圆锥曲线综合应用及高考考点全掌握

主要考察圆锥曲线间相关联的问题，是难度较大的综合题，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等方面知识。蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数学学科能力及一般思维能力的考查要求较高，圆锥曲线的应用题、开放型问题及圆锥曲线与其他数学内容，特别是新增的向量内容的交汇问题将是今后高考命题的热点。

题型一：涉及多种圆锥曲线相结合的问题。

【例1】

x 2y 2

若抛物线y ＝2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P 的值为__________。 62

【例2】 2

x 2y 2x 2y 2

已知a ＞b ＞0，e 1，e 2，分别为圆锥曲线2+2=1和2-2=1的离心率，则1g e 1＋1ge 2a b a b

的值( )

A ．一定是正值 B ．一定是零

C ．一定是负值 D ．符号不确定

题型二、圆锥曲线与平面向量的综合。

【例3】

设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量，

若向量a =xi +(y j , b =xi +(y j , 且a +b =4。

⑴求点P (x ，y ) 的轨迹C 的方程；

⑵若A ，B 为轨迹上的两点，满足AM =MB ，其中M (0，求线段AB 的长。

【例4】

已知向量m 1=(0,x ) ，m 2=(x ,0), n 1=(1,1) n 2=(y 2,1) (其中x ，y 是实数) ，又设向量

点P (x ，y ) 的轨迹为曲线C 。 m =m 12，n =m 21且m //n ，

⑴求曲线C 的方程；

⑵设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当|MN |时，求直线l 的方程。

题型三、圆锥曲线与三角函数、三角形的结合

【例5】

x 2y 2

P 为椭圆+=1上一点，F 1，F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60， 259

⑴求△F 1PF 2的面积；

⑵求P 点的坐标。

【例6】

在直角坐标系中，△ABC 两个顶点C 、A 的坐标分别为

，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c

，满足2sin B =A +sin C ) 。

求顶点B 的轨迹方程；

题型四、最值问题

求最值的常用方法：

1．建立目标函数求最值。

2．数形结合求最值。

3．参数方程法求最值等等

参数方程法

【例7】

x 2y 2

已知动点P (x ，y ) 在曲线+=1上变化，求2x ＋3y 的最大值和最小值。 94

目标函数法

【例8】

y 如果实数x 、y 满足等式(x －2) 2 ＋y 2＝3，则最大值为( ) x

A ．1 2B

C

D

【本讲小结】

1．涉及多种圆锥曲线的综合问题；

2．圆锥曲线与平面向量的综合问题；

3．圆锥曲线与三角函数、三角形的综合问题；

4．圆锥曲线中求最值的问题；

5．常用的思想：函数与方程思想、数形结合法、等价转化、分类讨 论等数学思想方法。

【练习】

x 2y 222221．P 是双曲线+=1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5) ＋y ＝4和(x －5) ＋y ＝1916

上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( ) 。

x 2y 2y 2x 2

2．双曲线2-2=1的离心率为e 1，双曲线2-2=1的离心率为e 2，则e 1＋e 2的最小值a b b a

为(

)

A B ．2　　C D ．4

3．已知A 、B 、C

三点在曲线y 1、m 、4(1＜m ＜4) ，则当△ABC 的面积最大时，m 等于( )

953A ．3　　 B 　　C 　　D 422

4．AB 是抛物线y ＝x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为______。