪ ⎪ ⎪

22. 设矩阵X 满足方程 0 -1 0⎪X 0 0 1⎪= 2 0 -1⎪ 求X .

0 0 2⎪ 0 1 0⎪ 1 -2 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1⎪

23. 求非齐次线性方程组 ⎨3x 1-x 2-3x 3+4x 4=4的通解.

⎪x +5x -9x -8x =0

234⎩1

24. 求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

⎛ 2 -1 2⎫

⎪

25. 已知A = 5 a 3⎪的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向

-1 b -2⎪⎝⎭

量.

⎛-2 1 1 -2⎫ ⎪

26. 设A = 1 -2 1 a ⎪，试确定a 使r (A )=2.

1 1 -2 2⎪⎝⎭

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27. 若α1，α2，α3是Ax=b(b ≠0) 的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 已知2阶行列式

a 1b 1

a 2b 2

=m ,

b 1c 1

b 2c 2

=n , 则

b 1b 2

a 1+c 1a 2+c 2

=（ ）

A. m-n B. n-m C. m+n D.-（m+n） 2. 设A , B , C均为n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA

3. 设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵, 且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8

⎛100⎫⎛100⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛a 113a 12a 13⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

4. 已知A= a 21a 22a 23⎪，B = a 213a 22a 23⎪，P = 030⎪，Q = 310⎪，则B =（ ）

⎪ ⎪ a a a ⎪ a 3a a ⎪ ⎪ ⎪⎝313233⎭⎝313233⎭⎝001⎭⎝001⎭

A. P A B. AP C. QA D. AQ 5. 已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）

A. 若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B. 若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6. 下列命题中错误的是（ ） ．．A. 只含有一个零向量的向量组线性相关 C. 由一个非零向量组成的向量组线性相关

B. 由3个2维向量组成的向量组线性相关 D. 两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7. 已知向量组α1, α2, α3线性无关，α1, α2, α3，β线性相关，则（ ）

A. α1必能由α2, α3，β线性表出 B. α2必能由α1, α3，β线性表出 C. α3必能由α1, α2，β线性表出 D. β必能由α1, α2, α3线性表出 8. 设A 为m ×n 矩阵，m ≠n , 则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ） A. 小于m B. 等于m C. 小于n D. 等于n 9. 设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A. A T B. A 2 C. A -1 D. A *

222

10. 二次型f （x 1, x 2, x 3）=x 1+x 2+x 3+2x 1x 2的正惯性指数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

20072009的值为_________________________.

⎛1-13⎫⎛⎫⎪, B= 20⎪, 则A T B=____________________________. 12. 设矩阵A=

201⎪ 01⎪

⎝⎭⎝⎭

13. 设4维向量α=（3,-1,0,2）T , β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2α+γ=3β，则γ=__________. 14. 设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=-

1

, 则|A -1|=___________________________. n

15. 设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________. 16. 齐次线性方程组⎨

⎧x 1+x 2+x 3=0

的基础解系所含解向量的个数为________________.

2x -x +3x =03⎩12

-1

⎛1⎫

17. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵 A 2⎪必有一个特征值为_____________.

⎝3⎭

⎛⎫ 1-2-2⎪ ⎪

18. 设矩阵A= -2x 0⎪的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

⎪ ⎪ -200⎪⎝⎭

⎛ a 1

19. 已知A =

0 ⎝

⎫0⎪2⎪

⎪

b 0⎪是正交矩阵，则a +b =_______________________________。

⎪⎪01⎪

⎪⎭

1

20. 二次型f （x 1, x2, x3）=-4x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的矩阵是_______________________________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a

21. 计算行列式D =a 2

b b 2b +b 3

c

c 2的值。 c +c 3

a +a 3

22. 已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。

23. 设向量组α1=(2,1,3,1)T , α2=(1,2,0,1)T , α3=(-1,1,-3,0) T , α4=(1,1,1,1)T , 求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

⎛

1

24. 已知矩阵A = 0

0 ⎝

210

⎫⎛⎫3⎪ -14⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

（2）解矩阵方程AX =B 。 2⎪，B= 25⎪. （1）求A -1；

⎪ ⎪

1-3 ⎪1⎪⎪ ⎪

⎭⎝⎭

⎧x 1+2x 2+3x 3=4

⎪⎪

25. 问a 为何值时，线性方程组⎨2x 2+ax 3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个

