14届高三物理公式证明题(中加版)

2014年安徽省高三物理公式证明题总复习

在安徽省近三年的高考中都出现了证明题，所以毕当引起14年考生的重视。在物理考试说明的题型示例中，也出现了公式证明题。在解这类问题时，要有一定的文字说明，首先必须交待所用的每个物理量的含义，其次要分析过程，并说明所用的物理概念或规律。下面给出的是高中物理公式证明题总复习的示例，希望各位同学能够自己仔细去推敲。

【例1】证明运动学中的几个推论

设物体做匀变速运动，初速度为v 0，末速度为v t ，加速度为a ，运动时间为t ，中间时刻的速度为v t/2，中间位置的速度为v s/2，证明：

1．v t /2=v =(v 0+v t ) /2

v 0+v t 2. v s = 22

3.v t 2-v o 2

=2as

4. Δs=aT2

[证明]1．根据运动学公式：v t =vo +at, s=vo t+at2/2,

中间时刻的速度：v t/2=vo +at/2 22

s v 0t +at 2/2=v 0+at /2 平均速度：v ==t t

又(v0+vt )/2=(v0+v0+ at)/2= vo +at/2,

所以 v t /2=v =(v 0+v t ) /2

2．v t -v o =2as……（1） vs/2-v o =2a(s/2)……（2)

(1)/(2):vs/2=(vo +vt )/2, 2222222

v 0+v t 所以有v s = 22

3.根据v t =vo +at, 得：t=(vt -v o )/a,把t 代入

s=vo t+at2/2, 得：v t 2-v o 2=2as

4.从第一个T 秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v 0，有：

s 1=v0T+aT/2, s2=（v 0+aT）T+aT/2, s3=（v 0+2aT）T+aT/2,……

s n =[v0+（n-1）aT]T+aT/2,

s 2 -s1= s3 –s 2=……=Δs=aT2

【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．

证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，

向下做自由落体运动。在位置1时速度为v 1，高度为h 1，

222222

在位置2时速度为v 2，高度为h 2

由匀加速运动公式可得：v 22-v 12 = 2g(h1-h 2)

v 12+2gh1 = v22+2gh2

mv 12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2

【例3】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．

证明：设一个质量为m 的物体原来的速度为v 1，动能为mv 1/2，在恒定的合外力F 的作用下，发生一段位移s ，速度为v 2，动能增加到mv 2/2，设合外力方向与运动方向相同.

由运动学公式v 22-v 12 =2as得：s = (v22-v 12)/2a

合外力F 做的功W = Fs，根据牛顿第二定律F = ma

所以Fs = ma(v22-v 12)/2a = mv2/2- mv1/2 2222

或W = EK2- EK1

【例4】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.

证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L ，以速度v 在轨道上向右运动，设在Δt 时间内棒由原来的位置ab 移到cd ，这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt

穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ= BΔS = BLvΔt

由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt, 将上式代入得：

导体切割磁感线产生的电动势：ε= BLv

证明二：如图所示，假设导体棒长L ，以垂直导体棒的速度v 水平向右

运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B

由左手定则可知：棒中自由电子e 受洛仑兹力f = evB作用向下运动，

使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E =ε/L

当f = eE 时，棒中产生稳定的电动势：ε= BLv

【例5】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．

证明：如图所示, 设对一段导线通以强度为I 的电流，导线截面积为S ，电子定向移动速率为

v

，单位体积内自由电子数为n ，通电时间为t

则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L = vt

通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt

所以电流为I = q/t = neSv

【例6】证明：洛仑兹力公式f = qvB.

证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n ，每个自由电荷的电量是q ，自由电荷的平均定向移动速率是v ，导线的横截面积是S ，那么通过导线的电流就是 I = nqvS

磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f ，这段导线内自由运动电荷的总数为N ，则

Nf = F，即Nf = ILB

代入I = nqvS，得到Nf = nqvSLB

又N 等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N = nSL

因此上式简化为f = qvB

【例7】证明：万有引力定律F = GMm/r2

证明：设有两个孤立物体质量分别为M 、m ，相距较远间距为r ，m 绕M 作匀速圆周运动周期为T

M 对m 的万有引力F 提供向心力：F = m(2π/T)2r ①

由开普勒第三定律： r 3/ T2 = 常数 ②

由①②得：F = (2π) 2m( r3/ T2) /r2 即F ∝m/r2 ③

由牛顿第三定律可知：m 对M 的万有引力大小也为F ，且具有相同的性质

所以，m 对M 的万有引力F ∝M/r2 ④

综合③④得：F ∝Mm/r2

万有引力定律F = GMm/r2 (其中G 为引力常量)

