拉姆齐模型中的动态最优方法

2003年　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

增刊　

　FINANCE&ECONOMICS　　　　　　　　　　　　　　　

《财经科学》

Supplement　

　May.2003

【研究生论坛】

拉姆齐模型中的动态最优方法

　　　　李海明一、引　言

重要。

Y是储蓄S与消费C,且t=It=

:=Ctt=F(Kt,Nt)dt

tt=CK,即生产

,可得:N

yt==F(,1)=f(kt)==ct+・K′

NtNtNtNt

从题就成为经济学中一个古老而时新的论题;迄今为止

已提出了众多理论模型,它的形成,拉姆齐(Ramsey,1928),卡斯(Cass,1965)和库普曼斯(K,)与发展。,并从。国内这方面的文献不多,,要么显得冗长。在本文主要集中讨论动态最优方法这一技术工具在这一模型中的使用,力图用较浅显的语言将拉姆齐的主要思想表达出来。因此,阅读本文只需一般的微积分知识就够了。在论文之末,对拉姆齐模型与索洛模型作了对比分析。

二、拉姆齐模型的假设与目标问题

(一)假设:经济中有两种投入要素资本K与劳动N;无

Smith研究一国国民财富增长的源泉以来,经济增长问

αK:F(Nt)=αF(Kt,Nt)=αF(Ct+t,α

)。令α=K′

①

其中yt、kt、ct分别是产出、资本与消费的人均值。由于

kt=

,故Kt=kt・Nt,从而K′==・Nt+kt,进而得Ntdtdtdt

・K=+kt,我们发现=n(人口增长率),NdtNtNt・K′=+nkt。这样人口增长率就通过微分过程进入了模Ndt

型。以上结果代入式①得:

故

技术进步与无资本折旧;劳动力等于人口数,具有稳定人口增长率n;产出Y分作储蓄S与消费C,但储蓄可以顺利地转化为投资I,从而加到资本存量上。所有变量都是时间的函数1。

定义11产出是资本与劳动的函数,即Yt=F(Kt,Nt)。按照标准假设,YK、YN>0,YKK、YNN

定义21消费的结果是产生社会效用U,它代表了社会因为消费而得到的社会福利。即社会效用U是消费C的函数:U

=U(Ct),它有如下特性:U′(C)>0,U″(C)

(二)目标问题

+nkt]=yt-ct-nktdtdt

这就是模型的约束条件。它表明人均产量yt会作三部分:yt=ct+

一是人均消费ct,二是为所有人口分摊的资本增量即资本的深化,三是为新增人口平均配备的资本量nkt即资本的广化。

把社会效用视作人均消费的函数,我们可以完整地得到一个动态最优控制模型:

ρ

max∫∞0u(ct)e-tdt

s1t1ct=yt-nkt-k(0)=k0

Ζ=yt-ct-nktdtdt

该动态最优控制问题中状态变量为kt,控制变量为ct。如上构建的模型,以代表性家庭实现长期效用最大化为目标,这就涉及最优消费与投资的选择。在拉姆齐(Ramsey,1928)的经典论文中,是采用变分法来求解的,而且是对总量进行分析;卡斯(Cass,1965)和库普曼斯(Koopmans,1965)则对之作了改进。这里我们介绍动态最优控制方法对本问题的求解。注意,重要的不是均衡解的结果,而是求解均衡的方法与过程,因为前者会随约束条件的变化而千差万别。

目标问题是一个最优规划。经济计划者的任务是使当前

∞

一代人与未来所有代人的社会效用现值最大化:max∫U0

(Ct)e-ρtdt

参数ρ>0为时间贴现率,表示因放弃当前消费而导致的效用损失率,它是一种主观贴现率。eρt实际上是一种复利贴现方法,表示家庭对消费效用的时间偏好,时间越近效用越

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三、问题求解

要求得最大解须应用最大值原理与汉密尔顿函数。构造的汉密尔顿函数为:

ρ

H=u(ct)e-t+λt(yt-ct-nkt)

(资本增长率)=(人口增长率=n)。这样KNtt

便会产生一条均衡增长路径。我们需要寻找这条均衡增长路

径。

同样按照式④,

nkt(f(kt)-nkt。

=0将导致:yt-ct-nkt=0]ct=yt-dt

=f′(kt)-n,代入均衡dtdtdt

汉密尔顿函数中符号(>0被称为共态变量,它同状态变量kt紧密联系:度量的是kt的影子价值。它类似于一般最优

化理论中的拉格朗日乘子,但如同c与y一样,(在不同时刻有不同取值,从而不再是一个常数:λ=λ(t)。

汉密尔顿函数的构造特点就是共态变量(项进入被积函数U(ct)e-ρt,而不是象一般最优化理论中的拉格朗日乘子

∞-ρ

t。λ项一样进入原始目标函数。∫0u(ct)et乘的对象是状

对ct求关于t的微分:条件

=0可知=0。由式⑦得:cσtt[f′(kt)-n-ρ]=0dtdt

-1

(n+ρ)。]f′(kt)=n+ρ]k3=f′

综上可知均衡解为:

c3=F(kt)-nk3

-k3=f′

1

dk态变量kt的运动方程:=yt-ct-nkt。

dt

现在的目标是让汉密尔顿函数值最大化。最大值原理的

(n+ρ)

