[圆锥曲线]测试题
《圆锥曲线》测试题
(考试时间:90分钟 满分分值:120分) 班级_______________ 姓名_______________ 学号_____
一、选择题(5分×10=50分)
1、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F3,0,离心率等于
3
,则双曲线C的方程是 2
·····································································································( )
x2y2x2y2x22x22
1 (C)1 (D
)(A
)1 (B)1
452542x2y22、已知双曲线C:221(a0,b
0C的渐近线方
ab程为·······························································································( ) (A)y
111
x (B)yx (C)yx (D)yx 432
2
y2
3、抛物线y24x的焦点到双曲线x··················( ) 1的渐近线的距离是 ·
3
(A)
1 (B
) (C)1 (D
22
x2y2y2x2
21与C2:221的 4、已知0,则双曲线C1:22
4cossinsinsintan
·····································································································( ) (A)实轴长相等 (B)虚轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等 5、已知抛物线C:y8x与点M2,2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两
2
MB0,则k ·点,若MA·····························································( )
1(A) (B
(C
(D)2
2x2
y21与双曲线C2的公共 6、如图,F1,F2是椭圆C1:4
焦点,A,B分别是C1,C
2边形AF·················································( ) 1BF2为矩形,则C2的离心率是 (A (B (C)
1
3 (D2
x2y2
7、已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别
ab
交于A,B两点。若双曲线的离心率为2,△AOB
p ·····( ) (A)1 (B)
3
(C)2 (D)3 2
8
、过点引直线l
与曲线yA,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 ·····················································( ) (A
(B
(C
) (D
)x2y2
1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上,且直线PA2的斜率的取值9、椭圆C:
43
范围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是 ···································( ) (A) (B) (C),1 (D),1 24842410、已知圆C1:(x2)2(y3)21,圆C2:(x3)2(y4)29,M,N分别是圆C1,C2
上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN的最小值为 ························( ) (A
)4 (B
1 (C
)6 (D
1333
1
3
二、填空题(5分×4=20分)
x2y2
1的两条渐近线的方程为_________________。 11、双曲线
169
x2y2
1相交于A,B两点,若12、抛物线x2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线33
2
ABF为等边三角形,则p__________。
x2y2
13、F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若PF1PF2
ab
6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为_____________。
x2y2
14、椭圆:221(ab0)的左.右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直
线
ab
yxc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等
于__________。
2
三、解答题(共4大题,计50分)
15、(12分)讨论直线l:ykx1与双曲线c:x2y21的公共点的个数。
16、(12分)如图,直线y
11
x5抛物线yx24交于AB两点,线段ABx的垂直平分28
线与直线y5交于点Q,则 (1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值。
x
3
17、(12分)已知椭圆C的两个焦点分别为F, 0)、F2(1, 0),短轴的两个端点分别为1(1
B1、 B2,则
C的方程; (1)若F1B1B2为等边三角形,求椭圆
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1PFQ1,
求直线l的方程。
4
31x2y2
18、(14分)如图,椭圆C2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程
22ab
为x=4,则
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记
PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3。问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在求
的值;若不存在,说明理由。
5
【参考答案】 一、选择题 1、【答案】B 2、【答案】C 3、【答案】B 4、【答案】D 5、【答案】D 6、【答案】D 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】B 10、【答案】A
二、填空题 11、【答案】y3
4
x 12、【答案】6 13、
14、
1
三、解答题(共4大题,计50分) 15、提示:△ 16、
【答案】[解](1)设椭圆C的方程为x2y2
17、a2b
21(ab0). 根据题意知
a2b
a2b2
1
, 解得a2
43,b213
故椭圆C的方程为x2y2
1. 33
(2)容易求得椭圆C的方程为x2
2
y21.
6
当直线l的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1).
yk(x1)2222由x2 得(2k1)x4kx2(k1)0. 2
y12
设P(x1, y1), Q(x2, y2),则
4k22(k21)x1x22, x1x2, F1P(x11, y1), FQ(x21, y2) 12
2k12k1因为F0,即 1PFQ1,所以F1PFQ1
(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21
7k2120, 2k1
解得k
2
1,
即k. 77
故直线l
的方程为x1
0或x10.
18、【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,依题设知a2c,则b3c ② ②代入①解得c21,a24,b23.
2
2
3
2191 ① 22a4b
x2y2
1. 故椭圆C的方程为43
(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为yk(x1) ③
代入椭圆方程3x4y12并整理,得(4k3)x8kx4(k3)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
2
2
2
2
2
2
8k24(k23)
x1x22,x1x2 ④
4k34k23
在方程③中令x4得,M的坐标为(4,3k).
7
y31
从而k1y3k
3
x,k223,k3k1. 11x21412
注意到A,F,B共线,则有kky12AFkBF,即有
x1y
xk. 121
y33
1
所以ky2y11k2
xy23(11) 11x21x11x212x11x22
2k3
x1x222
x(x ⑤ 1x21x2)1
8k2
2④代入⑤得k31k22k224(k23)8k22k1, 4k234k2
3
1又k1
3k
2
,所以k1k22k3.故存在常数2符合题意. 方法二:设B(x0,y0)(x01),则直线FB的方程为:yy0
x(x1), 01
令x4,求得M(4,
3y0
x1
), 0从而直线PM的斜率为k2y0x01
3
2(x,
01)
yy0联立x0
1(x1) ,得A(5x08,3y0),
x2y24
2x052x0531则直线PA的斜率为:k2y02x0512(x,直线PB的斜率为:k2y03
2, 01)2(x01)
所以k2y02x052y032y0x01k2
2(xx12k3,
01)2(01)x01
故存在常数2符合题意
8
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