11-1 平面简谐波的波函数

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

平面简谐波函数

内容提要

1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例

1 机械波的形成 波源 介质 产生条件

第一讲

一、波动的几个概念

波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.

+

弹性作用

机 械 波

第一讲 平面简谐波的波函数 2 波的分类 (仅在固体中传播 )

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

2)纵波:质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. (可在固体、液体和气体中传播) 举个例子? ?

1)横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.

特征:具有交替出现的波峰和波谷.

特征:具有交替出现的密部和疏部.

第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波?

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

3. 波动的特点: 波动是位相的传播 (1)每个质点只在平衡位置附近振动,不向前运动。 (2)后面质点重复前面质点的振动状态,有位相落后。 波速 (3)所有质点同一时刻位移不同,形成一个波形。 (4)振动状态、波形、能量向前传播。

水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成

1

第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量 A O −A wave length

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

•波速 u 与媒质性质的关系*:(公式不必记忆)

y

u

气体中

u=

γ RT

M K

, γ —— 比热比 p

p V+Δ V

λ

λ

x

液体中

u=

ρ

p

λ

λ = uT

媒质定 波源定

u、T与什 么有关?

ΔP K =− ΔV V

(体积模量) 可以证明,弹 u= 性绳上的横波:

period T 波速 u

F

p 体变

ρl

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

横波 ut = 固 体 中

G

ρ

S ϕ F (切变模量) 切变

,G =

F S

ϕ F

第一讲 平面简谐波的波函数 5 波线 波面 波前

第十章 机械波

波前 波面振动状态(位相)相同的点连成的面

λ

F

纵波 ul =

E

ρ

, = E

F S Δl l

F l 线变 Δl

λ

相邻波面间距 为一个波长

*

(杨氏模量)

地震波

ul > ut

(会有什么现象?)

球面波

波线

平面波

研究波动抓住一条波线研究即可。

第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1)时间推迟方法

第十章 机械波

介质中任一质点(坐标为 x)相对其平衡位置的 位移(坐标为 y)随时间的变化关系,即 y ( x, t ) 称 为波函数.

y = y ( x, t )

yO = A cos ω t

点P 振动方程 波函数

点O 的振动状态

各质点相对平 衡位置的位移

波线上各质点 平衡位置

t-x/u时刻点O 的运动

y P = A cos ω ( t − x / u )

=

Δt = x / u

点P

t 时刻点 P 的运动

y = A cos ω (t − x / u )

2

第一讲 平面简谐波的波函数 2)相位落后法 点 O 振动方程

第十章 机械波

A y

O

v u

P

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

x = 0 ,ϕ ≠ 0

*

y

A

O

u

λ

y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0

ϕ p = −2π

x

−A

x

λ

x

点 O 振动方程

x

每隔一个λ,相位落后2π

yO = A cos(ωt + ϕ ) − A

u

P点落后O 点的相位

λ

Δϕ = ϕ p −ϕO = −2π x

波函数

−2π x

λ y = A cos(ω (t − 2π x / λ )

λ x y p = Acos(ωt − 2π )

波 y = A cos[ω (t − x ) + ϕ ] u 沿 x 轴正向 u 函 数 = A cos[(ωt − 2π x / λ ) + ϕ ]

u 沿 x 轴负向,波函数如何写?

x y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] = A cos[ωt + 2π x / λ + ϕ ] u

λ

= −2π

x x = −ω Tu u

= A cos ω (t − x / u )

等价的

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

• 讨论:当振源不位于坐标原点时,如何写波动方程?

o· ·

L

u

· · · ··· ·

x

··· ····

Q

设Q点振动方程

y = A cos( ωt + ϕ )

P· · · · · · · ·

·· ···· ··

· x

2π ——波数 y = A cos(ω t m kx + ϕ ) ,k = λ (wave number) t x y = A cos 2π ( m +ϕ) T λ

波函数的另几种几种常见表示式:

⎡ ⎛ ⎤ x − L⎞ y = A cos ⎢ω ⎜ t − ⎟ +ϕ⎥ u ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

y = Aei (ω t m kx +ϕ )

(Re)

(Re)

了解

or

y = A cos(ωt −

2π ( x − L)

= Aei ( m kx ) ⋅ ei (ωt +ϕ )

+ ϕ)

空间因子 (复振幅) 振动因子

λ

第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义 x t x y = A cos[ω(t − )] = A cos[2 π( − )] u T λ

第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 若 x, t 均变化,表示波形的传播--行波 t + Δt 时刻 时刻 y

u

t

x = x1

初位相为 −

t = t1

x y = A cos ω (t1 − ) u

波动曲线

O

x y = A cos ω (t − 1 ) u

ω x1

u

的振动方程 各质元离开平衡位置的分布—波动

x

Δx

x

y

0

振动曲线

x一定 t

y

0

t 一定

在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动 x ( x + Δx) 状态相同,即:

T

x,t均变?

