均值不等式的推广形式及其运用

均值不等式的推广形式及其运用

作者：魏丽芳

来源：《新课程·中学》2013年第05期

摘 要：在高中对均值不等式认识的基础上进一步整理得到均值不等式定理和四个重要结论，并运用定理及其推广结论对多项式函数（包括由简单的两个因式相乘的多项式函数、三个因式相乘的多项式函数到四个因式相乘的多项式函数，甚至是五个因式相乘的多项式函数）求极值的条件进行推广，并用其求具体问题的极值。

关键词：均值不等式；求极值；推广形式

均值不等式是高中数学的重要内容，由于其在求最值方面的特殊功效，因此也一直是高考考查的热点与重点，是中学数学中不可或缺的一部分.但回顾中学数学的均值不等式部分，我们不难发现，由于高中生水平的限制，到高中课程完结，我们学到的均值不等式的几种常见形式可以用来解决的问题是极为有限的，在本文中，我将在中学所学到的均值不等式的内容进一步推广并将其运用技巧进一步归纳总结.

1.均值不等式定理及其推广后的结论

至此，我们克服了运用均值不等式来解决最值问题的两大瓶颈，以下我们就均值不等式及其推广结论对几种常见的代数函数通式求极值的条件进行推广，并用其求具体问题的极值.

2.利用均值不等式及其推论求最值

利用均值不等式求最值，必须：一正、二定、三相等.

这三个条件中，“正数”条件往往可由题设得，而“定值”条件与“取等号”条件密切联系是我们解题的重点和核心，要满足这两个条件，需要一定的灵活性和技巧性，先看一道例题： 根据《福建中学数学》——关于均值不等式求最值的进一步探讨一文的结论，可知若将（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3）看作坐标系上的三个点的话，则综合（2-3-2），（2-3-3）问题转化为是否存在k1，k2，k3使得（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3）三点共线且k1b1+k2b2+k3b3=0.注意到Ai′（kibi，kiai）为原点与点Ai（bi，ai）连线上的一点，因而ki（i=1，2，3）是否存在，只需转向考虑从原点出发的三条射线OA1，OA2，OA3上是否存在三点共线，且这三点的横坐标之和为0.

2.3.1当A1，A2，A3中存在两点其连接过原点时，如果另一点不在这一射线上，则

OA1，OA2，OA3上不存在不同三点共线，故此时k1，k2，k3不存在，无法求最大值.如果另一点在这条射线上，则存在三点共线，此时k1，k2，k3存在，可求出最大值.

2.3.2当A1，A2，A3中任意两点连线都不过原点时，k1，k2，k3必存在，故必可求其最大值.至于pi≠pj的情况较为复杂，我们暂不予以讨论.

若将（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）看作坐标系上的四个点的话，则综合（2-4-1）（2-4-4），从几何的角度知函数y能用定理的方法求最大值的条件是：点（k1b1，k1a1），（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）共线且这四个点的横坐标之和为零.问题转化为是否存在k1，k2，k3，k4使得（k1b1，k1a1），

（k2b2，k2a2），（k3b3，k3a3），（k4b4，k4a4）四点共线且k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0.注意到Ai′（kibi，kiai）为原点与点Ai（bi，ai）连线上的一点，因而ki（i=1，2，3，4）是否存在，只需转向考虑从原点出发的四条射线OA1，OA2，OA3，OA4是否存在四点共线，且这四点的横坐标之和为零.

根据所学的知识，知此方程必定有解，即ki（i=1，2，3，4）必存在，且可通过公式求解. 我们还可以继续研究五个因式、六个因式相乘的情况，这将为我们求最值带来极大的方便！

参考文献：

[1]潘飚，张金良.关于均值不等式求最值的进一步探讨[J].福建中学数学，1993（10）：35.

[2]卢功敏.均值不等式的推广及其应用[S]，2002.

[3]单樽.数学名题词典.江苏教育出版社，2002-07：169-171.

[4]唐秀颍.数学解题词典：代数.上海辞书出版社，1985：237.

[5]叶其孝，沈永欢.实用数学手册.2版.科学出版社，2006：17.