⎪

⎪2x +2x +3x =6

23⎩1

特解和导出组的基础解系表示全部解）。

⎛

2

26. 设矩阵A = 0

0⎝

03a

⎫⎛0⎪ 1⎪

-1

a ⎪的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使P AP = 0⎪ ⎪ 3⎪ 0⎭⎝

020

⎫

0⎪⎪0⎪。 ⎪⎪5⎪⎭

四、证明题（本题6分）

27. 设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明（A +B ）-1=A -1+B -1。

全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2x 2y 2z 4

1. 设行列式403=1, 则行列式01=（ ）

3

111111

x y z

A.

2

3

B.1

8D. 3

2. 设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C-1B -1A -1 C. C-1A -1B -1 D. A-1C -1B -1

3. 设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）. 如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32

4. 设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5. 向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

6. 设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）

A.1 B.2 C.2

C.3 D.4

7. 设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A. m ≥n B. Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C. r （A ）=m D. Ax =0存在基础解系 ⎡4-52⎤

8. 设矩阵A =⎢⎢5-73⎥⎥，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ）

⎢⎣6-94⎥⎦

A. （1，1，1）T

B. （1，1，3）T C. （1，1，0）T D. （1，0，-3）T

⎡1-11⎤

9. 设矩阵A =⎢⎢13-1⎥⎥的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

3 =

（ ⎢⎣111⎥⎦

A.4

B.5 C.6 D.7

10. 三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=x 2+4x 22

11x 2+6x 1x 3+4x 2+12x 2x 3+9x 3

的矩阵为（⎡⎢123⎤⎡143A. ⎢246⎥B. ⎢⎤

⎢⎥ ⎢046⎥⎣369⎥⎦⎢⎥ ⎣369⎥⎦⎡126⎤⎡123⎤C. ⎢⎢246⎥⎥ D. ⎢⎢240⎥⎢⎣069⎥⎦

⎢⎥ ⎣3129⎥⎦

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

12

3

11. 行列式459=_________.

6713⎡⎢5200⎤12. 设A =⎢

2

100⎥⎢⎥⎢0021⎥

，则A -1=_________. ⎣0

011⎥

⎦

13. 设方阵A 满足A 3-2A +E =0，则（A 2-2E ）-1=_________.

14. 实数向量空间V ={（x 1, x 2, x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.

15. 设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解. 则A （5α2-4α1）=_________. 16. 设A 是m ×n 实矩阵，若r （A T A ）=5，则r （A ）=_________. ⎡17. 设线性方程组⎢a 11⎤⎢1a 1⎥⎡⎥⎢x 1⎤⎡1⎤⎢x ⎥⎢1⎥

2⎥=⎥⎢⎥有无穷多个解，则a =_________.

⎢⎣11a ⎥⎦⎢⎣x 3⎦⎢⎣-2⎥⎦

18. 设n 阶矩阵A 有一个特征值3，则|-3E +A |=_________.

19. 设向量α=（1，2，-2），β=（2，a ，3），且α与β正交，则a =_________.

） ）

22

20. 二次型f (x 1, x 2, x 3) =4x 2-3x 3+4x 1x 2-4x 1x 3+8x 2x 3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

[**************]8

21．计算4阶行列式D =.

⎡2-31⎤

⎥-1

4-5222. 设A =⎢，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A . ⎢⎥⎢⎣5-73⎥⎦

23. 设向量α=（3，2），求（αT α）101.

24. 设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ⎧x 1+x 2-2x 4=0⎪

25. 求齐次线性方程组⎨4x 1-x 2-x 3-x 4=0的基础解系及其通解.

⎪3x -x -x =0

123⎩⎡32-2⎤

⎢⎥

26. 设矩阵A =⎢0-10⎥，求可逆方阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.

