河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(四十一)(教师版)
课时作业(四十一)
一、选择题
1.已知一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( A )
24
A. B. 33B. C .2 D .4
解析:该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,如图.SD ⊥底面ABCD ,SD =2,四边形ABCD 为正方形, 12
边长为1,所以棱锥的体积为V =31×2=3,选A.
2.有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为( C )
A .213 B .6+153 C .30+63 D .42
解析:如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形,前、后面为平行四边形表面积S =3×3×2+2×3×2+3×3×2=30+63,故选C.
3.已知正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( D )
A .4π 16π C. 3
解析:由三棱锥的主视图知,棱锥的侧棱为4
,由俯视图知底
B .12π 64πD. 3
面边长为3,如图,O ′为△ABC 中心,O 为外接球球心,O ′C ∴PO ′=23. OO ′=23-R ,∴3-R ) 2+4=R 2,解得R =
4, 3
3
=2,PC =4, 3
64
∴外接球表面积S =4πR2=3π,选D.
4.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V 1,直径为4的球的体积为V 2,则V 1∶V 2=( A )
A .1∶2 C .1∶1
B .2∶1 D .1∶4
解析:由三视图可知,几何体为圆柱中间挖去一个圆锥, 116故V 1=22π×2-22π×2×33π 432V 2=×23=π,
33故V 1∶V 2=1∶2,选A.
5.一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示,它的表面积为( A )
A .43 C .12 解析:
2. ∴S 表2×21
×8=
4
3.
22
B .8 D .42
6.从一个正方体中截去部分几何体,得到的几何体的三视图及尺寸(单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是( B )
2247
A. 3 cm 3 B. 6cm 3 23
C. 3 cm 3 D .8 cm3
解析:该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角,其体积V =1147
23-321×1×1=6(cm3) ,故选B.
7. 如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其
直角边长均为1,则该几何体的表面积为( D )
1
A .1+2 B .2+22 C. 3D .2
2
解析:依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥P -ABCD ,其中底面边长为1,PD =1,PD ⊥平面ABCD ,1112
S △P AD =S △PCD =21×1=2,S △P AB =S △PBC =2×1×2=2,S 正方形ABCD =12=1,因此该几何体的表面积为2+2,选D.
8.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SA ⊥平面ABC ,SA =23,AB =1,AC =2,∠BAC =60°,则球O 的表面积为( C )
A .4π C .16π
B .12π D .64π
解析:取SC 的中点E ,连接AE 、BE ,依题意,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3,∴AC 2=AB 2+BC 2,即AB ⊥BC . 又SA ⊥平面ABC ,∴SA ⊥BC ,又SA ∩AB =A ,∴BC ⊥平1
面SAB ,BC ⊥SB ,AE =2=BE ,∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心,即点E 与11
点O 重合,OA =2=2
二、填空题
SA 2+AC 2=2,球O 的表面积为4π×OA 2=16π,选C.
9.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为
________m
3.
解析:由三视图知,该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成的组合体,故其体1
积V =3×2×1+3×π×12×3=6+π.
答案:6+π
10.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.
解析:根据三视图,我们先画出其几何直观图,几何体为正方体切割17
而成,即正方体截去一个棱台.如图所示,故所求几何体的体积V =317答案:3
S 11.若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S ________.
2
2解析:设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4a =3a 2,其内切球半径1166πa2S 3a 2
为正四面体高的4即r =43=12,因此内切球表面积为S 2=4πr2=6则S π22
663
π6答案:π
三、解答题
12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8
、高
为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求
(1)该几何体的体积V ; (2)该几何体的侧面积S .
解:由三视图可知,该几何体底面是边长为8和6的矩形,高为4.
顶点在底面射影恰为底面矩形的中心.如图,E 、F 分别为CD 、BC 的中点,易求PE =42,PF =5.
11
∴(1)V =3S 矩形ABCD ·PO =3×6×8×4=64. 11
PF +2·PE ⎫ (2)S =2×⎛2·
⎝⎭
11
=2×⎛2×8×5+2×6×2⎫=40+242.
⎝⎭
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13.(1)在矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,沿AC 将矩
形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )
125π
A. 12 125πC. 6
125πB. 9 125πD. 3
(2)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点P 1,P 2分别是线段AB ,BD 1(不包括端点) 上的动点,且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1,则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是( A )
A. 1
24
B. 1 12
1C. 6 1D. 2(3)在底面半径为3,高为4+3的圆柱形有盖容器内,放入一个半径为3的大球后,再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球,则放入的小球的个数最多为( C )
A .4个 C .6个
B .5个 D .7个
解析:(1)依题意,外接球的球心在Rt △ACD 的斜边AC 的中点,∵AB =4,BC =3,15
由勾股定理求得外接球的半径R 2AC =2,∴四面体ABCD 的外接球的体积为:
4⎛53125πV =3
·π=26C.
⎝⎭
(2)可设AP 1=x ,则BP 1=1-x ,因线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1,故由相似比例可得111
P 2到面P 1AB 1的距离为1-x ,故所求四面体P 1P 2AB 1的体积V =32x ×1×(1-x ) =6(11⎛x +1-x ⎫211-x ) ≤6 =24,当且仅当x =2时取等号. ⎪
⎝2⎭
(3)由题可得图1,O 1O =3+r ,O 1A =4+-3-r =1+23-r ,OA =3-r ,△O 1OA 为直角三角形,所以由勾股定理得(3+r ) 2=(3-r ) 2+(1+23-r ) 2,解得r =1,放入的小球的半径为1. 由图2知OO 1=OO 2=3-1=2,O 1O 2=2,所以∠O 1OO 2=60°,所以放入小球的个数最多为6个,选
C.
答案:(1)C (2)A (3)C
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