常用微分公式列举

1

（c=常数）（lim sin x ）

（）

x

（

）

x →0x

=1lim x →0

(1+x )=e

n a >o ) =1

π

（

）

lim = （）

n 1

lim x →∞

arctan x =

2

（

）

π

2

x lim →-∞

arc tan x =-（）lim （）

（）

x →∞

arc cot x =0

x lim →-∞

arc cot x =π

x lim →-∞

e x

=0

x

（10）

x lim →+∞

e =∞

（11）

x lim x

→0+

x =1

（

）

⎧⎪a 0

n =m a n 0x +a n -1lim

1x ++a b 0

n x →∞b n

0x m +b 1

x m -1++b =⎪⎪

⎨0m ⎪

⎪∞n >m

⎪⎩

（系数不为的情况）lim ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) （13）

x →x =0∆x ∆x

2、常用等价无穷小关系

（

x →0

）sin x ~x

tan x ~x

arcsin x ~x

arctan x ~x

1-cos x ~1

x 2

2

ln (1+x )~x

e x -1~x

a x -1~x ln a

(1+x )

∂

-1~∂x

12

sec x -

1~

2

x

1~

12

x 2

~x 2

sin 3

x ~(x )

3

3、导数的四则运算法则

(u ±v )'=u '±v '

(uv )'=u 'v +uv '

⎛ u ⎫'u 'v -uv '

⎝v ⎪⎭

=

v 24、基本导数公式

'μ⑴

(c )=0

⑵

x =μx μ-1

⑶

(sin x )'=cos x

⑷

(cos x )'=-sin x

⑸

(tan x )'=sec 2x

⑹

(cot x )'=-csc 2x

⑺

(sec x )'=sec x ⋅tan x ⑻

(csc x )'=-csc x ⋅cot x

'⑼

(e x )=e x

x ⑽

(a x )'=a ln a

⑾

(ln x )'=

1x

log x '⑿

(a )=

1

x ln a

⒀

(

arcsin x )'=

⒁

(

arccos x )'=1⒂

(arctan x )'=1+x 2

⒃

(arc cot x )'=-

1

1+x 2

⒄

(x )'=

1

⒅

'=

、高阶导数的运算法则（

）

⎡⎣u (x )±v (x )⎤⎦

(n )

=u (x )

(n )

±v (x )

(n )

（

）

⎡⎣cu (x )⎤⎦

(n )

=cu (

n )

(x )

（

）

⎡⎣u (ax +b )⎤⎦

(n )

=a n u (n )(ax +b )

（）

(x )⎤⎦(n )

n

⎡⎣u (x )⋅v =∑c k (

n -k )

n u (x )v (k ) (x )

k =0

6、基本初等函数的n 阶导数公式

(n )

(e ax +b )

(n )

（）

(x n )

=n !

（）

=a n ⋅e ax +b

x (n )

x (3)

(a )

=a ln n a

(n )

(4)

⎡⎣sin (ax +b )⎤⎦

=a n sin ⎛

ax +b +n ⋅π⎫2⎪

⎝

⎭

(5)

⎡⎣cos (ax +b )⎤⎦⎛1⎫ ⎪(n )

(n )

π⎫⎛

=a n cos ax +b +n ⋅⎪

2⎭⎝

n

⑶

d (uv )=vdu +udv

⑷

⎛u ⎫vdu -udv

d ⎪=

v 2⎝v ⎭

(6)

=(-1)

a n ⋅n !

7)

·基本公式： 1）∫0dx=c; ∫a dx=ax+c;

⎝ax +b ⎭

(ax +b )

n +1

⎡⎣ln (ax +b )⎤⎦

(n )

=(-1)

n -1

a n ⋅(n -1)!

(ax +b )

n

7、微分公式与微分运算法则

1⑴

d (c )=0

⑵

d (x μ)=μx μ-dx

d (sin x )=cos xdx

⑷

d (cos x )=-sin xdx

d (tan x )=sec 2xdx

d (cot x )=-csc 2xdx

⑺

d (sec x )=sec x ⋅tan xdx

d (csc x )=-csc x ⋅cot xdx

⑼

d (e x )=e x dx

⑽

d (a x )=a x ln adx

d (ln x )=

1

x

dx ⑿

d (log x 1

a )=

x ln a

dx d (

arcsin x )=

d (

arccos x )=d (arctan x )=

1

⒂

1+x 2

dx d (arc cot x )=-1

1+x 2

dx

8、微分运算法则

⑴

d (u ±v )=du ±dv

⑵

d (cu )=cdu

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c; 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4) ）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）

∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）⑶

∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14

）

∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）

∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c; 16) ∫sec^2 x

⑸

dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; ·分部积

⑹

分法: ∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx. 一元函数泰勒公式(Taylor's formula) 泰勒中值定理：若f(x)

a ，b ）有直到n+1阶的导数，则当函数

⑻

在此区间内时，可以展开为一个关于（

一

个

余

项

的

和

： f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n 阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

⑾

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x 和x0之间。

洛必达法则(L'Hospital)：

是在一定条件下通过

⒀

法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)⒁

都趋于零 (2)在点a 的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0 (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或

，那么 x→a时 lim

f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0 (3)当x→∞时lim

⒃

f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大) ，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当

不存在时（不包括∞情形）

，就不能用洛必达法则，

②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，

以简化计算、乘积因子用等价量替换等。 边际