⎢⎣42-3⎥⎦

四、证明题（本大题6分）

27. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

答案部分

第25—27题 答案暂缺

2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参考答案

2010年10月全国自考线性代数（经管类）参考答案

全国2011年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（ ）

A ． B ．3=

C ．5 D ．

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）

A ． B ．

C ． D ．

3．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =，则C -1是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

4．设A 为3阶矩阵，A 的秩r (A )=3，则矩阵A *的秩r (A *)=（ ）

A ．0 B ．1

C ．2 D ．3

5．设向量，若有常数a , b 使，则（

A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2

C ．a =1, b =-2 D ．a =1, b =2

6．向量组的极大线性无关组为（ ）

A ． B ．

C ． D ． ）

7．设矩阵A =

A ．3

C ．1

8．设，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ） B ．2 D ．0 是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）

A ． B ．

C ． D ．

9．设矩阵A =

A ．（0，0，0）T

C ．（1，0，-1）T ，则A 的对应于特征值的特征向量为（ ） B ．（0，2，-1）T D ．（0，1，1）T

210．二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12-x 1x 2+x 2的矩阵为（ ）

A ． B ．

C ． D ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．行列式

304

11112．行列式0-10

53-2__________. 01中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 02

13．设矩阵A =，B =（1，2，3），则BA =__________.

1，则|A 3|=__________. 214．设3阶方阵A 的行列式|A |=

15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B =B -1A =E ，则A 2+B 2=__________.

16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.

111

19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为, , ，则行列式|B -1|=__________.

234

20．设A =是正定矩阵，则a 的取值范围为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A =

求：（1）A T B ； （2）|A T B |. 22．设A =

，B =

，C =

，且满足AXB =C ，求矩阵X .

，B =

，

23．求向量组

=（1, 2, 1, 0）T ，=（1, 1, 1, 2）T ，=（3, 4, 3, 4）T ，=（4, 5, 6, 4）T 的秩与一个极大线性无关组.

⎧x 1-x 2+3x 3-x 4=1⎪

24．判断线性方程组⎨2x 1-x 2-x 3+4x 4=2是否有解，有解时求出它的解.

⎪x -4x +5x =-1

34⎩1

25．已知2阶矩阵A 的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为

=（7，1）T ，求矩阵A .

，求行列式|A -E |的值.

=（-1，1）T ，

26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=

四、证明题（本大题共6分）

27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵. 证明： （1）AB -BA 为对称矩阵； （2）AB +BA 为反对称矩阵.

全国2012年1月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A 表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||

单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

-1

||表示向量的长度，

T

表示向量的转置，E 表示

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

=2，则=（ ）

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A B ．E -A C ．E +A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）

-1

A ．可逆，且其逆为 B ．不可逆

C ．4．设

1

可逆，且其逆为，

2

D ．

1

可逆，且其逆为

，

2

，…，

k

是n 维列向量，则，…，

k

线性无关的充分必要条件是

（ ）

A ．向量组

1

，

2

，…，

k

中任意两个向量线性无关

1

B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1C ．向量组D ．向量组5．已知向量

A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T

1

+l 2

2

+…+l k

k

≠0

，，

2

，…，，…，

k

中存在一个向量不能由其余向量线性表示 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

则

=（ ）

12k

C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 C ．3 7．设

B ．2 D ．4

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，

是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A ．C ．

+-是Ax =0的解 B ．是Ax =b 的解 D ．

+-是Ax =b 的解 是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为，则A -1的特征值为（ ）

A ． B ．

C ． D．2,4,3

9．设矩阵A =，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) )=__________．

3

12．设3阶矩阵A =

k

，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．

-1

13．设方阵A 满足A =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A =__________． 14．实向量空间R 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________． 17．设

是齐次线性方程组Ax =0的解，而

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则

=__________．

n

18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________． 20．二次型

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

的正惯性指数是__________．

21．计算行列式．

22．设矩阵A =23．设向量组

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

求其一个极大线性无关组，并将其余

向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A =

，求矩阵A 的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A =的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A =的行列式不等于0，证明：

线性无关．

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单

位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a 11

1．设行列式a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 133a 11a 23=2，则-a 31a 33a 21-a 31

3a 12

-a 32a 22-a 32

3a 13

-a 33=（ ） a 23-a 33

A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 C ．E +A

B ．E -A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） ⎛⎛A ⎫

A ． 可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝B ⎛⎛A ⎫

C ． 可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝A

A -1⎫

⎪ ⎭B -1⎫⎪ ⎭

⎛A ⎫B ． ⎪不可逆

B ⎝⎭

⎛A -1⎛A ⎫

D ． ⎪可逆，且其逆为

B ⎝⎭⎝⎫

⎪ B -1⎭

4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是

（ ）

A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关

B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2α+β=(1, -2, -2, -1) T ,3α+2β=(1, -4, -3,0) T , 则α+β=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T

