北航机械考研971972动力学课后答案概3

动力学普遍定理

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。这三个定理从不同侧面揭示了质点系整体运动特征与其受力之间的一般规律。

基本理论

一、动量定理

1、 质点系的动量

质点系的动量定义为：

pmivimvC （8-1）

其中：mi,vi分别为质点系中第i个质点的质量及其速度，m,vC分别为质点系的总质量和质心速度。根据质点系的动量定义可以推出刚体系的动量：

pmivCimvC （8-2）

m,vC分别为刚体系的总其中mi,vCi分别为刚体系中第i个刚体的质量及其质心速度，

质量及其质心速度。 2、质点系的动量定理

dp

Fi(e)FR(e)dt （8-3）

质点系动量随时间的变化率等于作用在质点系上外力的矢量和（外力系的主矢）。该定理的积分形式称为冲量定理，可表示成下列形式

pt2pt1Fi(e)dtIi(e)

t1t2

（8-4）

3、质心运动定理

(e)(e)

maFFCiR （8-5） 其中：m,aC分别为质点系的总质量及其质心加速度。

如果质点系是由若干个刚体构成的系统，则其质心运动定理可以表示成 ma

iCi

(e)

Fi(e)FR

（8-6）

其中：mi,aCi分别为刚体系中第i个刚体的质量及其质心加速度。 4、守恒情况

若F0，则pmv 若F0，则pmv

(e)ix

x

C

常矢量；

Cx

常量。

二、动量矩定理 1、动量矩

质点系对任意固定点O的动量矩定义为

LOrimivi （8-7） 质点系相对动点A的动量矩定义为

（8-8） 图8-1 所谓质点系相对动点A的动量矩是指：在随动点A平移的动参考系中，若质量为个质点的相对动量iri对A点之矩iiri（i为动点A到该质点的矢径）的矢量和。如果将动点A取在质点系的质心，则可得到质点系相对质心C的动量矩 （8-9） 质点系对固定点O的动量矩与相对质心的动量矩的关系如下

r

LrmvLOCCC （8-10）

LrA~rimivri

mi的质点相对这一动参考系的相对速度为vri，则质点系相对动点A的动量矩为各

~~rmvrmv

LrC~rimivri

其中：m,vC分别为质点系的总质量及其质心速度（相对定系的），rC为质点系的质

心C在定系中的矢径。

定理：质点系对某一点O点的动量矩在通过该点的某一轴（如x轴）上的投影等于质点系对该轴（x轴）的动量矩。 2、动量矩定理

质点系对惯性参考系中固定点O的动量矩定理

dLO

MO(F(e))MO(FR(e))

dt （8-11）

质点系相对动点A的动量矩定理

dLrA

MA(F(e))rAC(maA)

dt （8-12）

其中：rAC为动点A到质心C的矢径，m为质点系的总质量，aA为动点A相对于惯性参考系的加速度。上式中等号右端的最后一项rAC(maA)可以理解为质点系的牵连惯性力maA对动点A之矩。 该定理的几种特殊情况：

情况1：若动点A是质点系的质心C，rAC0，则（8-12）式可表示成

dLrC

MC(F(e))

dt （8-13）

该公式称为相对质心的动量矩定理。

情况2：若质点系在运动的过程中，始终有关系式rAC//aA成立，则（8-12）式可表示成

dLrA

MA(F(e))

dt （8-14）

情况3：若质点系在运动的过程中，始终有关系式aA0成立，则（8-12）式可表

示成

dLrA

MA(F(e))

dt （8-15）

在这种情况下，随A点平移的动参考系也是惯性参考系，因此（8-15）式表示就是（8-11）式的另一种表达形式。 3、守恒情况

(e)(e)

M(F)0M(FL 若Oi，则O常矢量； 若xi)0，则Lx常量。

(e)(e)rM(F)0M(F)0LLCiCxiC 若，则常矢量； 若，则Cx常量。

r

三、动能定理

1、动能

质点系的动能定义为

1

Tmivi2

2 (8-16)

