20**年广东高考理科数学及答案Word版

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共5页，24题(含选考题) 。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A ={x x -4x +30}，则A B =

（A ）(-3, -)

2

32

（B ）(-3, )

32

（C ）(1, )

32

（D ）(, 3)

32

（2）设(1+i ) x =1+yi ，其中x , y 是实数，则x +yi =

（A ）1

（B ）2

（C ）

（D ）2

（3）已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A ）

1 3

（B ）

1 2

（C ）

2 3

（D ）

3 4

x 2y 2

-=1表示双曲线，（5）已知方程2且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 2

m +n 3m -n

取值范围是 （A ）(-1, 3)

（B ）(-1, 3)

（C ）(0, 3)

（D ）(0, 3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中

两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2-e 在[-2, 2]的图像大致为

（A

（C

x

28π

，则它的 3

（B

（

（8）若a >b >1，0

（A ）a

c

c

（B ）ab

c c

（9）执行右面的程序框图，如果输入的x =0，y =1，n =1，则输出x , y 的值满足

（A ）y =2x

（B ）y =3x （C ）y =4x

（D ）y =5x

（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A , B 两点，交C 的准线于D , E 两点，已知

AB =42, DE =2，则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）8

（11）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α 平面ABCD

=m ，α 平面ABB 1A 1=n ，则m , n 所成角的正弦值为

（A ）

2 （B ） （C ） 232

（D ）

1

3

（12）已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0, ϕ≤

π

2

) ，x =-

π

4

为f (x ) 的零点，x =

π

4

为

y =f (x ) 图像的对称轴，且f (x ) 在(

（A ）11

（B ）9

π5π

1836,

) 单调，则ω的最大值为

（D ）5

（C ）7

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）设向量a =(m , 1) ，b =(1, 2) ，且|a +b |=|a |2+|b |2，则m =． （14）(2x +

（用数字填写答案） x ) 5的展开式中，x 3的系数是2

（15）设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 a n 的最大值为 ． （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知2cos C (a cos B +b cos A ) =c ．

（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c =

，∆ABC 的面积为

3，求∆ABC 的周长． 2

（18）（本小题满分12分）

如图，在以A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中，面

D

C

ABEF 为正方形，AF =2FD , ∠AFD =90︒，且二面

角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60︒． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E -BC -A 的余弦值.

B

A

（19）（本小题满分12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；

（Ⅱ）若要求P (X ≤n ) ≥0. 5，确定n 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？

（20）（本小题满分12分）

设圆x +y +2x -15=0的圆心为A ，直线l 过点B (1, 0) 且与x 轴不重合，l 交圆A

2

2

于C , D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．

（Ⅰ）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与

圆A 交于P , Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f (x ) =(x -2) e +a (x -1) 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）设x 1, x 2是f (x ) 的两个零点，证明：x 1+x 2

x

2

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，∆OAB 是等腰三角形，∠AOB =120︒．以O

1

OA 为半径作圆． 2

（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；

（Ⅱ）点C , D 在⊙O 上，且A , B ,

C , D 四点共圆，

证明：AB //CD ．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨

⎧x =a cos t ,

(t 为参数，a >0) ．在

⎩y =1+a sin t ,

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=4cos θ．

（Ⅰ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公

共点都在C 3上，求a ．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f (x ) =x +-2x -3．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出y =f (x ) 的图像；

（Ⅱ）求不等式f (x ) >1的解集．

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)-2 (14)10

（15）64 （16）216000

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为12分）

解：（I ）由已知及正弦定理得，2cos C (sin Acos B+sin Bcos A)=sin C ， 即2cos Csin (A+B)=sin C ． 故2sin Ccos C =sin C ． 可得cos C =

1π

，所以C =． 231ab sin C =． 2（II

）由已知，又C =

π

3

，所以ab =6．

2

2

由已知及余弦定理得，a +b -2ab cos C =7． 故a +b =13，从而(a +b )=25．

2

2

2

所以∆AB

C 的周长为5． （18）（本小题满分为12分）

解：（I ）由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥F E，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．

（II ）过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面ABEF ．

以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角

坐标系G -xyz ．

由（I ）知∠DF E为二面角D -AF -E的平面角，故∠DF E=60，则DF =2，DG =3，

可得A(1, 4,0)，B(-3, 4,0)，E(-

3,0,0)，D ． 由已知，AB//EF ，所以AB//平面EFDC ．

又平面ABCD 平面EFDC =DC ，故AB//CD，CD//EF ．

由BE//AF ，可得BE⊥平面EFDC ，所以∠C EF 为二面角C -BE-F 的平面角，

(∠C EF =60

．从而可得C -．

(

所以EC =，EB=(0, 4,0)，AC =-3, -，AB=(-4,0,0)．

((设n =(x , y , z )是平面BC E的法向量，则

⎧⎧x =0⎪n ⋅EC =0⎪

，即，

⎨

⎨

⎪⎪⎩4y =0⎩n ⋅EB=0

所以可取n =3,0, ．

(

⎧ ⎪m ⋅AC =0

设m 是平面ABCD 的法向量，则⎨ ，

⎪⎩m ⋅AB=0

n ⋅m

同理可取m =4．则cos n , m ==

n m ()

故二面角E-BC -A

的余弦值为．学科&网

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P (X =16) =0. 2⨯0. 2=0. 04；

P (X =17) =2⨯0. 2⨯0. 4=0. 16；

P (X =18) =2⨯0. 2⨯0. 2+0. 4⨯0. 4=0. 24； P (X =19) =2⨯0. 2⨯0. 2+2⨯0. 4⨯0. 2=0. 24； P (X =20) =2⨯0. 2⨯0. 4+0. 2⨯0. 2=0. 2； P (X =21) =2⨯0. 2⨯0. 2=0. 08； P (X =22) =0. 2⨯0. 2=0. 04.

