直线与圆的位置关系知识点

直线与圆的位置关系知识点

一、直线与圆的位置关系

※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时, 叫做直线和圆相交, 这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时, 叫做直线和圆相切, 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点.

(3)相离: 直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离. ※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:

设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；

①d 直线L 和⊙O 相交. ②d=r 直线L 和⊙O 相切. ③d>r 直线L 和⊙O 相离. ※3. 切线的总判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※4. 切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径.

※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证垂线段的长度等于圆的半径。

※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※6. 三角形内心的性质:

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点, 该线平分三角形的这个内角. [补充]（只做了解） 1. 圆的外切四边形两组对边和相等

2. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

3. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

4. 相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

5. 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

例中项 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 与圆有关的辅助线

1. 如圆中有弦的条件, 常作弦心距, 或过弦的一端作半径为辅助线. 2. 如圆中有直径的条件, 可作出直径上的圆周角.

3. 如一个圆有切线的条件, 常作过切点的半径(或直径) 为辅助线. 4. 若条件交代了某点是切点时, 连结圆心和切点是最常用的辅助线.

1

二、练习题 一、选择题 1、（2013济宁）、如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 A ．4 B ．3

C ．6 D ．23

2、(2014年山东东营) 如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论： ①AE=DF；②FH ∥AB ；③△DGH ∽△BGE ；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF． 其中正确结论的个数是（ D ）

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 3、(2014年山东东营) 如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ）

A 。

B ．

C ．

D ．

4、（2014年山东泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC．下列结论： （1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．

其中正确的个数为（ ）

A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个

A

5、（2014济南）如图，⊙O 的半径为1， ABC 是⊙

O 的内接等边三角形， 点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是

．O

第5题图

2

D

3 A ．2 B ．3 C ． D ．

22

6、如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD =13 cm，cos B 则AC

的长等于（ ）

A ．5 cm B ．6 cm C ．10 cm D ．12 cm

5，13

D （第6题）

7、如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =8，O 为BC 的中点，以O 为圆心作半圆，使它与AB ，AC 都相切，切点分别为D ，E ，则⊙O 的半径为（ ）

A ．8 B ．6 C ．5 D ．4

8、（2012佛山）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O

2

于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD =DE•CD ；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S 梯形ABCD =CD •OA ；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）

函数y=x的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为

，则a 的值是（ ） 若⊙O 的半径为r ，PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ） A ．

5

12

B ．

12 5

C ．

3

5

D

．

2

3

二、填空题 1、（2014年湖南湘潭）如图，⊙O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，PO=5

，

PA

切⊙

O 于A 点，则PA= 2、（2014年山东泰安）如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA=5，弦AC=8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于D ，连接BE ．设∠BEC=α，则sin α的值为 ．

3

A

第3题图

B

3、（2014济南）如图，AB 与⊙O 相切于C ，∠A =∠B ，⊙O 的半径为6，AB ＝16，则OA 的长= 4、（2014•成都）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连接AD ．若∠A=25°，则∠C= 度．

5、如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是

7、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）

8、（2012济南）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH

的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 9、（2011山东济南，21，3分）如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△AB C 的边上从点A 出发沿着A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O

动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第 秒．

10、（2014陕西）已知一个直角三角形的面积是12，周长为12√2，则直角三角形的外接圆的半径是 ． 三解答题

1、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD ，垂足为E ，DA 平分∠BDE ．

（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若∠DBC =30，DE =1cm ，求BD 的长．

4

2、（2013荆门）如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ．

（1）求证：OF ∥BE ；

（2）设BP=x，AF=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．

3、（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）证明：DE 为⊙O 的切线；

（2）连接OE ，若BC =4，求△OEC 的面积．

5

4、(2014年山东东营) 如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D ，F 是BA 延长线上一点，若∠CDB=∠BFD ． （1）求证：FD 是⊙O 的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF 的长．

5、（2013•十堰）如图1，△ABC 中，CA=CB，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ． （1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ； （2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC=5，AB=6，连接EH ，求△BHE 的面积和tan ∠BHE 的值．

6、（2014菏泽）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在0O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．

（1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若

CE 2

，求cos ∠ABC 的值 DE 3

6题图

7、（2014潍坊）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90，以AB 为直

6

径作⊙O，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ． (1)求证：OD∥BE；

(2)若梯形ABCD 的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14， 求CD 的长．

8、（2014•德州）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为5cm ，D 、E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC =PE ． （1）求AC 、AD 的长；

（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

9、（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O的切线．

（2）过点E 作EH⊥AB于点H ，求证：CD=HF．

10、（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x 轴相交于点A （-3，0），B （-1，0）

，与

7

y 轴相交于点C ，⊙O1为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点D ． （1）求抛物线的解析式；

（2）求cos ∠CAB 的值和⊙O1的半径；

11、（2010济南）如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0) ．

⑴求线段AD 所在直线的函数表达式． ⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点

P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？

第12题图

8

12、（2014济宁）已知，如图（1），在面积为S 的△ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O 的半径为r ．连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形． ∵S=S△OBC +S△OAC +S△OAB =B C •r+AC •r+AB •r=（a+b+c）r ． ∴r=

．

（1）类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD =d，求四边形的内切圆半径r ； （2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求

的值．

9