D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是A ．α+β是Ax =0的解 B ．α+β是Ax =b 的解 C ．β-α是Ax =b 的解

D ．α-β是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为12, 1

4,3，则A -1的特征值为（ ）

A ．2,4, 1

3

B ．12, 114, 3

C ．112, 4

,3

D ．2,4,3

1

9．设矩阵A =2，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）

-1

1-101A ．-12

B ．10

3

2-2

1

C ．1 D ．-2

1

1

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) 3)=__________．

）

（

12-2

3，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 12．设3阶矩阵A =4t

3-11

13．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．

17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则A (3α+2β) =__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．

22

20．二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+5x 2+6x 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 11-1

-1-1-4

21．计算行列式

24-6124

21． 12

2

22．设矩阵A =35

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

23．设向量组α1=(3,1,2,0),α2=(0,7,1,3),α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性

无关组表示出来．

-143

24．设三阶矩阵A =-253，求矩阵A 的特征值和特征向量．

2-4-2

25．求下列齐次线性方程组的通解．

⎧x 1+x 3-5x 4=0⎪

⎨2x 1+x 2-3x 4=0

⎪x +x -x +2x =0

234⎩1

2-2

30

26．求矩阵A =

031-1

4-206-11

的秩．

001210

四、证明题（本大题共1小题，6分） a 11

27．设三阶矩阵A =a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 13

a 23的行列式不等于0，证明： a 33

⎛a 13⎫⎛a 11⎫⎛a 12⎫

⎪ ⎪ ⎪

α1= a 21⎪, α2= a 22⎪, α3= a 23⎪线性无关．

a ⎪ a ⎪ a ⎪⎝31⎭⎝32⎭⎝33⎭

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》答案

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A , B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．|A +B |=|A |+|B | B ．AB =BA

C ．(AB ) T =A T B T

D ．|AB |=|BA |

2．设n 阶方阵A , B , C 满足ABC =E ，则必有（ C ） A ．ACB =E

B ．CBA =E

C ．BCA =E

D ．BAC =E

3．设A 为三阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（ A ） A ．-16

B ．-4

C ．4

D ．16

4．若同阶方阵A 与B 等价，则必有（ C ） A ．|A |=|B |

B ．A 与B 相似

C ．R (A ) =R (B )

D ．∑a ii =∑b ii

i =1

i =1

n

n

5．设α1=(1, 0, 0) , α2=(2, 0, 0) , α3=(1, 1, 0) ，则（ C ） A ．α1, α2, α3线性无关 C ．α1可由α2, α3线性表示

B ．α3可由α1, α2线性表示 D ．α1, α2, α

3的秩等于3

6．设α1, α2是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ D ）

A ．α1+α2

B ．α1-α2

C ．β+α1+α2 D ．

α1+

12

α2-β ⎡200⎤

⎥相似，则下列说法错误的是（ B ） 7．若3阶方阵A 与对角阵Λ=⎢000．．⎢⎥

⎢⎣003

⎥⎦

A ．|A |=0

B ．|A +E |=0 D ．R (A ) =2

C ．A 有三个线性无关特征向量

8．齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ C ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．若α=(1, 1, t ) 与β=(1, 1, 1) 正交，则t =（ A ） A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．1

⎡21⎤

10．对称矩阵A =⎢⎥是（ ）

12⎣⎦

A ．负定矩阵

B ．正定矩阵

C ．半正定矩阵

D ．不定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．设

A , B 均为三阶可逆方阵，且|A |=2，则|-2B -1A 2B |=____________．

12．四阶行列式中项a 21a 32a 13a 44的符号为____________．

⎡1-1⎤*

A =____________． 13．设A =⎢，则的伴随阵A ⎥

⎣-12⎦

⎡121⎤

14．设A =⎢023⎥，且R (A ) =2，则t =____________．

⎢⎥⎢⎣10t ⎥⎦15．设三阶方阵A

=[α1, α2, α3]，其中αi 为A 的列向量，且|A |=3，若B =[α1, α1+α2, α1+α2+α3]，则|B |=____________．

⎧x 1+x 3=016．三元方程组⎨的通解是____________．

x -x =02⎩1

⎡21⎤

17．设A =⎢⎥，则A 的特征值是____________．

-14⎣⎦

18．若三阶矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3，则|A +2E |=____________．