⑧

均衡状态下,人均资本ktct都达到了最大值。这可由式③,u′

(ct)u′(ct0,③所表达的含义。

条件是:

=0(控制变量一阶条件)]λ′(c)e-ρt②t=u9c

λ本质上是一个拉格朗日乘子,概念。

2

,n(的变化如何影响均衡解的。若人,c3会下降。对c3=f(kt)-nk

=f′(k3)-n=p>0,可见最dk3

优人均消费是最优人均资本的增函数。当c3下降时,k3也

3k的微分,有:

dkdk()]==yt-ct-nkt④λdt9dt

会下降。因为这时将有更多的人口来分经济的“蛋糕”。当时间贴现率ρ上升,f′(k3)=ρ+n也上升。由于边际产量是递减的,故k3下降,从而c3下降。由于ρ代表因放弃当前消费而导致的效用损失率,故ρ越大,人们越不愿放弃当前消费,从而现期消费增加,而储蓄从而资本积累减少,这样未来的均衡值k3与c3会下降。

λ最后,我们来看式⑥(横截条件)limtkt=0告诉了我们

t→∞

(=-共态变量λt的运动方程)dt9k

(kt)]

t→∞

]

=λt[n-f′dt

⑤⑥

λlimtkt=0(横截条件)

现在我们来求均衡条件与均衡解。

λρ

将式②代入式⑤,消去共态变量λ=u′(ct)e-tt得:dt

λ[n-f′(kt)]。由式②知λ′(ct)e-ρt,对t求微分得u″t=udt

-ρtρ

(ct)e-ρu′(ct)e-t,从而可得:

dt

-ρtρρ

u″(ct)=u″(ct)e-ρu′(ct)e-t=u′(ct)e-t

dtdt

[n-f′(kt)]

()=n+ρ-f′(ct)

u′(ct)ct()其中==u″(ct)实际上是边际效用u′

u′(ct)u′(ct)

什么。在经济增长理论中,横截条件又被称作非蓬齐对策条件(non-Pozi-game-condition),它是针对蓬齐对策制定的跨时最优增长路径的限制条件。查尔斯(蓬齐是1920年代连锁信游戏的发明者并靠之发了大财,但最终因负债过度而以欺诈罪入狱进而死于贫困。这种蓬齐对策的实质是用新债抵旧债,通过高额负债方式致富。经济学家为避免具有投机心理的家庭或政府走入这条靠借贷求发展的歧途,提出了非蓬齐对策条件。

ρρ

由于λ′ct)e-t,横截条件化作:limu′(ct)e-tkt=t=u

t→∞

整理得:

0。若limu′(c)e

t→∞

-ρt

kt=0,这意味着t→∞人均消费的边际效

t→∞

(ct)关于消费ct的弹性。它反映了效用函数的弯曲程度。令()

σ>0,则上式可简化为:t=-ctu″(ct)

=cσtt[f′(kt)-n-ρ]dt

用现值一定趋于零,此时允许limkt>0,即可以拥有一定量的人均资本。但如果limu′(c)e-ρtkt>0,则必须有limkt=0,

t→∞

t→∞

⑦

否则拥有的人均资本还可以用以消费,进一步提高效用而使消费的边际效用进一步下降,因而此刻limkt>0不是最优的。

t→∞

结合④与⑦两式可求得均衡解(k3,c3)。在经济增长理论中,这是一个稳态点。

在此点,资本增长率与劳动增长率相等,从而人均资本

Nt-Kt存量不变即=0,由于kt=,后者意味着:2

dtNtNt

四、相位图分析

相位图是空间曲线在与时间轴垂直的空间中所留下的投影图形。这里是指反映人均消费与人均资本之间关系的坐标图,同时要对基本的微分方程进行图解分析,可以明确经济

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增长的可能路径以及经济最优增长的路径是什么,而且它可以说明我们在上面求得的均衡解是否稳定。

根据式⑧,下面两个方程成立:

c3=f(k3)-nk3　(曲线

-K3=f′

1

五、拉姆齐模型与新古典增长理论

=0和=0。此时dtdt

c3=f(k3)-nk3。若令s为人均储蓄率,则s=f(k3)

