数与代数教材分析.重难点突破

《整理与复习──数与代数》教材分析

本节内容是小学阶段“数与代数”知识的系统整理与复习。修订后的教材主要分四部分，分别是“数的认识”“数的运算”“式与方程”“比和比例”。与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）相比，少了“常见的量”“数学思考”这两部分。 “常见的量”作为一种应用性知识，渗透在数学学习的方方面面，和“图形与几何”这个领域也较为贴近，所以修订后的教材没有独立设置专门的复习，而是在具体情境中进行复习。

“数学思考”则是为了突出本套教材对数学思想的重视，在“整理和复习”中特意把“数学思考”从“数与代数”中分离出来，单独设置为一个小节。一方面，通过具体问题的解决，提高学生的问题解决策略；另一方面，重点复习推理的数学思想和方法。

一、与实验教材的主要区别

（一）以点带面，突出核心概念、核心原理

与实验教材相比，修订后的教材在基础知识的整理和复习上不求面面俱到，而是突出重点，抓住主要内容、主要问题进行整理和复习。一方面使“整理和复习”摆脱了罗列知识点、汇编概念与法则的局面，另一方面也给学生提供了自主梳理知识脉络的线索。

例如，“数的认识”的复习，从第30届夏季奥林匹克运动会的真实情境入手，呈现了与运动会相关的各种数据，有整数，有小数，有分数，有百分数，有以“亿”或“万”作单位的数，有“负增长”，体现了数在实际生活中的广泛应用。在此基础上对各种数进行分类，使学生整体把握小学阶段“数系”的发展脉络，了解各种数之间的联系与区别，并对重要的基础性概念及相关重难点（如数的顺序、数的大小、数位、进制、位值等）进行复习。

（二）加强知识的横、纵向联系，帮助学生建立网状知识结构

与实验教材相比，修订后的教材更加关注知识间的相互联系，更加关注不同形式的知识背后的内在一致性，促进学生对数学知识的深层次理解。

例如，对整数、小数、分数的四则运算的意义和算法进行回顾，对它们的相同点和不同点进行分析，可使学生认识到：四则运算的意义并不会因为数的不同而发生变化，变化的只是描述的方式，避免了以往在复习一个数乘以小数、一个数乘以分数时把它们的意义和其他乘法割裂开的情况；而在不同形式的算法背后，也隐藏着许多共同的原理，例如，整数、小数、分数的加法和减法在实质上都是相同计数单位个数的累加和累减的过程。

再如，让学生对除法、分数、比三个概念进行比较，使学生深刻理解三者的联系与区别，并认识到“平均分”是三者之间存在诸多共同点的内在纽带。

二、教材例题分析

（一）数的认识

着重复习小学阶段所学的数的概念。进一步启发学生回顾有关数的知识。通过6个例题提出更深入的问题，分别涉及十进制计数法、数的大小比较、小数点移动引起小数大小变化的规律、因数和倍数等主要概念。通过这些问题的回答，帮助学生比较系统地回顾、再现有关数的主要知识。

例1：鼓励学生回顾小学阶段学过的各种数，并运用结构图等方式构建知识网络。教材中设置第30届夏季奥林匹克运动会的真实情境，有丰富的数据，让学生对这些数进行分类，明确各个概念的内涵。

例2：让学生自由地在数轴上表示几个数，体现数形结合思想。在数轴上的点，既有比较容易标注的整数，也有相对复杂一些的小数和分数。通过观察这些数在数轴上的位置，还可以比较数的大小。

例3：复习十进制计数法，主要是让学生在此体验数位顺序表的逐步扩充过程，从较小的整数到大数的认识，从整数的认识到小数、分数的认识，感受数级、数位和计数单位之间的对应关系。通过对整数和小数相邻单位之间进率的回忆和整理，让学生进一步体会十进制计数法。

例4：对因数和倍数的复习，这部分内容包含很多概念，在教学中引导学生在具体的情境中体会各个概念分别表示什么，体会各个概念之间的联系与区别。

例5：对小数、分数的相关性质进行复习，能结合实际说明小数、分数的含义，复习小数和分数的基本性质，以及小数点移动引起小数大小变化的规律。

例6：让学生举例说明1万有多大、1亿有多大，目的是帮助学生理解大数的含义，进一步发展学生的数感。

（二）数的运算

着重复习整数、小数、分数的四则运算，包括四则运算的意义、计算方法、运算定律及其应用。

例1：引导学生回顾学过的运算，要求学生举例说明每种运算的含义，目的是在集体交流中寻找所学过运算的原型，系统地理解运算的现实意义，必要时教师可以补充典型示例。

例2：对整数、小数、分数的四则运算进行比较，找出三者之间的共同点，区分不同点。对于加、减运算来说，都是把相同计数单位的数进行运算，区别是整数、小数主要对齐数位就行了，而异分母分数需要通过通分转化为分数单位相同的分数，再相加、减；对于乘、除运算，也可以通过这样的具体实例加以说明。

例3：鼓励学生自己整理四则运算中的一些特殊情况，引导学生自主整理0和1在四则运算中的特殊性，再全班交流。引导学生根据运算结果，对这些算式进行分类，哪些得到原数，哪些得到0，哪些得到1等等。