⎡200⎤⎡200⎤⎢⎥⎢⎥19．若A =⎢001⎥与B =⎢010⎥相似，则x =____________． ⎢⎢⎣01x ⎥⎦⎣00-1⎥⎦

⎡1-1⎤

20．实对称矩阵A =⎢⎥的正交相似标准形矩阵是____________．

-11⎣⎦三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

123

-123

21．计算四阶行列式

-1-23-1-2-344． 44

123-123解：

-1-23-1-2-3412404=4004003

66048

=1⨯4⨯6⨯8=192． 88

5⎤⎡21

⎥，是三阶方阵，且满足AB -A 2=B -E ，求． 22．设A =⎢04-2B ⎢⎥B

⎢⎣4-31⎥⎦

115115

3-2

解：因为|A -E |=03-2=03-2==-74≠0，所以A -E 可逆，

-7-20

4-300-7-205⎤⎡31

⎥． 由AB -A 2=B -E ，得AB -B =A 2-E ，(A -E ) B =(A -E )(A +E ) ，B =A +E =⎢05-2⎢⎥

⎢⎣4-32⎥⎦

23．设α1=(1, 1, 2, 3) , α2=(1, -1, 1, 1) , α3=(1, 3, 3, 5) , α4=(4, -2, 5, 6) , α5=(-3, -1, -5, -7) ，试求向量组α1, α2, α3, α4, α5的秩和一个极大无关组．

⎡11

⎢1-1

T T T T T

解：[α1, α2, α3, α4, α5]=⎢

⎢21⎢

⎣31⎡11⎢0-2→⎢

⎢00⎢

⎣00

14-3⎤⎡1

⎢02-62⎥⎥→⎢⎢0000⎥⎥⎢

000⎦⎣0

14-3⎤⎡11

⎢3-2-1⎥⎥→⎢0-2

35-5⎥⎢0-1

⎥⎢

56-7⎦⎣0-2

4-3⎤⎡1

⎢03-1⎥⎥→⎢⎢000⎥⎥⎢00⎦⎣0

14-3⎤

2-62⎥⎥ 1-31⎥

⎥

2-62⎦

1-2⎤3-1⎥⎥， 00⎥

⎥00⎦

111-10000021-10000

向量组的秩是2，α1, α2是向量组的一个极大无关组．

⎧x 1-x 2+3x 3+2x 4=3⎪

24．设四元方程组⎨2x 1-x 2+2x 3-x 4=2，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．

⎪x -2x +7x +7x =t

234⎩123⎤23⎤⎡1-1323⎤⎡1-13⎡1-13

⎥→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥， 解：[A , b ]=⎢2-12-12⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢5t -3⎥00t -7⎥⎣1-277t ⎥⎦⎢⎣0-14⎦⎣00⎦

t =7时，R (A , b ) =R (A ) =2，该方程组有解，此时

⎧x 1=-1+x 3+3x 41-132310-1-3-1⎡⎤⎡⎤⎪

⎪x 2=-4+4x 3+5x 4⎢⎥⎢⎥[A , b ]→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥，⎨， x =x 3⎪3⎢⎢000⎥00⎥⎣00⎦⎣000⎦⎪

x 4⎩x 4=

⎛-1⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ -4⎪ 4⎪ 5⎪该方程组通解为 ⎪+k 1 ⎪+k 2 ⎪，k 1, k 2是任意常数． 010 ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎡-1-4⎤⎡-10⎤25．设矩阵P =⎢，，矩阵A 由矩阵方程P -1AP =D 确定，试求A 5． D =⎥⎢⎥1⎦⎣1⎣02⎦

解：P -1=1*1⎡14⎤1⎡-1-4⎤，A =PDP -1， P =-⎢=⎢⎥⎥1⎦|P |3⎣-1-1⎦3⎣1

A 5=(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1) =PD 5P -11⎡-1-4⎤⎡-10⎤⎡-1-4⎤=⎢⎢02⎥⎢1⎥ 1⎥13⎣1⎦⎣⎦⎣⎦51⎡-1-4⎤⎡-10⎤⎡-1-4⎤1⎡1-128⎤⎡-1-4⎤1⎡-129-132⎤=⎢⎢032⎥⎢1⎥=3⎢-132⎥⎢1⎥=3⎢33⎥． 1⎥11373⎣1⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

