小学数学教案范文

第 周 第 课 第 节 题课 题 2.4 空间直角坐标系

总课时

第 1 课时

知识与技能

掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一 些简单几何体的有关坐标，掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式 解决有关问题。

教教 学 目 标 通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初 步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方 法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

过程与方法

情感态度 价值观

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一问数学学科，在教学 过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教 育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神。

教学重点

（1） 空间直角坐标系的有关概念 （2） 一些简单几何题顶点坐标的写法；

教学难点

（1） 简单几何题的顶点坐标的写法 （2） 空间两点的距离公式的推导

教学方法

启发式教学

教学手段

多媒体教学

板书设计 数轴上的点集

AB

实数集

一、空间直角坐标系

z

（向量）

 d ( A , B )  x 2  x1

AB

o

y

xOy ( x , y ,0 )

x

AB  x 2  x 1

二、空间点的坐标

xOz

yOz

( x ,0 , z )

(0, y , z ) ( x ,0 ,0 )

中点 E (

x1  x 2 2

)

三、卦限：

x

轴 轴

y 轴

z

( 0 , y ,0 )

( 0 ,0 , z )

平面上的点集

有序实数对 四、空间中两点的距离公式： P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )

d ( P1 , P2 ) 

( x1  x 2 )  ( y1  y 2 )

2

2

d ( P1 , P2 ) 

( x1  x 2 )

2

 ( y1  y 2 )

2

 ( z1  z 2 )

2

中点： (

x1  x 2 2

,

y1  y 2 2

)

中点公式： (

x1  x 2 2

,

y1  y 2 2

,

z1  z 2 2

)

作 业

课 后 记

教 复习回顾： 数轴： 数轴上的点集 实数集

学

过

程

若数轴有两点： A ( x 1 ), B ( x 2 )

则： AB

（向量）

 d ( A , B )  x 2  x1

AB

AB  x 2  x 1

中点 E (

x1  x 2 2

)

平面： 平面上的点集 有序实数对

若点 P 与实数对 ( x , y ) 对应，则 ( x , y ) 叫做 P 点的坐标。 其中， x , y 是如何确定的？ 平面内两点的距离公式： P1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 )

d ( P1 , P2 ) 

( x1  x 2 )

2

 ( y1  y 2 )

2

中点公式：

P1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) 则 P1 , P 2 中点 M 的坐标为

(

x1  x 2 2

,

y1  y 2 2

)

新课讲授： 这节课我们研究空间直角坐标系。 一、空间直角坐标系 大家先来思考这样一个问题，天上的飞机，飞机的速度非常的快，即使民航飞机速度也非 常快，有很多飞机时速都在 1000km 以上，而全世界又这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速 度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极

低的，比火车，汽车要低 得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航 线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度。 确定空间点的位置需要几个量？三个。 为了确定空间点的位置，我们在直角坐标系 xOy 中，通过原点 O ，再作一条数轴 z ，使它 与 x 轴， y 轴都垂直，这样它们中的任意两条互相垂直；轴的方向通常这样选择，从 z 轴的正 方向看， x 轴的正半轴沿逆时针方向转能与 y 轴的正半轴重合，这时，我们说在空间建立了一 个空间直角坐标系 Oxyz ， O 叫做坐标原点。

每两条坐标轴分别确定的平面 yOz ， xOz ， xOy ，叫做坐标平面。 二、空间点的坐标 1、建立了空间直角坐标系后，空间内的任意一个点 P 也存在着一一对应关系，它和谁对应 呢？ 平面内的点和两个实数构成的有序数对对应 空间内的点和三个实数构成的有序数组对应 若 P 与 ( x , y , z ) 对应，则 ( x , y , z ) 叫做 P 点的坐标。 那 x , y , z 是如何确定的呢？ 过 P 作一个平面平行于平面 yOz ， （这样构成的平面同样垂直于 x 轴） ，这个平面与 x 轴交 点记为 P x ， x 指的是 x 轴上的坐标，这个数 x 就叫做点 P 的 x 坐标。 过 P 作一个平面平行于平面 xOz ， （这样构成的平面同样垂直于 y 轴） ，这个平面与 y 轴交

点记为 P y ， y 指的是 y 轴上的坐标，这个数 y 就叫做点 P 的 y 坐标。

过 P 作一个平面平行于平面 xOy ， （这样构成的平面同样垂直于 z 轴） ，这个平面与 z 轴交 点记为 P Z ， z 指的是 z 轴上的坐标，这个数 z 就叫做点 P 的 z 坐标。 这样我们对空间的一点，定义了由三个实数的有序数组作为它的坐标。 那反过来，任意的三个实数的有序数组 ( x , y , z ) ，是否能够确定空间的一个点 P，与之对 应呢？ 与刚刚的作图顺序恰好相反，在坐标轴上分别作出点 P x ， P y ， P Z ，使它们在 x 轴， y 轴， z 轴上的坐标分别是 x , y , z 。再分别通过这些点这些平面平行于平面 yOz ， xOz ， xOy ， 这三个平面的交点，就是所求的点 P. 这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组（点的坐标）之间，我们就建立起一一对应 关系： P

( x, y, z)

接下来，研究一下特殊点的坐标。

xOy 平面（通过 x 轴和 y 轴的平面）是坐标形如 ( x , y , 0 ) 的点构成的点集，其中 x ， y 为

任意的实数。

xOz 平面（通过 x 轴和 z 轴的平面）是坐标形如 ( x , 0 , z ) 的点构成的点集，其中 x ， z 为

任意的实数。

yOz 平面（通过 y 轴和 z 轴的平面）是坐标形如 ( 0 , y , z ) 的点构成的点集，其中 y ， z 为

任意的实数。

x

轴是坐标形如 ( x , 0 , 0 ) 的点构成的点

集，其中 x 为任意的实数。

y 轴是坐标形如 ( 0 , y , 0 ) 的点构成的点集，其中 y 为任意的实数。

z

轴是坐标形如 ( 0 , 0 , z ) 的点构成的点集，其中 z 为任意的实数。

三、卦限： 三个坐标平面把整个空间分成几部分呢？（8 部分）每一部分称为一个卦限。 ① 在坐标平面 xOy 上方，分别对应坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 卦限，在下方的卦限称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。 分析：第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限分别对应坐标平面 xOy 上方，且对应平面 xOy 的第一、 二、三、四象限，第Ⅴ卦限在第Ⅰ卦限的下方，依此类推。 ② 点坐标各分量的符号 第Ⅰ卦限： （+，+，+）等等。 ③ 注意：平面直角坐标系中，坐标轴上的点不在任何一个象限内，和它一样，空间直角 坐标系中，坐标轴上的点和坐标平面上的点不属于任何卦限。 ④ 判断一个点位于第几卦限，可先判定 ( x , y ) 落在平面 xOy 的第几象限，再判断 Z 的符 号，就可以判断点落的卦限。

Ⅲ

yoz

z

zox

面 Ⅱ

面 Ⅰ Ⅵ Ⅴ

Ⅳ

xoy

面

x

o

y

Ⅶ Ⅷ

四、空间中两点的距离公式： P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )

d ( P1 , P2 ) 

( x1  x 2 )

2

 ( y1  y 2 )

2

 ( z1  z 2 )

2

特别的，当 P ( x , y , z ), O ( 0 , 0 , 0 )

d ( P1 , O ) 

x

2

 y

2

 z

2

中点公式：

P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 P1 , P 2 中点 M 的坐标为

(

x1  x 2 2

,

y1  y 2 2

,

z1  z 2 2

)