如何证明圆的切线

圆的切线证明专题

知识梳理：

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

图1

图2

二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

例3.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

例4.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线

【例5】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？