26．求正交变换X =PY ，化二次型f (x 1, x 2, x 3) =-2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3为标准形．

⎡0-11⎤⎥， 解：二次型的矩阵为A =⎢-101⎢⎥⎢⎣110⎥⎦

-1λ1-1λ1-1λ2-1

|λE -A |=1λ-1=1λ-1=(λ-1) 1λ-1=(λ-1) 1λ+1-1

-1-1λ0λ-1λ-10110011

=(λ-1) λλ2=(λ-1)(λ2+λ-2) =(λ+2)(λ-1) 2，A 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2． 1λ+1

对于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎡11-1⎤⎡11-1⎤⎧x 1=-x 2+x 3⎛-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪⎥→⎢000⎥，⎪x =x ，，λE -A =⎢11-1α=1α= ⎪ 0⎪， 122⎢⎥⎢⎥⎨2 0⎪ 1⎪⎪⎢x 3⎣-1-11⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎩x 3=⎝⎭⎝⎭

⎛-1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎛1/2⎫ ⎪ ⎪⎪(α, β) -1 ⎪ 正交化：β1=α1= 1⎪，β2=α2-21β=0-1=1/2 ⎪ ⎪ ⎪， 1||β1|| 0⎪ 1⎪2 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛-1⎫⎛1/2⎫⎛1⎫⎪1 ⎪1 ⎪12 单位化：p 1=β1=β2= 1⎪，p 2= 1/2⎪= 1⎪； ||β1||||β2||2 ⎪6 6⎪ 2⎪⎝0⎭⎝1⎭⎝⎭1

λ

对于λ3=-2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：11λ-1-1

-1-1λ

⎡-21-1⎤⎡101⎤⎧x 1=-x 3⎛-1⎫⎥→⎢011⎥，⎪x =-x ，α= -1⎪， λE -A =⎢1-2-1 ⎪33⎢⎥⎢⎥⎨2 1⎪⎪⎢⎣-1-1-2⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎩x 3=x 3⎝⎭

⎛-1⎫11 ⎪单位化：p 3=α3= -1⎪． ||α3||3 ⎪⎝1⎭

⎡-1/2⎢令P =⎢1/2

⎢0⎣1/61/62/-1/3⎤⎡100⎤⎥-1/3⎥，则P 是正交矩阵，使得P T AP =⎢010⎥， ⎢⎥⎥⎢1/3⎣00-2⎥⎦⎦

222经过正交变换X =PY ，二次型化为标准形f =y 1． +y 2-2y 3

四、证明题（本题6分）

27．证明任意4个3维向量组线性相关．

证：设αi =(a i 1, a i 2, a i 3) 是任意的3维向量，i =1, 2, 3, 4．

令k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=0，即

k 1(a 11, a 12, a 13) +k 2(a 21, a 22, a 23) +k 3(a 31, a 32, a 33) +k 4(a 41, a 42, a 43) =0，

⎧a 11k 1+a 21k 2+a 31k 3+a 41k 4=0⎪得齐次线性方程组⎨a 12k 1+a 22k 2+a 32k 3+a 42k 4=0，

⎪a k +a k +a k +a k =0⎩[1**********]4

方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，α1, α2, α3, α4线性相关．

全国2013年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

a 11

1．行列式a 21

a 31

A ．a 12a 22a 32a 13a 23中a 22的代数余子式为（ C ） a 33B ．-a 22

a 32a 23 a 33a 11a 31a 13 a 33C ．a 11a 31a 13 a 33 D ．-a 21a 31a 22 a 32

2．设A , B 均为n 阶方阵，(A +B )(A -B ) =A 2-B 2的充分必要条件是（ D ）

A ．A =E B ．B =O C ．A =B D ．AB =BA

3．设向量组α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ A ）

A ．α1, α2, α1+α3 B ．α1-α2, α2-α3, α3-α1

C ．α1, α2, 2α1-3α2 D ．α2, 2α3, 2α2+α3

2x 2-x 3-x 4=0⎧⎪4．4元齐次线性方程组⎨x 1+x 2+x 3=0的基础解系所含解向量的个数为（ B ）

⎪x +3x -x 4=02⎩1

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．设-2是3阶矩阵A 的一个特征值，则A 2必有一个特征值为（ C ）