【例8】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据．．．．．．．．．．，以及最后结果中各项的意义．．．．．．．．．．． 解：(1)如图所示, 一物体放在光滑的水平面上, 设在恒力F 的作用下,

开始时物体的初速度为V 1, 经过t 时间后, 物体的速度变为V 2

由牛顿第二定律得：a =F ① m 由运动学公式得: a =v 2-v 1 ② t 由①②可得: v 2-v 1F =, 由此式变形得: Ft =mv 2-mv 1 t m

式中:Ft 表示物体在t 时间内物体受到合外力的冲量；mv 2表示物体在这段时间的末动量；mv 1

表示物体在这段时间的初动量

【例8】．求证：半径公式r=mv/Bq，周期公式T=2πm/Bq

证明：如图所示，设一带电粒子质量为m ，带电量为q ，匀强磁场的磁感强

度为B ，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即 Fn =qvB=mv/r

所以运动半径为r=mv/Bq． 根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得

带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq．

【例9】如图所示，弹簧的一端固定在墙上. 另一端连结一质量为m 的木块，今将木块向右拉开一位移L 后释放，木块在有摩擦的水平地面上减幅振动. 论：木块在整个振动过程中出现速度为v 0的位置有几个.

分析和证明：在整个振动过程中出现速度为v 0的位置有且只有2个.

释放木块后，木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下，先向左作加速度变小的加速运动. 后向左作加速度变大的减速运动. 在弹簧原长位置的右侧x 0处（kx 0=μmg ），一定存在一加速度为零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大. 根据速度变化必须是连续的原理可知，既然左侧有一v 0，其右侧也一定存在一v 0的位置.

在弹簧第一次恢复原长，木块速度为v 0时，系统振动的能量E =E k =212mv 0，此后的运动由于2

摩擦的作用，系统振动能量不断减小，E '

所以v x ＜v 0，且不断变小，直至停止振动为止.

【例10】如图1 所示：一根导体棒oa 长度为L ，电阻不计，绕o 点在垂直于匀强磁场B 的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。

解法一：假想电路法

假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2 所示），利用法拉第电磁感应定律公式

求解。

此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R 组成了一个闭合回路，经过时间△t ，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：

由楞次定律可知，闭合电路的磁通量在增大，感应电流的磁场应垂直纸面向外。如果形成感应电流，则方向由o→a，故电动势的方向o→a，a 点电势高于o 点电势，a 点相当于电源的正极。

解法二：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv 求解。

由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o 点的距离。o 点速度为零，a 点速度最大，为ωl，则整个杆的平均速度为2ωl

，相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势

由右手定则可以判断电动势的方向为o→a，a 点的电势高于o 点的电势，即a 点相当于电源的正极。

由于解法二比较简洁，故以下拓展在不涉及能量转化问题时均用解法二。

【例11】质量为m 的物体与地心的距离为r 时，物体和地球间引力势能可表示为E P =-GMm （设r

物体在离地球无限远处的势能为零），其中G 为引力常量，M 为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度。证明：第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系为v 2

=1。

【例12】：设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。

如下图所示，在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球，质量分别为m 1和m 2，沿着同一个方向运动，速度分别为v 1 和v 2 （且v 2>v 1），则它们的总动量(动量的矢量和) p =m 1v 1+m 2v 2。当第二个球追上第一个球并发生碰撞，碰撞后的速度分别为v 1' 和v 2' ，此时它们的动量的矢量和，

' ' ' ' ' p =p +p =m v +m v 121122即总动量。下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论p 和p ′有什么关系。

a 1=

【推导过程】：根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别是：

根据牛顿第三定律，F1、F2大小相等、方向相反，即：F1= - F2

所以：m 1a 1=-m 2a 2 F 1F a 2=2m 1， m 2

碰撞时两球之间力的作用时间很短，用∆t 表示，这样，加速度与碰撞前后速度的关系就是：a 1='-v 1v 1v '-v 2a 2=2

∆t ， ∆t

把加速度的表达式代入m 1a 1=-m 2a 2，并整理得：

'+m 2v 2' m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1

上述情境可以理解为：以两小球为研究对象，系统的合外力为零，系统在相互作用过程中，总动量是守恒的——即动量守恒表达式。

下面留几个问题给同学回归课本自己再思考，并希望能够动笔自己尝试去推导：

（1）摩擦生热公式的推导证明：Q =f g L 相对

（2）月球第二宇宙速度的推导和证明：

（3）闭合电路中输出功率P 随外电阻的变化关系公式的推导，以及当内外电阻相等时有最大功率，外

最大功率的值是多少。

（4）证明电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。

（5）在机车启动过程中去证明瞬时功率的表达式。

（6）证明单摆在角度很小的情况下，才能认为是简谐运动？

（7）推导斜抛运动的轨迹方程和水平射程表达式。