=0的方程)dt

拉姆齐模型指出,在均衡点E,有

(n+ρ)　(曲线

=0的方程)ct

=f(k3)-c3为人均储蓄。因此有sf(k3)=nk3。nk3

代表为新增人口配备的资本,即是维持人均资本水平所要求的投资。拉姆齐模型中经济最优增长的稳态条件c3f(k3)

-nk3实际上暗示着sf(k3)

=nk3即人均储蓄和必须的投

它们分别确定一条曲线c3=f(kt)-nkt和一条直线k3

=f=f

′-1

(n+ρ)来划分相空间c-k。

(n+ρ),它同人均消费c无关,因而垂直于k轴。对于

问题是为什么上述两个方程是这样的形状?对于方程k3

′-1

资在稳态资本k3处达到平衡,这正是索洛新古典模型的结论。但仔细分析表明,索洛模型更象拉姆齐模型的一个特例。这通过对二者的异同比较可以看出。

1950年代后以索洛模型为代表的新古典增长理论,假设

方程c3=f(kt)-nkt,实际上表明c是k的函数,其中f

(kt)是生产函数,按照前述生产函数假设,我们可作出f(kt)

与nkt的图形如右:

只要把两个函数图迭加就可得相位图中的曲线。由于c3

0Ε0,故f(kt)nkt,因子而只需迭加直线y=nk以上部分的

了一个只使用资本K与劳动L。产品要么消费掉,采用规模报酬不变Y=()区别。索洛模型考察的是基本结论是通过宏观经济均衡条SI,因而较拉姆齐模型简单得多。既然依据宏S=I来导出结果,那么这只是一种静态分析。而且,它并未刻画出消费者偏好,从而不能说明经济增长与消费者福利的关系。这种缺陷正是拉姆齐模型的优点所在。

人口增长率与储蓄率这两个变量的性质在两个模型中也有所不同。在索洛模型中,它们是外生给定的。这大大简化了模型的分析。然而,长期中它们是可以变化的,而且其变

(n+ρ)的左边,有kt

曲线y=f(k)。当f(k)=nk时有c3=0。因此相位图中曲线c3=f(kt)-nkt与k轴有两个交点。

一个技术细节是我们必须知道k3处是否c3对方程c3=f(kt)-nkt求关于k,

-得f′(kt)=n,1

(,0,显然kg≠k3=f

′-1

(nfk)k的减函

数,根据f′(kg)=)=ρ故k3

动方向:

在直线k3=f

′-1

化直接影响经济增长本身。拉姆齐模型中,人口增长率是通过微分过程进入模型的。储蓄率则可以在求得最优资本与消费之后利用产量与消费的关系导出。故而它们都是内生变量。

对拉姆齐模型的批评也是存在的,例如它并未将技术进步考虑进去;其经济最终处于最优增长路径的结论使得政府政策无用武之地,这同现实不符。但任何理论都不可穷尽一切,拉姆齐模型的这些缺陷恰为其它理论(如内生增长理论)的发展提供了空间。拉姆齐模型更重要的是它的方法论意义,它关于无限期动态最优一般均衡的分析方法为经济增长研究提供了有力的工具,广泛应用于各种新增长模型之中。

(k)是关于k的减函数,则f′(k)>f′(k3)=n+ρ。由式⑦=cσtt[f′(kt)-n-ρ],可见>0,因此ct的运动方向向dt

-1

(n+ρ)的右边,ct的运动方向上。反之,在直线k3=f′

有

向下。相位图中分别用与代表。

在曲线c3=f(kt)-nkt的上方,有ct>c3=f(kt)-nkt。由式④有=yt-ct-nkt=f(kt)-nkt-ct,可见

dtdt

因此kt的运动方向向左。反之,在曲线c3=f(kt)-nkt的

下方,kt的运动方向向右。相位图中分别用与代表。

这样四个区域中kt与ct分别组成了四种运动方式。如相位图中虚线箭头所示。给定初始的人均资本k0,若初始人均消费c0不同,会导致不同的经济增长路径。例如c0较大,形成趋近于c轴的D1路径;若c0较小,会形成趋近于k轴的D2路径。我们也可找到一条趋于稳态均衡点E的最优路径D。在这条路径上,任何对均衡点E的偏离都是暂时的,因为这条路径正处于向量场的“磁力线”方向。

主要参考文献:

[1][美]布兰查德,费希尔.宏观经济学(高级教程)[M].经

济科学出版社,1998.

[2]周爱民.高级宏观经济学[M].经济管理出版社,2001.[3][美]蒋中一.动态最优化基础[M].商务印书馆,1999.