A ．-8 B ．-4 C ．4 D ．8

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a 1

6．已知行列式a 2

a 3

b 1b 2b 3c 1a 1c 2=3，则a 2c 3

a 32b 1+c 12b 2+c 22b 3+c 3c 1c 2=____________． c 37．A 是3阶矩阵，若|A *|=4，且|A |

⎛111⎫ ⎪8．设矩阵A = 022⎪，则A T A =____________．

003⎪⎝⎭

9．设α1=(1, -2, 5) ，α2=(4, 7, -2) ，则-2α1+3α2=____________．

⎧x 1+2x 2=010．3元齐次线性方程组⎨的一个基础解系为____________．

x =03⎩

11．设A 为3阶矩阵，r (A ) =2，若存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B ，则r (B ) =____________．

12．已知向量组α1=(1, 2, -1, 1) ，α2=(2, 0, t , 0) ，α3=(-1, 2-4, 1) 的秩为2，则数t =____________．

13．设A 为

3阶矩阵，2是A 的一个2重特征值，-1为它的另一个特征值，则|A |=____________．

14．设向量α1=(1, 2, -1) ，α2=(3, 2

, 1) ，则内积(α1, α2) =____________．

0⎫⎛10 ⎪15．设矩阵A = 02-2⎪，则二次型x T Ax =____________．

0-20⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

100

-11016．计算行列式D =0-11

00-1

100

-110D =解：0-11

00-1

1

0=0

00100a b ，其中a , b , c , d 为常数． c d a 100a 100a b 010a +b 010a +b == c 0-11c 001a +b +c d 00-1d 00-1d 0a 0a +b =a +b +c +d ． 1a +b +c 0a +b +c +d

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫17．已知X 022⎪= 40-1⎪⎪，求矩阵X ． ⎭ 0-10⎪⎝⎝⎭

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫解：记A = 022⎪，B = 40-1⎪⎪，则XA =B ， ⎝⎭ 0-10⎪⎝⎭

⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫ ⎪ ⎪ ⎪(A , E ) = 022010⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

0-10001⎪ 022010⎪ 002012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛22-2200⎫⎛220212⎫⎛200214⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

00 ⎪ ⎪2012⎪⎝⎭⎝002012⎭⎝002012⎭

⎛10011/22⎫⎛214⎫ ⎪⎪1 → 01000-1⎪，A -1= 00-2⎪， 2 00101/21⎪⎪⎝⎭⎝012⎭

⎛214⎫⎪1⎛414⎫⎛21/22⎫1⎛21-1⎫ ⎪⎪ 00-2⎪=2 8314⎪⎪= 43/27⎪⎪． 40-12 ⎝⎭ 012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X =BA -1

18．设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列互换得到矩阵B ，再将B 的第2列加到第3列得到矩阵C ，求满足关系式AQ =C 的矩阵Q ．

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪解：由题意有A 001⎪=B ，B 011⎪=C ，所以A 001⎪ 011⎪=C ，

010⎪ 001⎪ 010⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪满足关系式AQ =C 的矩阵Q = 001⎪ 011⎪= 001⎪．

010⎪ 001⎪ 011⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛-2⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1-30 ⎪ ⎪ ⎪ -1⎪19．设向量组α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，判定α4是否可以由α1, α2, α3线性表出，若可以，求出其表0224 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 4⎪ -1⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

示式．

⎧-2x 1+x 2+3x 3=0⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-1 -1⎪ 1⎪ -3⎪ 0⎪⎪x 1-3x 2+x +x 解：设α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 ⎪=x 1 ，得， ⎨2 3 40⎪2⎪2⎪2x +2x =423⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9⎪ 3⎪ 4⎪ -1⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩3x 1+4x 2-x 3=9

30⎫⎛1-30-1⎫-1⎫⎛-21⎛1-30-1⎫⎛1-30 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪12⎪ 0112⎪224⎪ 1-30-1⎪ 0 01(A , b ) = →→→ 0-53-2⎪ 000224⎪ -2188⎪30⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-19⎭⎝34-19⎭⎝⎝013-112⎭⎝00-14-14⎭

