线性代数在生活中的实际应用

大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。；；；初等的数学知识学习线性代数数学建模函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。

线性代数中行列式实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算是非常重要的内容。

⎛n -1 n

1 -例：计算n -1⎝n

1- n n -1

n 11--n n

-⎫n ⎪1

-⎪ n ⎪n -1⎪n ⎭n ⨯n

n n -1

n 11--n n -

⎫n ⎪1-⎪n ⎪n -1⎪n ⎭-

解：

⎛n -1 n -1

n -1⎝n

-1 -1

⎡⎛1 =⎢⎢n ⎣⎝

n -1-1 -1

-1 -1

n -1

⎫⎤-1⎪⎥ ⎪⎥⎪n -1⎭⎦

-1

⎛1 =

n ⎝

n -1-1 -1

n -1

⎫-1⎪ ⎪⎪n -1⎭

-1

-n ⎛n (n -1)

n (n -1) 1 -n

-n -n ⎝ -n ⎫

⎪

-n ⎪ ⎪

⎪

n (n -1) ⎪⎭

⎛n -1 n -1= n 1 -⎝n 1n n -1n 1-n -1⎫⎪n ⎪1 -⎪

n ⎪ ⎪

n -1⎪ ⎪

n ⎭

在此例中, A 2=A , 所以A 是幂等矩阵.

方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题，这些内容不仅在数学本身的研

究中具有重要的作用，在其他的许多科学领域中也有重要的应用。例如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA 序列对比是就用到了矩阵的相似，这个概念。线性代数学习对数学建模十分必要。那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事, 而并非解非线性方程组是经常的事呢? 这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的. 所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的. 以下为线性代数实际解决的应用问题：

例：卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像，对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素，成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据，形成一个多元的变量数组，在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。例：用逆阵进行保密编译码

在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E 。

可以用乘以矩阵A 的方法来进一步加密。假如A 是一个行列式等于±1的整数矩阵，则A -1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。

接收方只要将这个消息乘以A -1就可以复原。

线性代数在生活中的实际应用

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