绕O轴作定轴转动刚体的动能为

T

1

JO22 （8-17）

其中：JO,分别为刚体对O轴的转动惯量和刚体的角速度。

平面运动刚体的动能

T

121

mvCJC222 （8-18）

其中：vC,JC,分别为刚体质心的速度，刚体对过质心C且垂直于运动平面的轴的

转动惯量和刚体的角速度。 2、 力的功

物体上的A点作用有变力F，该瞬时A点的速度为v，则力F在该瞬时作的元功定义为

WFvdt （8-19） 如果力F始终作用在物体上的A点，A点在dt时间内的微小位移为drvdt，则力的元功可表示成

WFdr （8-20） 如果一个力系{F1,F2,...,Fn}作用在质点系上，各力作用点的矢径为ri(i1,2,,n)，则该力系对质点系所作的总元功定义为

（8-21）

如果一质点在力F的作用沿某一曲线从A点移动到B点，则力所作的总功定义为

i1

WFidri

n

WABFdr

AB

（8-22）

在势力场中，质点（或质点系）由任意位置M到某一选定的零势位M0（基准位置）的过程中，有势力所作的功称为质点（或质点系）在位置M的势能，用符号V表示

VWMMo （8-23）

定理（简化力系作功定理）：作用在刚体上力系{F1,F2,...,Fn}向刚体上的A点简化，得到一简化力系{FR,MA}，若刚体上A点的速度为vA，刚体的角速度为，则力系对刚体作的总元功为

WFRvAdtMAdt （8-24）

推论（等效力系作功定理）：如果作用于刚体上的力系{F1,F2,...,Fn}与力系

{P1,P2,...,Pm}等效，则这两个力系对该刚体所作的元功相等，即：

W(F1,F2,...,Fn)W(P1,P2,...,Pm) （8-25）

3、

动能定理

动能定理（微分形式）：质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和，即

dTWi （8-26）

动能定理（积分形式）：质点系由状态1运动到状态2，其动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在这一运动过程中作功之和，即

T2T1W12 （8-27）

在应用动能定理时，可以不考虑理想约束力，因为其作功之和为零。但必须考虑非理想约束力和主动力所作的功。 四、动力学普遍定理的应用 1、变质量质点的动力学方程

应用质点系的动量定理可得变质量质点的动力学方程

2、刚体定轴转动动力学方程

应用动量矩定理可得刚体定轴转动动力学方程，设刚体对转轴z的转动惯量为

Jz，绕该轴的转角为，则动力学方程为

m

dvdmF(e)vrdtdt （8-28）

Mz （8-29） Jz

3、刚体平面运动动力学方程

具有质量对称面的刚体，如果作用在其上的力向质量对称面内的一点简化得到一个在该平面的平面力系，且刚体的运动平面也在质量对称面内，则应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理可得到刚体平面运动动力学方程

cFxmx

cFyym

MczJc （8-30）

质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理，称为动力学普遍定理，它们都

是从牛顿第二定律推导出来的，因此这三个定理仅适用于惯性参考系；而质心运动定理、冲量定理、相对质心的动量矩定理、变质量质点动力学方程、刚体定轴转动动力学方程和刚体平面运动动力学方程都是由前面三个定理推导出的，因此也只适用于惯性参考系。这些定理或方程中涉及到的绝对速度（或角速度）和绝对加速度（或角加速度）都应在惯性参考系中描述。

思考题与习题

（动力学普遍定理）

8－1 质量为m的均质杆AB以角速度绕水平轴A转动，并带动齿轮II在固定齿轮I上纯滚动，已知固定齿轮I的半径为R，齿轮II的半径为r,其质量为mB，求系统的动量，对A轴的动量矩（逆时针为正）和系统的动能。

（a）

(b)

题8－1图

8－2 长为L，质量为m的均质杆AB与半径为R质量为mB的均质圆盘连接，（a）:若两者用光滑柱铰链连接；(b):两者固连；系统在铅垂面内运动。若初始时，AB杆水平，系统无初速释放，哪种情况AB杆先运动到铅垂位置。

（a） (b)

题8－2图

8－3 如题8－1所示的系统在铅垂面内运动。若初始时，AB杆水平，系统无初速释放，哪种情况AB杆先运动到铅垂位置。

8－4 半径为R质量为m的均质圆盘A绕通过其中心的水平A轴转动，其上绕有绳索（相对圆盘无滑动），有一质量为m的甲虫在绳索上（如图所示）。哪种情况圆盘的角加速度最大？

A:甲虫相对绳索静止

B：甲虫相对绳索匀速向上运动

C：甲虫相对绳索匀加速向上运动

题8－4图8－5 如题8－4所示系统中，哪种情况下，轴承A的约束力最小？

8－6 质量为m的斜块A放在光滑的水平面上，另一质量为m的滑块B放在斜块A的斜面上，两者之间的滑动摩擦因数ftan，若滑块B相对斜块A的相对加速度为ar（如图所示），求斜块A的加速度aA B

题8－6图 题8－

7图

8－7 质量为m的斜块A放在光滑的水平面上，另一质量为m半径为R的均质圆盘B放在斜块A的斜面上，圆盘上作用一力偶，使其以角加速度在斜块A上

纯滚动。求斜块A的加速度aA。

8－8 均质T字形管ABC可绕铅垂轴z自由转动，AB管内有一小球M用绳索牵动。初始时，T字形管的角速度为0，小球位于管道的B端，在力F的牵动下，小球自B端向转轴z运动，不计所有摩擦，则系统在运动过程中哪些物理量增加。

