不等式试卷

不等与不等关系

知识点：

1．两个实数的大小比较

两个实数的大小是用两个实数的运算性质来定义的：

(1)a －b ＞0⇔ a ＞b ；a －b ＝0⇔ a ＝b ；a －b ＜0⇔ a ＜b . (2)当b ＞0时，有a 1⇔ a ＞b ；a ＝1⇔a ＝b ；a b b b

1⇔ a ＜b . 3．不等式的性质

(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；

如果b ＜a ，那么a ＞b ，即a ＞b ⇔ b ＜a .

(2)如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇔ a ＞c . (3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇔ a ＋c ＞b ＋c . (4)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞ bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜ bc

(5)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞ b ＋d . (6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞ bd . (7)如果a ＞b ＞0，那么a n ＞ b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n

b (n ∈N ，n ≥2)． 4．不等式的倒数性质

(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜ 1b .(2)a ＜0＜b ⇒11

a ＜b

.

(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a b 111

c ＞ d .(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒b ＜ x ＜ a .

练习题：

1．已知a , b ∈R ，下列命题正确的是

（A ）若a >b ，则|a |>|b | （B ）若a >b ，则1

b

（C ）若|a |>b ，则a 2>b 2若a >|b |，则a 2>b 2

2．若a >b >0, c

A ．a b a b a b a b c >d B．c c D．d

3．已知a >b , c >d ，则下列不等式成立的是（ ）

4．设

12

2

) a

A ．a a ＜a b ＜b a B．a a ＜ ba ＜a b C．a b ＜a a ＜b a D．a b ＜b a ＜a a 5．下列命题中，正确的是（ ）

A ．若a >b , c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b

C ．若a c

2c

2，则a b , c >d ，则a -c >b -d

6．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ）

A. a b a b a b c

>

d B.c b c

7．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ） A. a b c >d B.a c b c

8．已知

1a

b

b

>2 C. ab >b 2 D. lg a 2

9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是

A ．112x 2+1>y 2

+1 B．ln （x ＋1）＞ln （y 2＋1） C．s1n x＞s1n y D．x 3＞y 3

10．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）

A ．1

1x 2+1＞y 2+1

B．ln （x 2＋1）＞ln （y 2＋1）

C ．sin x＞sin y D．x 3＞y 3

11．已知α: x ≥a ，β:x -1

12．若a >b >0, 则下列不等式成立的是（ ）

D ）

13．设a , b , c ∈(-∞,0), 则a +1b , b +11

c , c +a

（ ）

A ．都不大于-2 B．都不小于-2

C ．至少有一个不大于-2 D．至少有一个不小于-2 14．下列命题是真命题的是

A. 若ac >bc ，则a >b B.若a >b , c >d ，则ac >bd

C. 若a >b ，则1a

b

D. 若c >d , a -c >b -d ，则a >b

1

1

（

1

15． 已知0

2

111

A ．

222

⎧1

⎪+1 (x

⎪⎩2-x (x ≥-1) ，则不等式f (2x +1) >3的解集为_____________. 16．已知

一元二次不等式及其解法

知识点：

例题分析：

一：一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法——变形——求方程的根——写解集——大于取两边小于去中间

例1、解下列不等式：

2

(1)19x －3x 2≥6；(2)x ＋1≥(3)0＜x 2－x －2≤4.

x

⎧x －x －2＞0，

【练习1】关于x 的不等式组⎨2的整数解的集合为{－2}，

2x ＋ 2k ＋5 x ＋5k ＜0⎩

求实数k 的取值范围．

x －1

【练习2】不等式0的解集为( )

x ＋2

A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)

二：含参数的一元二次不等式

含参数的一元二次不等式（分类讨论思想）

（1）一元二次不等式的解法（2）韦达定理（3）“三个二次”的关系

例2、若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |α＜x ＜β＜0}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集．

【练习】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x b }， (1) 求a ，b ；(2)

(2) 解不等式ax 2－(ac ＋b ) x ＋bc

2

2

2

三：恒成立问题

一：二元一次不等式(组) 表示的平面区域

2

例3、设函数f (x ) ＝mx －mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x ) ＜0恒成立，求m 围；

(2)若对于x ∈[1,3]，f (x ) ＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．

1

【练习】当0≤x ≤2时，不等式(2t －t 2) ≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，试求t 的取值范

8

围．

⎧x －y ＋6≥0

例1、求不等式组⎨x ＋y ≥0

⎩x ≤3

二：求目标函数的最值

表示的平面区域的面积．

线性规划

知识点：

一、二元一次不等式表示平面区域

2．二元一次不等式表示平面区域的确定方法

3

⎧x －y ＋2≥0，

例2、已知⎨x ＋y －4≥0，

⎩2x －y －5≤0，

求：

(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝

y ＋1

的范围． x ＋1

⎧y ≥x

练习、设m >1，在约束条件⎨y ≤mx ，

⎩x ＋y ≤1

m 的取值范围为( )

下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2. 则

A ．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞) C．(1,3) D ．(3，＋∞)

3

三：线性规划的实际应用 （书上例题）

分析题意——设决策变量——确定约束条件、确定目标函数——画可行域——求最优解——解答实际问题

基本不等式

知识点：

1

2. a ＋b

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙2

述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ． 3．基本不等式的变形不等式 ①a 2＋b 2 ≥ 2ab ，(a ，b ∈R)

⎛a ＋b ⎫2

⎪(a ，b ∈R ＋) ②a ＋b ≥ 2ab (a ，b ∈R ＋) ，ab ≤

⎝2⎭

b a

③a ＋b ≥ 2(a ，b ∈R ＋，或ab ＞0)

a ＋b a 2＋b 22

④ ≤ ab ≤ ≤ (a ，b ∈R ＋) 1122＋a b

4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，x ＋y 有 最小值是2p .(简记：积定和最小)

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有 最大值是.(简记：和定积

4

最大)

例题分析：

一：利用基本不等式求最值

25

例1、(1)已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝＋的最小值；

x y

(2)x ＞0，求f (x ) ＝

12

x

＋3x 的最小值；(3)x ＜3，求f (x ) ＝

2

4

＋x 的最大值； x －3

(4)x ∈R ，求f (x ) ＝sin x ＋1＋

5sin 2x ＋1

的最小值．

练习1、于使f (x ) ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫f (x ) 的上确界．若

12

a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则f (a ，b ) ＝－－的上确界为( )

2a b

991

A. B ．－ C. D ．－4 224

⎛21⎫⎛12⎫

练习2、设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则 x ＋2⎪ 2＋4y ⎪的最小值为________．

y ⎭⎝x ⎝⎭

二：利用基本不等式证明不等式

p 2

4

例2、已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1. 求证：

1111(1)≥4；(2) a ＋b ＋2. a b 22

练习、已知a ，b ，c 是任意三角形的三边的长，求证：ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＜2ab ＋2bc ＋2ca .

4