11-1 平面简谐波的波函数
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
1 机械波的形成 波源 介质 产生条件
第一讲
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
+
弹性作用
机 械 波
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波的分类 (仅在固体中传播 )
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
2)纵波:质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. (可在固体、液体和气体中传播) 举个例子? ?
1)横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
特征:具有交替出现的波峰和波谷.
特征:具有交替出现的密部和疏部.
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波?
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点: 波动是位相的传播 (1)每个质点只在平衡位置附近振动,不向前运动。 (2)后面质点重复前面质点的振动状态,有位相落后。 波速 (3)所有质点同一时刻位移不同,形成一个波形。 (4)振动状态、波形、能量向前传播。
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量 A O −A wave length
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
•波速 u 与媒质性质的关系*:(公式不必记忆)
y
u
气体中
u=
γ RT
M K
, γ —— 比热比 p
p V+Δ V
λ
λ
x
液体中
u=
ρ
,
p
λ
λ = uT
媒质定 波源定
u、T与什 么有关?
ΔP K =− ΔV V
(体积模量) 可以证明,弹 u= 性绳上的横波:
period T 波速 u
F
p 体变
ρl
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut = 固 体 中
G
ρ
S ϕ F (切变模量) 切变
,G =
F S
ϕ F
第一讲 平面简谐波的波函数 5 波线 波面 波前
第十章 机械波
波前 波面振动状态(位相)相同的点连成的面
λ
F
纵波 ul =
E
ρ
, = E
F S Δl l
F l 线变 Δl
λ
相邻波面间距 为一个波长
*
(杨氏模量)
地震波
ul > ut
(会有什么现象?)
球面波
波线
平面波
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1)时间推迟方法
第十章 机械波
介质中任一质点(坐标为 x)相对其平衡位置的 位移(坐标为 y)随时间的变化关系,即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y = y ( x, t )
yO = A cos ω t
点P 振动方程 波函数
点O 的振动状态
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
t-x/u时刻点O 的运动
y P = A cos ω ( t − x / u )
=
Δt = x / u
点P
t 时刻点 P 的运动
y = A cos ω (t − x / u )
2
第一讲 平面简谐波的波函数 2)相位落后法 点 O 振动方程
第十章 机械波
A y
O
v u
P
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x = 0 ,ϕ ≠ 0
*
y
A
O
u
λ
y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0
ϕ p = −2π
x
−A
x
λ
x
点 O 振动方程
x
每隔一个λ,相位落后2π
yO = A cos(ωt + ϕ ) − A
u
P点落后O 点的相位
λ
Δϕ = ϕ p −ϕO = −2π x
波函数
−2π x
λ y = A cos(ω (t − 2π x / λ )
λ x y p = Acos(ωt − 2π )
波 y = A cos[ω (t − x ) + ϕ ] u 沿 x 轴正向 u 函 数 = A cos[(ωt − 2π x / λ ) + ϕ ]
u 沿 x 轴负向,波函数如何写?
x y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] = A cos[ωt + 2π x / λ + ϕ ] u
λ
= −2π
x x = −ω Tu u
= A cos ω (t − x / u )
等价的
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
• 讨论:当振源不位于坐标原点时,如何写波动方程?
o· ·
L
u
· · · ··· ·
x
··· ····
Q
设Q点振动方程
y = A cos( ωt + ϕ )
P· · · · · · · ·
·· ···· ··
· x
2π ——波数 y = A cos(ω t m kx + ϕ ) ,k = λ (wave number) t x y = A cos 2π ( m +ϕ) T λ
波函数的另几种几种常见表示式:
⎡ ⎛ ⎤ x − L⎞ y = A cos ⎢ω ⎜ t − ⎟ +ϕ⎥ u ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
y = Aei (ω t m kx +ϕ )
(Re)
(Re)
了解
or
y = A cos(ωt −
2π ( x − L)
= Aei ( m kx ) ⋅ ei (ωt +ϕ )
+ ϕ)
空间因子 (复振幅) 振动因子
λ
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义 x t x y = A cos[ω(t − )] = A cos[2 π( − )] u T λ
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 若 x, t 均变化,表示波形的传播--行波 t + Δt 时刻 时刻 y
u
t
x = x1
初位相为 −
t = t1
x y = A cos ω (t1 − ) u
波动曲线
O
x y = A cos ω (t − 1 ) u
ω x1
u
的振动方程 各质元离开平衡位置的分布—波动
x
Δx
x
y
0
振动曲线
x一定 t
y
0
t 一定
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动 x ( x + Δx) 状态相同,即:
T
x,t均变?
