基本不等式各种题型归纳 附加练习题与答案
基本不等式
方法:
1. 凑系数
当0
2. 凑项。 当x
3. 拆项。 x (6-3x ) 的最大值。511, 求f (x ) =4x -2++x , (x >3) 的最小值。 的最大值 [练一练]求y =44x -5x -3
x 2+7x +10x 2+8, (x ≠-1) 的值域。 [练一练]求函数y =, (x >1) 的最小值。 求y =x +1x -1
4. 整体代换(遇到1了)
a>0, b>0, a +2b =1, 求t =1111+的最小值。 [练一练]x >0, y >0, 且+=9, 求x +y 最小值。 a b x y
5. 换元法 x 2+8x +2, (x >1) 的最小值。 求函数y =的最大值 [练一练]求函数y =x -12x +5
6. 试着取平方看看: 求函数y =
【练习】
1.若a 、b ∈R ,ab -(a +b ) =1,则152x -1+5-2x , (
2.函数y =49+的最小值是( ) 22cos x sin x
A.24 B.13 C.25 D.26
3. 下列函数中,最小值为4的是 ( )
A .y =x +
C .44 B .y =sin x + (0
14.已知f (x ) =x +-2(x <0) ,则f (x ) 有( ) x
A .最大值为0 B .最小值为0 C .最大值为-4 D .最小值为-4
5.下列不等式一定成立的是( )
11x 2+⎫>lg x (x >0) B .sin x +A .lg ⎛2(x ≠k π,k ∈Z ) 4⎭⎝sin x
1C .x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D. >1(x ∈R ) x +1
→→→6.设OA =(1,-2) , OB =(a ,-1) ,OC =(-b, 0) ,a >0,b >0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,12则的最小值是( ) a b
A .4 B .6 C .8 D .10
x 7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为天,8
且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A .60件 B .80件 C .100件 D .120件
8.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b ) ,其全程的平均时速为v ,则( )
a +b a +b A .a <v <ab B .v ab C. ab <v < D .v =22
9.已知x ,y 为正实数,且满足4x +3y =12,则xy 的最大值为________.
1110.已知a >0,b >0,且ln(a +b ) =0,则的最小值是________. a b
11.已知a ,b ∈R ,且ab =50,则|a +2b |的最小值是________.
x 2-x -512.当x -2x <8时,函数y =的最小值是________. x +22
13. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立,则a 的取值范围是14. x,y,z ∈R +,x-2y+3z=0,y 2的最小值为 . xz
21+的最小值是 . a b 15. 若直线2ax +by-2=0 (a,b ∈R +)平分圆x 2+y2-2x-4y-6=0,则
16. 函数y=log2x+logx (2x)的值域是 .
17. 若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a >1), 则(a+1)(b+2) 的最小值为 .
18. 已知x 、y ∈R ,则使+x +y ≤t x +y 恒成立的实数t 的取值范围是____________.
19. 已知关于x 的方程9x +(4+a ) ⋅3x +4=0有实数根,则实数a 的取值范围是____________.
b 2
20. 已知a >0, b >0且a +=
1,求________. 32
a +1c +121.已知二次函数f (x ) =ax 2+2x +c (x ∈R ) 的值域为[0,+∞) ,则__________. c a
22. 已知正数a , b 满足a +b =1(1)求ab 的取值范围; (2)求ab +
1的最小值. ab
23.某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略
1改革,并提高定价到x 元.公司拟投入x 2-600) 万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投6
1入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的5
销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
基本不等式训练题答案:
1. A 2. C 3. C 4.C 5.C 6.C
800x 800x 7.B 若每批生产x x 8x 8
≥2800x =20,当且仅当x =80. x 8x 8
8.A 设甲乙两地相距为s ,则v 2112=由于a <b ,+,∴v >a ,s s 11a b a a b a b 2s 11a b 1ab ∴v <ab . 故a <v <ab ,故选A. 9.3. 10. 4.
11.解析: 依题意得,a ,b 同号,于是有|a +2b |=|a |+|2b |≥2|a |×|2b |=22|ab |=2100=20(当且仅当|a |=|2b |时取等号) ,因此|a +2b |的最小值是20.
12.解析: 由x 2-2x <8得x 2-2x -8<0,即(x -4)(x +2) <0,得-2<x <4,∴x +2>0,
x 2-x -5(x +2)2-5(x +2)+11而y ==(x +2) +5≥2-5=-3. 等号当且仅当x =-1时取得. x +2x +2x +2
13. a ≥-5 14. 3 15. 3+22 16. (-∞,-1]∪[3,+∞) 17. 27
18. t ≥
19. (-∞,-8]
21.解析: ∵f (x ) =ax 2+2x +c (x ∈R ) 的值域为[0,+∞) , 11a +1c +1a +1a 111a 2+⎫+⎛a +≥4(当且仅当a =1∴a >0且Δ=4-4ac =0,∴c =,∴=⎛a ⎭⎝a ⎝a c a 1a
a a +1c +117⎛1⎤时取等号) ,∴+4. 22. (1) 0, ⎥ (2) c a 4⎝4⎦
t -2523.解析: (1)设每件定价为t 元,依题意,有⎛8-×0.2⎫t ≥25×8, 1⎝⎭整理得t 2-65t +1 000≤0,解得25≤t ≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
11(2)依题意,x >25时,不等式ax ≥25×8+50+(x 2-600) +有解,等价于x >25时, 65
150111501a x 有解,∵≥x 65x 6=10(当且仅当x =30时,等号成立) ,∴a ≥10.2 x 6
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
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