河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(四十一)(教师版)

课时作业(四十一)

一、选择题

1.已知一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( A )

24

A. B. 33B. C .2 D .4

解析:该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,如图.SD ⊥底面ABCD ,SD =2,四边形ABCD 为正方形, 12

边长为1,所以棱锥的体积为V =31×2=3,选A.

2.有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为( C )

A .213 B .6+153 C .30+63 D .42

解析:如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形,前、后面为平行四边形表面积S =3×3×2+2×3×2+3×3×2=30+63,故选C.

3.已知正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( D )

A .4π 16π C. 3

解析:由三棱锥的主视图知,棱锥的侧棱为4

,由俯视图知底

B .12π 64πD. 3

面边长为3,如图,O ′为△ABC 中心,O 为外接球球心,O ′C ∴PO ′=23. OO ′=23-R ,∴3-R ) 2+4=R 2,解得R =

4, 3

3

=2,PC =4, 3

64

∴外接球表面积S =4πR2=3π,选D.

4.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V 1,直径为4的球的体积为V 2,则V 1∶V 2=( A )

A .1∶2 C .1∶1

B .2∶1 D .1∶4

解析:由三视图可知,几何体为圆柱中间挖去一个圆锥, 116故V 1=22π×2-22π×2×33π 432V 2=×23=π,

33故V 1∶V 2=1∶2,选A.

5.一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示,它的表面积为( A )

A .43 C .12 解析:

2. ∴S 表2×21

×8=

4

3.

22

B .8 D .42

6.从一个正方体中截去部分几何体,得到的几何体的三视图及尺寸(单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是( B )

2247

A. 3 cm 3 B. 6cm 3 23

C. 3 cm 3 D .8 cm3

解析:该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角,其体积V =1147

23-321×1×1=6(cm3) ,故选B.

7. 如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其

直角边长均为1,则该几何体的表面积为( D )

1

A .1+2 B .2+22 C. 3D .2

2

解析:依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥P -ABCD ,其中底面边长为1,PD =1,PD ⊥平面ABCD ,1112

S △P AD =S △PCD =21×1=2,S △P AB =S △PBC =2×1×2=2,S 正方形ABCD =12=1,因此该几何体的表面积为2+2,选D.

8.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SA ⊥平面ABC ,SA =23,AB =1,AC =2,∠BAC =60°,则球O 的表面积为( C )

A .4π C .16π

B .12π D .64π

解析:取SC 的中点E ,连接AE 、BE ,依题意,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3,∴AC 2=AB 2+BC 2,即AB ⊥BC . 又SA ⊥平面ABC ,∴SA ⊥BC ,又SA ∩AB =A ,∴BC ⊥平1

面SAB ,BC ⊥SB ,AE =2=BE ,∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心,即点E 与11

点O 重合,OA =2=2

二、填空题

SA 2+AC 2=2,球O 的表面积为4π×OA 2=16π,选C.

9.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

________m

3.

解析:由三视图知,该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成的组合体,故其体1

积V =3×2×1+3×π×12×3=6+π.

答案:6+π

10.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析:根据三视图,我们先画出其几何直观图,几何体为正方体切割17

而成,即正方体截去一个棱台.如图所示,故所求几何体的体积V =317答案:3

S 11.若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S ________.

2

2解析:设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4a =3a 2,其内切球半径1166πa2S 3a 2

为正四面体高的4即r =43=12,因此内切球表面积为S 2=4πr2=6则S π22

663

π6答案:π

三、解答题

12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8

、高

为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求

(1)该几何体的体积V ; (2)该几何体的侧面积S .

解:由三视图可知,该几何体底面是边长为8和6的矩形,高为4.

顶点在底面射影恰为底面矩形的中心.如图,E 、F 分别为CD 、BC 的中点,易求PE =42,PF =5.

11

∴(1)V =3S 矩形ABCD ·PO =3×6×8×4=64. 11

PF +2·PE ⎫ (2)S =2×⎛2·

⎝⎭

11

=2×⎛2×8×5+2×6×2⎫=40+242.

⎝⎭

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13.(1)在矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,沿AC 将矩

形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )

125π

A. 12 125πC. 6

125πB. 9 125πD. 3

(2)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点P 1,P 2分别是线段AB ,BD 1(不包括端点) 上的动点,且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1,则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是( A )

A. 1

24

B. 1 12

1C. 6 1D. 2(3)在底面半径为3,高为4+3的圆柱形有盖容器内,放入一个半径为3的大球后,再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球,则放入的小球的个数最多为( C )

A .4个 C .6个

B .5个 D .7个

解析:(1)依题意,外接球的球心在Rt △ACD 的斜边AC 的中点,∵AB =4,BC =3,15

由勾股定理求得外接球的半径R 2AC =2,∴四面体ABCD 的外接球的体积为:

4⎛53125πV =3

·π=26C.

⎝⎭

(2)可设AP 1=x ,则BP 1=1-x ,因线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1,故由相似比例可得111

P 2到面P 1AB 1的距离为1-x ,故所求四面体P 1P 2AB 1的体积V =32x ×1×(1-x ) =6(11⎛x +1-x ⎫211-x ) ≤6 =24,当且仅当x =2时取等号. ⎪

⎝2⎭

(3)由题可得图1,O 1O =3+r ,O 1A =4+-3-r =1+23-r ,OA =3-r ,△O 1OA 为直角三角形,所以由勾股定理得(3+r ) 2=(3-r ) 2+(1+23-r ) 2,解得r =1,放入的小球的半径为1. 由图2知OO 1=OO 2=3-1=2,O 1O 2=2,所以∠O 1OO 2=60°,所以放入小球的个数最多为6个,选

C.

答案:(1)C (2)A (3)C


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