A:系统对z轴的动量矩

B

B:系统的动能

C:T字形管的角速度

8－9 放在倾角为的固定光滑斜面上的木箱A无初速释放，则木箱将作什么运动？

A:平移

B:平面一般运动

C:绕下面的棱作定轴转动 D:运动状态与木箱的高和宽有关，

其运动状态不能确定。

－9图

8－10 在图示系统中，绳索绕在均质塔轮上且无相对滑动，绳索下端挂有重物或作用有主动力。则哪种情况，塔轮的角加速度最大？哪种情况，塔轮的角加速度最小？

(a) (b)

(c)

题8－10图

8－11 长为L，质量为m的均质杆AB的A端用铰链与墙面固定，B端用绳索铅垂吊起，杆上放有质量为m的重物（视为质点），(a)重物放在AB杆的中点；(b)重物放在AB杆的B端。求这两种情况下，当绳索剪断后的瞬时，杆AB的角加速度。

(a) (b)

题8－11图

8－12 滑块A与均质圆盘B的中心用不可伸长的绳索连接，不计绳索质量和所有摩擦，系统无初速释放。若初始时滑块A加速度的大小为aA，圆盘中心点的加速度大小为aB，试判断aA,aB的大小关系。

A：aAaB B：aAaB C: aAaB

8－13 图示机构在铅垂面内运动，其中均质杆AB、链连接（C为圆盘中心），圆盘在水平面上纯滚动。AB杆在力偶M的作用下以匀角速绕A

轴逆时针转动。当机构运动到图示位置时(AB杆铅垂)，水平地面作用在圆盘上的摩擦力的。 A：方向与图示方向相同

B：方向与图示方向相反

C：大小为零

题8－13 8－14 均质杆AB的B端用绳铅垂悬挂于O点，A端静止地放在光滑的水平面上，0BO绳后的瞬时，杆上A，B，C，D，E

（

题8－14图 8－15图

8－15 质量为m边长为L的正方形均质板用细绳静止地悬挂在铅垂面内，细绳的长度均为l，与铅垂线的夹角是450。试确定当剪断绳1后的瞬时，板上A点（右下角）加速度的方向。

8－16 两均质杆AB、BD用光滑铰链连接静止悬挂在铅垂面内，BD杆铅垂。试确定当系在BD杆上的绳索被剪断后的瞬时，BD杆角加速度的转向。

(a) (b) 题8－16图

8-17 正方形均质板用两根等长的绳索铅垂吊起，AB杆（不计其质量）的两端分别与墙壁和板铰接。试判断：

（a）当绳索1被剪断后的瞬时，AB杆是受拉还是受压，还是其内力为零？ （b）当绳索2被剪断后的瞬时，AB杆是受拉还是受压，还是其内力为零？

题8－17图

题8－18图

8－18 正方形均质板的一个顶角用绳索铅垂吊起，另一个顶角用铰链通过AB杆与墙壁连接，系统在铅垂面内运动。在图示瞬时（AB杆和绳索铅垂），AB杆的角速度为，角加速度为零，若实现这个运动，需要在AB杆上施加一个力偶，试判断这个力偶M应是顺时针的还是逆时针的？

8－19 质量为m半径为R的均质圆环平放在光滑的水平地面上，一质量为m的甲虫A沿圆环爬动。初始时系统静止。若甲虫相对圆环以匀速率u沿圆环爬动，试分析以后系统的运动。

。 （1）系统的自由度是（ ）

甲虫相对地面作（ ）运动，其速度的大小是（ ）。 （2） （3）圆环中心O相对地面作（ ）运动，其速度的大小是

。 （ ）

（4）圆环相对地面作（ ）运动，其角速度的大小为

。 （ ）

（5）甲虫作用在圆环上的力若在水平方向和铅垂方向分

解，则水平分力的大小是（ ）

（6）甲虫沿圆环爬行一周，圆环自身转动了（ ）弧度。 题8－19图

8－20 长为L的链条AB静止放在水平地面上，链条单位长度的质量密度为，与地面的动滑动摩擦因数为f，在链条的A端作用一平行于链条的拉力F，使链条以匀速度v运动。求力F的大小。

题8－

图 题8－21图 8－21 一链条跨过定滑轮，两端堆放在不同高度的地面上，已知链条单位长度的质量密度为，若滑轮右侧的链条以速度v匀速下降，忽略所有摩擦。求A、B两个地面高度的差h。