证明线段相等的常用方法

证明线段相等的常用方法

1.证明两线段是全等三角形的对应边

如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

例1.如图， B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF

例2．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

P

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

D

C B

例3.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E． （1）试说明：DE＝BF；

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法

例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

例2. 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G. （1）求证：AG=C′G；

例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG

二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量

等量代换：若a=b，b=c，则a=c； 等式性质：若a=b，则a－c=b－

c

例1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，联结EF，设线段EF的中点为M．求证：MAMD．

G

C

第9题图

例2.

例3.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，BCAB,OC交⊙O于点F，直线AF交BC于E．求证：BECF．

【巩固练习】

第4题图

1、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．

求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分

AC．

2、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.

⑴求证：△ABE≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.

B

C

D

E

F

3.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．

（

1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．

（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．

4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O． （1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF； （2）求证：AB+CD=2BE．

5.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证： (1)∠

ADF=∠BCF；(2) AF⊥CF.

A

F BC

6、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E． （1）求证：CF=CG；

（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF；

（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．

8.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE． （1）求证：BE=BC；

（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为

9.（2010重庆） 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC

，∠

ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

1

（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

2

[2011年深圳中考] 21、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G. （1）求证：AG=C′G；

（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，的折痕EN，EN角AD于M，求EM的长.

【2010年深圳中考】 20．（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形， ∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．

（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）

（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）

图8

【2009年深圳中考】 20．（本题8分）如图9，四边形ABCD是正方形，BEBF，BEBF，EF与BC交于点G．

（1）求证：△ABE≌△CBF；（4分）

，A （2）若ABE50°求EGC的大小．（4分） D

E

G

C B

F

图9

【课后作业】

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1、0.2的倒数是（ ）

A．0.2 B．5 C．5 D．2、下面的计算正确的是（ ） A．a3a2a6 B．a

1 2

2



32

a5 C．a3a6 D．5aa5

3、图1所示的几何体的右视图是（ ）

4、在物理学里面，光的速度约为3亿米/秒，该速度用科学计数法表示为（ ）

5、下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）

A．3、4、8 B．5、6、11 C．6、8、20 D．5、6、10

6、从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ） A．

1

3

B．

1 2

C．

2 3

D．

3 4

7、不等式2(x2)x2的非负整数解的个数为 （ ） A．1

B．2 C．3

D．4

8、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ） A．菱形 C．矩形

B．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形

9、如图2，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是（ ） A．AB∥CD C．AC⊥CD

B．AD∥BC

B

图2

C

D．∠DAB+∠D=180°

10、二次函数yx22x3图象如图3所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）．

A．－1＜x＜3 C． x＞3

B．x＜－1

D．x＜－1或x＞3 图3

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11、已知函数y

2

，则函数自变量的取值范围为 ； x3

12、因式分解：3x23y26xy=

13、一个扇形的弧长是20cm，面积是240cm2，则扇形的圆心角是 14、已知一次函数yxa与反比例函数y

2

有一个交点为（2，b），则ab x

15、由于全球经济危机的影响，我国某些商品价格持续上涨，某商品由原价20元/件通过两次的提高价格变为28.8元/件，若每次提价的百分率一样，则每次提价百分率为 ； 16、如图4两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证

的一个初中数学公式为 。 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

10

17、cos3002013

2

18、解不等式组

19、计算：先化简代数式：(

2

图4

2x31

，并将不等式的解集表示在数轴上。

3x1

11x

， )2

x1x1x1

再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x的值，代入求出代数式的值。

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）

20、某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决

定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？

21、如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF．证明： （1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形BFDE是平行四边形．

图5

22、已知如图6，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例

函数图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tanABO（1）求直线AB的解析式； （2）求该反比例函数的解析式．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）

23、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

第一排 1 第二排 2 3 第三排 4 5 6 第五排 7 8 9 10 第六排 11 12 13 14 15

…………………………

（1）表中第9行第2个数字是______； （2）求第12行所有数字之和？

（3）求第n行的第一个数字和最后一个数字。（用含有“n”的式子表示）

1

，OB4，OE2． 2

x

24、如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，

点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；； （3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

A

D

B

C

图7

25、如图8，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． （3）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；