λ

x

y = A cos ω(t − ) = A cos ω[(t + Δt ) − u ⇒ Δx = uΔt

u

]

即振动状态在△t时间传播了u△t 距离,即波形以速度 想一想:如何判断波形图上质点振动方向? u传播。

3

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

四、举例

1.已知波函数求各物理量(系数比较法,定义法) 2.已知各物理量求波函数

第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 讨论 1)给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.

写波函数一般步骤

选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点的位置,写出其振动方程。 比较位于 x 处的任一点和参考点(振源 或波源)位相的领先或落后关系。由参 考点的 振动表达式得出波的表达式

t x y = − A cos 2π ( − ) (向x 轴正向传播 , ϕ = π ) T λ x y = − A cos ω ( −t − ) (向x 轴负向传播 , ϕ = π ) u 2)平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) 式中 A , B , C 为正常数,求波长、波速、波传播方

向上相距为

y = A cos( Bt − Cx )

λ=

2π C T= 2π B

d

的两点间的相位差.

u=

λ

T

t x y = A cos 2 π ( − ) T λ

=

B C

Δϕ = 2 π

d

λ

= dC

第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 y 3 ) 如图简谐波 t=T/4 t =0 u A 以余弦函数表示, 求 O、a、b、c 各 b a c λ O x 点振动初相位.

第一讲 平面简谐波的波函数 例1. t = 0 波形如图 (1)写出波动方程。 先写 o 点振动方程 解:(1) 由图可知

A = 1cm

第十章 机械波

y / cm

1

0.5

u = 10 cm / s

ϕ (− π ~ π ) v A ϕo = π O y

ω ω

O

0

−A

2

5

8

11

14

x / cm

ω

O

v A

y

λ = 12 cm

T=

ϕb = 0

ϕc = −

π 2

ω=

π 2π 5 π = rad / s 关键确定 ϕ 0 = T 3 3

λ 12 = = 1.2 s u 10

ω

π 3

v A

y

y0 = A cos(ωt + φ0 ) = cos(

ϕa =

π 2

波动方程

y = cos[

5π π t+ ) 3 3

o

y

v A

O

ω

y

5π π x 5π x π ( t − ) + ] = cos[ (t − )+ ] 3 u 3 3 10 3

( cm , g , s制 )

第一讲 平面简谐波的波函数 (2)求 x1 = 5 cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。 解:

第十章 机械波

y / cm

第一讲 平面简谐波的波函数 (3)画 t = 3T 4 时波形曲线,

x / cm

第十章 机械波

y / cm

1

0.5

u = 10 cm / s

0

2

5

8

11

14

此刻 x = 2 cm 处质点振 动位移、速度、加速度?

1

0 .5

u = 10 cm / s

t =0

t= 3T 4

t =0

0

x1 处 y1 = A cos[ ω( t − x1 ) + ϕ0 ] u x2 处 y2 = A cos[ ω( t − x2 ) + ϕ0 ] u

位相差

位移

y = cos[

2

5

8

11

14

x / cm

π 5π x π 3π 5π 3T 2 ( t − ) + ] = cos[ ( − ) + ] = cos = 0 3 10 3 2 3 4 10 3

ω 2π Δ = ϕ 2 − ϕ 1 = − ( x 2 − x1 ) = − ϕ ( x 2 − x1 ) u λ 2π 2π = ( x1 − x 2 ) = ( 5 − 11 ) = − π 反位相 λ 12

振动速度 ∂y 5π 3π 5π 5π 5π 3T 2 π v = = − sin[ ( − ) + ] = − sin = = 5.23cm / s ∂t 3 2 3 3 3 4 10 3 振动加速度

a= ∂2 y 5π 2 5 π 3T 2 π = −( ) cos[ ( − )+ ] = 0 3 3 4 10 3 ∂t 2

4

第一讲 平面简谐波的波函数 (4)若图为 t = 0.2 s 波形, 波动方程如何?

1

0. 5

y / cm

u = 10 cm / s t = 0.2 s t =0

8

11

14

第十章 机械波

第一讲 平面简谐波的波函数 [例2]如图示,已知: y = 0 入 y0 =Acosωt x 0 l 反 (l- x) 全 反 射 壁

波长为λ , A cos ω t,

第十章 机械波

反射波在S处相位改变π。 求:反射波函数

0 2 5 解:关键是求o点的初位相 T 方法1: = 0.2 s = t 波形 6 π 2π T π + ϕ0 = ωt + ϕ 0 = T 6 3 3

x / cm

S

y ′( x , t )

ϕ0 = 0

解: 全反射, A不变。

yo = cos(

5π t) 3

λ 6

y = cos[

5π x (t− )] 3 10

y′( x , t ) = A cos[ω t −

= A cos[ω t +

l

λ

x

2π − π −

2π − 2l

l−x

λ

2π ]

方法2: 将波形倒退

得出 t = 0 波形,再写方程! …..

ϕ0 = 0

λ

λ

2π − π ]

“+”表示沿 -x 方向传播

第一讲 平面简谐波的波函数

第十章 机械波

作业

习题练习册 练习31

5


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