⎛1-3 01→ 00 00⎝0-1⎫⎛1-3⎪ 12⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝0-1⎫⎛10⎪ 01⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝00102⎫⎪⎧x 1=21⎪⎪，⎨x =1， 1⎪⎪2⎪⎩x 3=10⎪⎭

α4可以由α1, α2, α3线性表出，α4=2α1+α2+α3．

=a ⎧x 1-x 2⎪x 2-x 3=2a ⎪20．已知4元线性方程组⎨，（1）确定a 的值，使；（2）在有解时，求出其通解（要求用它的一个特解和x -x =3a 34⎪⎪+x 4=1⎩-x 1

导出组的基础解系表示）．

a ⎫⎛1-100a ⎫⎛1-100a ⎫⎛1-100 ⎪ ⎪ ⎪2a ⎪ 01-102a ⎪ 01-102a ⎪ 01-10→→解：（1）(A , b ) = 001-13a ⎪ 001-13a ⎪ 001-13a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -10011⎪ 0-101a +1⎪ 00-113a +1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

a ⎫⎛1-100 ⎪01-102a 1 ⎪→ ，时，r (A , b ) =r (A ) =3，方程组有解； a =-001-13a ⎪6 ⎪ 00006a +1⎪⎝⎭

⎛1-100-1/6⎫⎛1-1 ⎪ 01-10-1/3 ⎪ 01→（2）有解时，(A , b ) → 00001-1-1/2⎪ ⎪ 0000⎪ 000⎭⎝⎝00-1/6⎫⎪0-1-5/6⎪ ⎪1-1-1/2⎪000⎪⎭

⎛1 0→ 0 0⎝⎧x 1=-1+x 400-1-1⎫⎪⎛-1⎫⎛1⎫⎪⎪x =-5+x ⎪ ⎪2410-1-5/6⎪⎪ -5/6⎪ 1⎪6+k ⎪，k 为任意常数． ，，通解为⎨⎪ ⎪01-1-1/2-1/211⎪⎪x 3=-+x 4 ⎪ ⎪ 0⎪ 1⎪20000⎪⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎪x =x 4⎩4

2221．求正交变换x =Py ，将二次型f (x 1, x 2) =3x 1化为标准形，并指出f 是否为正定二次型． -2x 1x 2+3x 2

⎛3-1⎫解：二次型的矩阵为A = -13⎪⎪， ⎝⎭

|λE -A |=λ-3

11=λ2-6λ+8=(λ-2)(λ-4) ，A 的特征值为λ1=2，λ2=4． λ-3

对于λ1=2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎛-11⎫⎛1-1⎫⎧x 1=x 2⎛1⎫11⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：； λE -A = →α=p =α=⎨111 1-1⎪ 00⎪ ⎪ ⎪||α1||2⎝1⎭⎝⎭⎝⎭⎩x 2=x 2⎝1⎭

对于λ2=4，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

λE -A = ⎛11⎫⎛11⎫⎧x 1=-x 2⎛-1⎫11⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：→α=p =α=222⎪ 00⎪⎨x =x 1⎪⎪． 1⎪11||α||2⎝⎭⎝⎭⎩2⎝⎭⎝⎭22

令P = ⎛1/2-1/2⎫⎛20⎫⎪，则P 是正交矩阵，使得P T AP = 04⎪⎪，经过正交变换x =Py ，二次型化为标准形 1/21/2⎪⎝⎭⎝⎭

22． f =2y 1+4y 2

因为A 的特征值均大于零，所以f 是正定二次型．

⎛100⎫ ⎪22．求矩阵A = 010⎪的特征值，并判定A 能否与对角矩阵相似（需说明理由）． 021⎪⎝⎭

λ-1

解：|λE -A |=0

000λ-10=(λ-1) 3，A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1．

-2λ-1

⎛000⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪对于λ1=λ2=λ3=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：λE -A = 000⎪→ 000⎪，

0-20⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

n -r =3-1=2，A 只有两个线性无关的特征向量，不能与对角矩阵相似．

四、证明题（本题7分）

23．设A 为n 阶矩阵，k 为正整数，且A k =O ，证明A 的特征值均为0．

证：设λ是A 的任意一个特征值，则λk 是A k 的特征值，由A k =O ，得λk =0，从而λ=0．