λ
x
y = A cos ω(t − ) = A cos ω[(t + Δt ) − u ⇒ Δx = uΔt
u
]
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离,即波形以速度 想一想:如何判断波形图上质点振动方向? u传播。
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量(系数比较法,定义法) 2.已知各物理量求波函数
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 讨论 1)给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点的位置,写出其振动方程。 比较位于 x 处的任一点和参考点(振源 或波源)位相的领先或落后关系。由参 考点的 振动表达式得出波的表达式
t x y = − A cos 2π ( − ) (向x 轴正向传播 , ϕ = π ) T λ x y = − A cos ω ( −t − ) (向x 轴负向传播 , ϕ = π ) u 2)平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) 式中 A , B , C 为正常数,求波长、波速、波传播方
向上相距为
y = A cos( Bt − Cx )
λ=
2π C T= 2π B
d
的两点间的相位差.
u=
λ
T
t x y = A cos 2 π ( − ) T λ
=
B C
Δϕ = 2 π
d
λ
= dC
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 y 3 ) 如图简谐波 t=T/4 t =0 u A 以余弦函数表示, 求 O、a、b、c 各 b a c λ O x 点振动初相位.
第一讲 平面简谐波的波函数 例1. t = 0 波形如图 (1)写出波动方程。 先写 o 点振动方程 解:(1) 由图可知
A = 1cm
第十章 机械波
y / cm
1
0.5
u = 10 cm / s
ϕ (− π ~ π ) v A ϕo = π O y
ω ω
O
0
−A
2
5
8
11
14
x / cm
ω
O
v A
y
λ = 12 cm
T=
ϕb = 0
ϕc = −
π 2
ω=
π 2π 5 π = rad / s 关键确定 ϕ 0 = T 3 3
λ 12 = = 1.2 s u 10
ω
π 3
v A
y
y0 = A cos(ωt + φ0 ) = cos(
ϕa =
π 2
波动方程
y = cos[
5π π t+ ) 3 3
o
y
v A
O
ω
y
5π π x 5π x π ( t − ) + ] = cos[ (t − )+ ] 3 u 3 3 10 3
( cm , g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 (2)求 x1 = 5 cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。 解:
第十章 机械波
y / cm
第一讲 平面简谐波的波函数 (3)画 t = 3T 4 时波形曲线,
x / cm
第十章 机械波
y / cm
1
0.5
u = 10 cm / s
0
2
5
8
11
14
此刻 x = 2 cm 处质点振 动位移、速度、加速度?
1
0 .5
u = 10 cm / s
t =0
t= 3T 4
t =0
0
x1 处 y1 = A cos[ ω( t − x1 ) + ϕ0 ] u x2 处 y2 = A cos[ ω( t − x2 ) + ϕ0 ] u
位相差
位移
y = cos[
2
5
8
11
14
x / cm
π 5π x π 3π 5π 3T 2 ( t − ) + ] = cos[ ( − ) + ] = cos = 0 3 10 3 2 3 4 10 3
ω 2π Δ = ϕ 2 − ϕ 1 = − ( x 2 − x1 ) = − ϕ ( x 2 − x1 ) u λ 2π 2π = ( x1 − x 2 ) = ( 5 − 11 ) = − π 反位相 λ 12
振动速度 ∂y 5π 3π 5π 5π 5π 3T 2 π v = = − sin[ ( − ) + ] = − sin = = 5.23cm / s ∂t 3 2 3 3 3 4 10 3 振动加速度
a= ∂2 y 5π 2 5 π 3T 2 π = −( ) cos[ ( − )+ ] = 0 3 3 4 10 3 ∂t 2
4
第一讲 平面简谐波的波函数 (4)若图为 t = 0.2 s 波形, 波动方程如何?
1
0. 5
y / cm
u = 10 cm / s t = 0.2 s t =0
8
11
14
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数 [例2]如图示,已知: y = 0 入 y0 =Acosωt x 0 l 反 (l- x) 全 反 射 壁
波长为λ , A cos ω t,
第十章 机械波
反射波在S处相位改变π。 求:反射波函数
0 2 5 解:关键是求o点的初位相 T 方法1: = 0.2 s = t 波形 6 π 2π T π + ϕ0 = ωt + ϕ 0 = T 6 3 3
x / cm
S
y ′( x , t )
ϕ0 = 0
解: 全反射, A不变。
yo = cos(
5π t) 3
λ 6
y = cos[
5π x (t− )] 3 10
y′( x , t ) = A cos[ω t −
= A cos[ω t +
l
λ
x
2π − π −
2π − 2l
l−x
λ
2π ]
方法2: 将波形倒退
得出 t = 0 波形,再写方程! …..
ϕ0 = 0
λ
λ
2π − π ]
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
习题练习册 练习31
5
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