空间曲线的主法向量方向的探讨

2005年9月　陕西师范大学继续教育学报(西安) 　Sep. 2005　　　　　　　　第22卷第3期Journal of Further Education of Shaanxi Normal University Vol. 22No. 3

空间曲线的主法向量方向的探讨

闫　焱

(西安文理学院数学系　讲师、　西安　　摘　要:β

(t ) 的方向的关系. 与r ″

关键词:空间曲线; 中图分类号1:1009-3826(2005) 03-0104-02-　　, C 1类曲线r =r (t ) , 在其上任一点有三个基本向量:切向量α, 主法向量β和副法向量γ, 它们是两两垂直的单位向量. 并且主法向量β的方向不但和α, γ两两垂直, 而且它还指向曲线凹入的一方. 这些都是明确的事实, 本文所要讨论的是β

(t ) 的方向问题. 问题的引入是基于以下和r ″两个原因.

首先, 在文[1]中有这样一道例题:

例　求螺旋线r ={cos t , sin t , t}在点(1, 0, 0) 的切平面、法平面、副法线, 密切平面及从切平面的方程以及基本向量α, β, γ.

解　由所给曲线　r ={co s t , sin t , t}计算出　r ′={-sin t , cos t , 1}r ″={-co s t , -sin t , 0}

由螺旋线方程可知点(1, 0, 0) 对应参数t =0, 所以

r (0) ={1, 0, 0}, (0) ={0, 1, 1}, r ′

(0) ={-1, 0, 0}, r ″

从切平面的方程为(X -1) ・1+(Y -0) ・0+(Z -0) ・0=0

即　X -1=0(以下略去)

我们的问题是:从切平面的法向量β未求出来的情况下, 作者是如何得知从切平面的法向量是{1, 1, 0}并得出上述方程的? 很104

明显, 从前面的解题过程来看, 唯一的解释可

(0) ={-1, 0, 0}作从切平面的法向能是用r ″

量, 这样从切平面的方程为(X -1) ・(-1) +(Y -0) ・0+(Z -0) =0, 化简以后就是上述的形式. 为什么做这样的猜想呢? 这是因为按常规思维是不可能用r (0) 作从切平面的法向量(这样是毫无几何解释的) , 也不可

(0) 作从切平面的法向量. 因为若用r ′能用r ′

(0) ={0, 1, 1}作从切平面的法向量, 得出的方程就是(X -1) ・0+(Y -0) ・1+(Z -0) ・1=0

即Y +Z =0, 显然与结果不符.

那么我们有理由进一步猜想这是不是就

(t ) 的方向一致? 意味着β和r ″

其次, 还有一个理由给上述猜想以支持

β, 它的方向应该和α×β相因为γ=α×

同, 同时γ作为密切平面的单位法向量,

γ=, 因此它的方向也应该和

(t ) ×r ″(t ) ||r ′(t ) ×r ″(t ) 的方向一致, 也就是说α×β与r ′

(t ) ×r ″(t ) 方向应该一致. 而我们知道α与r ′

(t ) 方向一致(α=) , 合理推论β与r ′

(t ) ||r ′

(t ) 方向也应该一致. r ″

那么事实是怎样的呢?

首先我们来看, 由定义知, β=,

(s ) ||r ″

(s ) 方向一致. 但是r ″(s ) 这说明β肯定与r ″

(t ) (=r ″

2) +r ′(t ) 2, 即r ″(s ) 是r ′(t ) 与ds ds

2

(t ) 的线性组合, 因而可以肯定的是因为r ″

(t ) 与r ″(t ) 都位于曲线的密切平面内, 因此r ′

(s ) 一定也在密切平面内, 但由向量求和的r ″

平行四边形法则知, 一般情况下, 并不能肯定

β与r ″(t ) 方向一致, 只能肯定β与r ′(t ) 与(t ) 都位于曲线的密切平面内. r ″

(s ) |=1, 即r ′(s ) 是具有固其次, 因为|r ′

定长的向量, (s ) ・r ′(s ) =0r ″(s ) 于零, 即r ″

(s ) 互相垂直r ′

(s ) 方向一r ″(s ) |(s ) 垂直. 致. 因此r ′

(t ) 方向一致, 那么如果我们假定β与r ″

(t ) 与r ′(s ) 垂由前面推理过程可以得知r ″

(t ) 与β方向一致, 而β与直, 这是因为若r ″

(s ) 垂直, 所以r ″(t ) 与r ′(s ) 应当垂直. 可是r ′

(s ) =r ′(t ) 我们知道r ′

(s ) 与r ′(t ) 是, 即r ′

ds

综合以上推理过程. 我们可以得出以下的结论:

命题:对一条C ′类空间曲线r =r (t ) 而

(t ) |为常数时, 主法向量β与言, 当且仅当|r ′

(t ) 是共线向量. r ″

例1　设r =r (t ) ={cos 3, co s2t}, (t ) . 讨论r ″

(={-t , t , 4}・:t ) s t (3sin 2t -1) , 3sin t (3cos 2t r ) , -4cos2t}

α=(t ) ||r ′={-cos t , sin t , -}|sin t co s t |555γ=={cos t , -sin t , -}

|r ′×r ″|555β=γ×α={sin t , cos t , 0}

|sin t , cos t |以0

2

(t ) |=cos t , 0}可以看出|r ′

(t ) 与r ′(t ) 是垂直的, 故共线的, 由此推得r ″

(t ) ・r ″(t ) =0, 这也就是说r ′(t ) 和它的导r ′

(t ) 的内积为零, 那么可以推得|r ′(t ) |向量r ″

必须具有固定的长度, 这显然不具有一般性.

综合上面的两点推理可知, 一般情况下, β与r ″(t ) 方向并不一致.

那么如何解释文[1]中的例题的解法呢?

(t ) |其实在这个例题中, 很凑巧的是|r ′

(t ) 具有固定的=co s 2t +sin 2t +12=2, 即r ′

(t ) ・r ″(t ) =0. 前面我们推得长度, 因此r ′

(s ) 与r ′(t ) 是共线的, 这样r ′(s ) ・r ″(t ) =r ′

(t ) 与r ′(s ) 垂直, 由(1) 知β与r ′(s ) 也0, 即r ″

(s ) r ″(t ) 是共面向量(都在曲线垂直, 且β、r ′

(t ) 是共线向量, 事的密切平面内) , 故β和r ″

(0) 实的确如此. 在该题中β={-1, 0, 0}, r ″

(0) . 因此在该题的解题={-1, 0, 0}, β∥r ″

(t ) 代替β作为从切平面的法向过程中用r ″

量计算出的平面方程是正确的, 但这显然不具有一般性.

t cos t , 非固

(t ) 不平行. 也即:定长, 因而主法向量β和γ″

它们的对应分量不成比例, 这一点很明显.

例2　设r =r (t ) ={a cos t , a sin t , bt}, 那(t ) ={-a sin t , a co s t , b}, |r ′(t ) |=么, r ′

+b , 是一个常数. 由上述命题知, β应与(t ) 平行, 事实怎样呢? r ″

2

2

其实容易验证:

(t ) ={-a cos t , -a sin t , 0}r ″

β={-cos t , -sin t , 0}

由于==, 即它们的对

-co s t -sin t 0

(t ) 是平行的. 应分量成比例. 因而β与r ″

〔参考文献〕

[1]梅向明, 黄敬之. 微分几何[M ].北京:高等教育

出版社,2003.

[2]吴大任. 微分几何讲义[M ].北京:人民教育出版社,1982.

　　〔责任编辑　张淑霞〕

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