所以X 的分布列为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知P (X ≤18) =0. 44，P (X ≤19) =0. 68，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.

当n =19时，EY =19⨯200⨯0. 68+(19⨯200+500) ⨯0. 2+(19⨯200+2⨯500) ⨯0. 08

+(19⨯200+3⨯500) ⨯0. 04=4040. 学科&网

当n =20时，

EY =20⨯200⨯0. 88+(20⨯200+500) ⨯0. 08+(20⨯200+2⨯500) ⨯0. 04=4080.

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20时所需费用的期望值，故应选n =19. 20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为|AD |=|AC |，EB //AC ，故∠EBD =∠ACD =∠ADC ， 所以|EB |=|ED |，故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |=|AD |.

又圆A 的标准方程为(x +1) +y =16，从而|AD |=4，所以|EA |+|EB |=4. 由题设得A (-1, 0) ，B (1, 0) ，|AB |=2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：

2

2

x 2y 2

+=1（y ≠0）. 43

（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0) ，M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2) .

⎧y =k (x -1) ⎪2222由⎨x 2y 2得(4k +3) x -8k x +4k -12=0.

=1⎪+3⎩4

8k 24k 2-12

则x 1+x 2=，x 1x 2=. 22

4k +34k +312(k 2+1)

所以|MN |=+k |x 1-x 2|=.

4k 2+3

2

过点B (1, 0) 且与l 垂直的直线m ：y =-

12

，所以 (x -1) ，A 到m 的距离为2k k +1

4k 2+3

|PQ |=24-() =4. 故四边形MPNQ 的面积 22k +1k +1

2

2

2

S =

11

|MN ||PQ |=12+2. 学科&网 24k +3

可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12, 83) .

当l 与x 轴垂直时，其方程为x =1，|MN |=3，|PQ |=8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12, 8) . （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f '(x ) =(x -1) e x +2a (x -1) =(x -1)(e x +2a ) ． （i ）设a =0，则f (x ) =(x -2) e x ，f (x ) 只有一个零点．

（ii ）设a >0，则当x ∈(-∞,1) 时，f '(x ) 0．所以f (x ) 在(-∞,1) 上单调递减，在(1,+∞) 上单调递增． 又f (1)=-e ，f (2)=a ，取b 满足b

a

，则 2

f (b ) >

a 3

(b -2) +a (b -1) 2=a (b 2-b ) >0， 22

故f (x ) 存在两个零点．

（iii ）设a

e

，则ln(-2a ) ≤1，故当x ∈(1,+∞) 时，f '(x ) >0，因此f (x ) 在(1,+∞) 上单调2

递增．又当x ≤1时，f (x )

e

，则ln(-2a ) >1，故当x ∈(1,ln(-2a )) 时，f '(x )

f '(x ) >0．因此f (x ) 在(1,ln(-2a )) 单调递减，在(ln(-2a ), +∞) 单调递增．又当x ≤1时，f (x )

综上，a 的取值范围为(0,+∞) ．

（Ⅱ）不妨设x 1f (2-x 2) ，即f (2-x 2)

2-x 2

+a (x 2-1) 2，而f (x 2) =(x 2-2) e x 2+a (x 2-1) 2=0，所以

f (2-x 2) =-x 2e 2-x 2-(x 2-2) e x 2．

设g (x ) =-xe 2-x -(x -2) e x ，则g '(x ) =(x -1)(e 2-x -e x ) ． 所以当x >1时，g '(x ) 1时，g (x )

请考生在22、23、24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ，

因为OA =OB , ∠AOB =120︒，所以OE ⊥AB ，∠AOE =60︒．

在Rt ∆AOE 中，OE =与⊙O 相切．

1

即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线AB AO ，

2

D

O' E

A

B

（Ⅱ）因为OA =2OD ，所以O 不是A , B , C , D 四点所在圆的圆心，设O ' 是A , B , C , D 四点所在圆的圆心，作直线OO ' ．

由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ' 在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ' ⊥AB ．

同理可证，OO ' ⊥CD ．所以AB //CD ．

（23）（本小题满分10分）

⎧x =a cos t 解：⑴ ⎨ （t 均为参数） y =1+a sin t ⎩

∴x 2+(y -1)=a 2 ①

1)为圆心，a 为半径的圆．方程为x 2+y 2-2y +1-a 2=0 ∴C 1为以(0，2

∵x 2+y 2=ρ2，y =ρsin θ

∴ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0

⑵ C 2：ρ=4cos θ学科&网

两边同乘ρ得ρ2=4ρcos θ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x

∴x 2+y 2=4x 即为C 1的极坐标方程

即(x -2)+y 2=4 ② 2

C 3：化为普通方程为y =2x

由题意：C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3

①—②得：4x -2y +1-a 2=0，即为C 3

∴1-a 2=0

∴a =1

（24）（本小题满分10分）

解：⑴ 如图所示：

11

⎧⎪x -4，x ≤-1⎪3⎪⑵ f (x )=⎨3x -2，-1

f (x )>1

当x ≤-1，x -4>1，解得x >5或x 1，解得x >1或x

13∴-1

3当x ≥，4-x >1，解得x >5或x

3∴≤x 5 2

综上，x 5 3

1⎫⎛3) (5，+∞) ∴f (x )>1，解集为 -∞⎪ (1，3⎝⎭

12