利用导数求函数的单调性

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f (x ) =a x -a -x （a >0且a ≠1）；

2．f (x ) =log a (3x 2+5x -2) （a >0且a ≠1）；

3．f (x ) =bx (-1

分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f '(x ) ，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f '(x ) 的符号，来确定函数f (x ) 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解： 1．函数定义域为R ．

f '(x ) =a x ln a -a -x ⋅ln a ⋅(-x ) '=ln a (a x +a -x ).

当a >1时，ln a >0, a x +a -x >0, ∴f '(x ) >0.

∴函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上是增函数．

当00, ∴f '(x )

∴函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上是减函数．

2．函数的定义域是x >1或x

f '(x ) =log a e (6x +5) log a e 2'⋅(3x +5x -2) = 3x 2+5x -2(3x -1)(x +2)

1时，log a e >0, 6x +5>0, (3x -1)(x +2) >0， 3①若a >1，则当x >

∴f (x ) >0，∴函数f (x ) 在 ，+∞⎪上是增函数；

当x

②若0⎛1⎝3⎫⎭1时，f '(x )

∴函数f (x ) 在 ，+∞⎪上是减函数； ⎛1

⎝3⎫⎭

当x 0，∴函数f (x ) 在(-∞, -2)上是增函数

3．函数f (x ) 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x '⋅(x 2-1) -x ⋅(x 2-1) '当0

b (x 2+1) =-2 (x -1) 2

若b >0，则f '(x )

若b 0，函数f (x ) 在（0，1）上是增函数．

又函数f (x ) 是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b >0时，函数f (x ) 在（－1，1）上是减函数，当b

说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f '(x ) 的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例 求下列函数的单调区间：

1．f (x ) =x -2x +3；

2．f (x ) =2x -x 2；

3．f (x ) =x +42b (b >0). x

分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f (x ) 的定义域为R ，f '(x ) =x -4x =4(x -1)(x +1) x

令f '(x ) >0，得-11．

∴函数f (x ) 的单调递增区间为（－1，0）和(1, +∞) ；

令f '(x )

∴函数f (x ) 的单调递减区间为(-∞, -1) 和（0，1）．

2．函数定义域为0≤x ≤2.

f '(x ) =(2x -x 2) '

22x -x 2=1-x 2x -x 2.

令f '(x ) >0，得0

∴函数f (x ) 的递增区间为（0，1）；

令f '(x )

∴函数f (x ) 的单调递减区间为（1，2）．

3．函数定义域为x ≠0, f '(x ) =1-b 1=(x -b )(x +b ). 22x x

令f '(x ) >0，得x >b 或x

∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -) 和(, +∞) ；

令f '(x )

∴函数f (x ) 的单调递减区间是(-b , 0) 和(0, ) ．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f (x ) 的单调递增区间和递减区间分别写成(-1, 0) (1, +∞) 和(-∞, -1) (0, 1) 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例 已知f (x ) =x +c ，且f [f (x )]=f (x +1).

1．设g (x ) =f [f (x )]，求g (x ) 的解析式；

2．设ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) ，试问：是否存在实数λ，使ϕ(x ) 在(-∞, -1)内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出ϕ(x ) 的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定22

存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数ϕ(x ) 是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f [f (x )]=f (x 2+c ) =(x 2+c ) 2+c ，

f (x 2+1) =(x 2+1) 2+c . f [f (x )]=f (x 2+1) ，

∴(x 2+c ) 2+c =(x 2+1) 2+c , ∴x 2+c =x 2+1, ∴c =1.

∴f (x ) =x 2+1, g (x ) =f [f (x )]=f (x 2+1) =(x 2+1) 2+1.

2．ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) =x 4+(2-λ) x 2+(2-λ) ．

若满足条件的λ存在，则ϕ'(x ) =4x 3+2(2-λ) x .

∵函数ϕ(x ) 在(-∞, -1)内是减函数，∴当x

即4x 3+2(2-λ) x

∴2(2-λ) >-4x 2, ∴x

∴2(2-λ) ≥-4，解得λ≤4．

又函数ϕ(x ) 在（－1，0）上是增函数，∴当-10

即4x +2(2-λ) x >0对于x ∈(-1, 0) 恒成立，

∴2(2-λ)

∴2(2-λ) ≤-4，解得λ≥4．

故当λ=4时，ϕ(x ) 在(-∞, -1)上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f (x ) a 恒成立⇔[f (x )]min >a ，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例 已知a 、b 为实数，且b >a >e ，其中e 为自然对数的底，求证：a >b ．

分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f (x ) >g (x ), x ∈(a , b ) ，可以等价转化为证明F (x ) =f (x ) -g (x ) >0，如果b a F '(x )>0，则函数F (x ) 在(a , b ) 上是增函数，如果F (a ) ≥0，由增函数的定义可知，当x ∈(a , b ) 时，有F (x ) >0，即f (x ) >g (x ) ．

解：证法一：

b >a >e ，∴要证a b >b a ，只要证b ln a >a ln b ，

设f (b ) =b ln a -a ln b (b >e ) ，则f '(b ) =ln a -a ． b

b >a >e ，∴ln a >1，且a 0. b

∴函数f (b ) =b ⋅ln a -a ln b 在(e , +∞) 上是增函数．

∴f (b ) >f (a ) =a ln a -a ln a =0，即b ln a -a ln b >0，

∴b ln a >a ln b , ∴a >b .

证法二：要证a >b ，只要证b ⋅ln a >a ln b (e (x >e ) ，则f '(x ) =

∴函数f (x ) 在(e , +∞) 上是减函数．

又 e f (b ) ，即ln a ln b >, ∴a b >b a . a b

说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f '(x ) >g '(x ) ⇒f (x ) >g (x ) 的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例 函数y =log 1 1+⎛

2⎝1⎫⎪在区间(0, +∞) 上是（ ） x ⎭

A ．增函数，且y >0 B ．减函数，且y >0

C ．增函数，且y

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u =1+1，且x ∈(0, +∞), ∴u >1， x

则y =log 1u

2

由复合函数的性质可知，u 在 (0, +∞) 上为减函数． 又y =log 1u 亦为减函数，故y =log 1 1+

2⎛2⎝1⎫排除D ，选C ． ⎪在 (0, +∞) 上为增函数，x ⎭

解法二：利用导数法

y '=1⎛1⎫⋅log 1e ⋅ -2⎪=log 2e >0 1x x (1+x ) ⎝⎭21+x 1

（x ∈(0, +∞) ），故y 在(0, +∞) 上是增函数．

由解法一知y

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．