6.7二重积分的概念与性质
1.利用二重积分定义证明:
kf(x,y)dkf(x,y)d。
D
Dn0
i
i
i
【证明】由二重积分定义
f(,)f(x,y)dlim
D
i1
n
,得
kf(,)kf(x,y)dlim
D
0
i
i
i1
i
limkf(i,i)i
0
i1
n
klimf(i,i)ikf(x,y)d,
0
i1
n
D
证毕。
2.利用二重积分的几何意义说明:kdk(kR为常数,为积分区域D的面积)。
D
【说明】二重积分的几何意义,就是说,二重积分的柱体体积,
于是知,二重积分
f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶
D
kd表示以平面zk为顶的柱体体积,
D
而以平面zk为顶的柱体体积,等于其底面积乘上其高zk, 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积, 从而得,
kdk。
D
3.利用二重积分的性质估计下列积分的值: ⑴
xy(xy)d,其中积分区域D(x,y)0x1,0y1;
D
【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1,可知区域D的面积为
而由于0x1,0y1,可得0xy1,0xy2, 从而有0xy(xy)2,
由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得
d111,
D
0dxy(xy)d2d
D
D
D
亦即为 0⑵
xy(xy)d2。
D
(xy1)d,其中积分区域D(x,y)0x1,0y2;
D
【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2,可知区域D的面积为
d122,
D
而由于0x1,0y2,可得0xy3, 从而1xy14,
由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得
1d(xy1)d4d
D
D
D
亦即为 2⑶
(xy1)d42,整理得2(xy1)d8。
D
D
2
2
(x
D
2
4y29)d,其中积分区域D(x,y)x2y24。
【解】由于区域D(x,y)xy4,可知区域D的面积为
2
2
2
2
2
d24, D
下面求函数f(x,y)x4y9在条件xy4下的最大、最小值, 亦即椭圆抛物面zx4y9在圆柱xy4内部的最大、最小值, 易见x4y0,可知zx4y99,当xy0时等号成立, 又可知,椭圆抛物面zx4y9与圆柱xy4的交线,在椭圆簇的短轴上
达到最高,亦即当x0,y2时,函数f(x,y)x4y9取得最大值,最大值为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f(0,2)044925,
因此得,9x4y925, 由二重积分性质6.7.5(估值不等式)即得
2
2
9d(x
D
D
2
4y29)d25d
D
亦即为 94整理得 36
(xy1)d254,
DD
(xy1)d100。
3
4.利用二重积分的性质比较下列积分的大小: ⑴
(xy)d与(xy)d,其中积分区域D由x轴,y轴与直线xy1所围成。
D
D
2
【解】积分区域D如图
由图可见,在区域D中,0xy1,于是由于函数ya(0a1)是减函数,而知以xy为底的指数函数是增函数,即由23有(xy)(xy),
于是,由二重积分性质6.7.4(不等式性)即得⑵
2
3
x
(xy)d(xy)d。
D
D
23
2
与ln(xy)d[ln(xy)]d,其中D(x,y)3x5,0y1。 D
D
【解】积分区域D如图
由于在区域D中有3x5,0y1,可得3xy6, 于是1lneln3ln(xy)ln6,
于是由于函数ya(a1)是增函数,可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数, 即由12得ln(xy)[ln(xy)], 于是,由二重积分性质6.7.4(不等式性)即得
5.若
。 1d=1,则积分区域D可以是( )
D
2
ln(xy)d[ln(xy)]d。D
D
2
x
(A)由x轴,y轴与直线xy2所围成的区域; (B)由x1,x2及y2,y4所围成的区域; (C)由x
11
,y所围成的区域; 22
(D)由xy1,xy1所围成的区域。 【解】应填“(C)”。因为
1dS
D
D
1,而下面各区域D的面积为:
(A)由x轴,y轴与直线xy2所围成的区域如图
得SD
22
21; 2
(B)由x1,x2及y2,y4所围成的区域如图
得SD(21)(42)21; (C)由x
11
,y所围成的区域如图
22
得SD[()][()]1; 至此,可以终止判断了。事实上有:
(D)由xy1,xy1所围成的区域如图
12121212
得SD
21。
相关文章
- 20**年成考高数考试大纲
- [微积分应用基础]课程教学大纲
- 601 高等数学考试大纲
- 微积分大纲
- 蔡高厅高等数学课程完全目录
- 士研究生入学考试[数学](含高等数学.线性代数) 考试
- 海川化工论坛_注册化学工程师基础考试大纲
- 高数下复习重点
- 20**年考研数学二大纲
(一)函数 1.知识范围 (1)函数的概念 函数的定义.函数的表示法.分段函数.隐函数 (2)函数的性质 单调性.奇偶性.有界性.周期性 (3)反函数 反函数的定义.反函数的图像 (4)基本初等函数 幂函数.指数函数.对数函数.三角函数.反 ...
<微积分应用基础>课程教学大纲 课程代号: 学时数:64 理论学时数:54 实践学时数:10 学分:4 开课单位:基础部 一.本课程的性质.地位和作用 <微积分应用基础>是全院工科类.经管类各专业必修的公共基础课. ...
贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲 <高等数学>(科目代码:601) 一.考试形式与试卷结构 1. 试卷满分 及 考试时间 本试卷满分为 150分,考试时间为180分钟. 2. 答题方式 答题方式为闭卷.笔试. 试卷由试题和答题 ...
<微积分>课程教学大纲 (2011版) 课程类别:通识教育必修课 课程代码:MAT160005T/ MAT160006T 课程名称:微积分(I )/(II ) 学时学分:128学时:8学分 预修课程:初等数学 适用专业:本科经管 ...
第1课 前言 一元.多元函数微分学和积分学.矢量代数.空间解析几何.无穷级数和微分方程 第一章 函数 第一节 函数的概念 一.区间.邻域 第2课 第一节 函数的概念 二 函数的概念 三 函数的几个简单性质 1 函数的有界性 第3课 三.函数 ...
华中科技大学硕士研究生入学考试<数学>(含高等数学.线性代数) 考试大纲 一.函数.极限.连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性 复合函数.反函数.分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 ...
注册化工工程师考试大纲 如果是基础考试是的专业部分,可以购买 <注册化工工程师执业资格考试辅导用书>下册 .大纲里都有答案. 专业考试可买<注册化工工程师执业资格考试专业考试 复习教程与模拟试题>由 天津大学化工学院 ...
高数下复习重点 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 1向量的模(向量的长度),单位向量,零向量,相等向量,自由向量,向量夹角,向量平行,向量垂直的概念 2向量的加法:交换律,结合律,︱a +b ︱≤a ︱+︱b ︱ 3 ...
2018年考研数学(二)考试大纲 2018年数学一考试大纲 考试科目:线性代数.概率论与数理统计 高等数学 一.函数.极限.连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性 复合函数.反函数.分段函数和隐函数 基本初 ...