例4：通过观察这四组算式，引导学生体会每种运算之间的关系。这里既有整数四则运算，又有小数四则运算，如果把这些小数改写成分数，就变成了分数四则运算。对这些实例进行适当归纳，学生就能结合具体例子总结出各种运算之间的关系。

例5：就是把例4这些算式的关系提炼成为用文字和字母的形式进行表述，掌握用字母表示加减法、乘除法之间互逆关系的方法，可以使学生对四则运算有更加深刻的理解，同时回顾了用字母表示代数式的相关知识。

例6：鼓励学生交流四则混合运算的顺序，把复杂的四则混合运算分解成一个个单独的运算过程，明确第一步计算什么，第二步计算什么„„只有运算顺序正确了，才能一步步把混合运算计算正确，同时，也为第三学段进一步学习代数式运算打下基础。

例7：引导学生自主整理和归纳学过的五条运算定律，鼓励学生结合实例用字母表示，并结合相应习题使学生感知运算定律的作用。这五条运算定律有不同的用处，加法交换律和加法结合律能综合运用于连加运算，乘法交换律和乘法结合律能综合运用于连乘运算、乘除混合运算，只有乘法分配律涉及乘、加或乘、减这样包含两级的运算。

例8：引导学生举例说明估算的应用，回顾估算的策略，使学生深入感知估算在日常生活中的广泛应用。估算，可以帮助我们在精确计算之前就大致判断一个算式的结果范围，在计算之后进行估算，可以帮助我们对运算结果进行检验，还可以帮我们快速解决一些不需要精确计算的问题。

例9和例10：主要复习用算术方法解决问题的一般思路和步骤。结合例10的具体问题，通过学生之间的交流，总结出在解决问题时有哪些共同的步骤，与实验教材相比，尤其强调了解答之后的反思过程。教材没有给出具体的解答步骤和方法，只是画出线段图，提示学生可以用画图的方法辅助思考，帮助分析数量关系，由于思考角度不同，可以采用不同的解题策略，体现了策略的多样性。

（三）式与方程

着重复习用字母表示数、简单的方程及其应用。

例1：以“会用字母表示什么”为题，借助表格梳理，帮助学生从数量、数量关系、计算公式、运算定律等方面回顾所学知识，将已学内容系统化、结构化，提升学生自主归纳、总结的能力。

例2：让学生回顾代数表达式的正确写法，巩固用含字母的表达式表示某个数量的方法，这是根据等量关系列方程的基础。“做一做”采用连线搭配的形式，引导学生建立起文字表达与数学表达式之间的联系。

例3和例4：启发学生回顾方程和等式的区别和联系，指出了方程表示一种等量关系的实质，并对解方程的依据（即等式的性质）进行了回顾与复习。重温用方程解决实际问题的特点：用字母表示未知数，未知数参与列式列出方程，解方程。

（四）比和比例

着重复习比和比例的基本知识及其应用，以及正、反比例的概念。

例1：采用小精灵提问的方式，引导学生复习比和比例的基础知识，比较它们的联系与区别。借助表格梳理，引导学生重温比和比例的意义、各部分名称和基本性质，体现让学生自主归纳的思路。

例2：仍然借助表格的方式，梳理比和分数、除法的关系，把学生分散的知识点进行整合，学会整体地、一般性地把握知识，使知识融会贯通，体会变中有不变的思想，看到不同形式背后的一致性，将表面上看似不同的三个知识整合为本质相同的“一个知识”。

例3：让学生回顾比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律之间的联系，揭示三者之间的密切联系和内在一致性。

例4：让学生复习正比例关系、反比例关系的概念，并通过生活中的实例说明两种量成正、反比例的判断方法，能写出相关联的两个量与不变量之间的关系式，培养学生的函数思想。

本节内容比较丰富，既有数与运算、代数初步等方面的基础知识和基本技能，又有问题解决的一般过程和策略。数与运算是最基础的数学知识，式与方程、比和比例是数与运算进一步的抽象和发展，体现了初步的代数思维。

本部分内容的教学重点是比较系统地掌握有关整数、小数、分数和百分数、负数、比和比例、方程的基础知识；能比较熟练地进行整数、小数、分数的四则运算，能进行整数、小数的加、减、乘、除的估算，会运用运算定律进行简便运算，合理、灵活地进行计算，会解学过的方程，理解比和比例的相关意义；养成检查和验算的习惯。

本部分内容的教学难点一是这部分复习内容概念非常集中，学生对概念的理解、记忆容易出现混淆；二是要过计算关，使学生能通过正确、合理的计算，解决一些实际问题。

《整理与复习──数与代数》重难点突破

一、通过系统整理数的认识、数的运算、式与方程、比和比例，厘清概念，沟通知识之间的联系，构建知识网络

1．重视概念的理解，明确各个概念的含义

这部分复习内容概念非常集中，复习时可以通过让学生自己举出实例加以说明的方式重温每一个概念的含义，通过这种比较具体、形象的方式，帮助学生明确各个概念的含义，并促进理解。在表述时，只要能讲清意思就行，不苛求字眼，只要不是关键的字词，其他的可以由学生自行组织语言，这样也能避免机械背诵概念的做法。

2．寻找概念之间的联系和区别

这一部分包含的概念中，有许多容易使学生产生混淆的概念，对这些概念，可以通过表格的方式进行对比、辨析，还可以把一个复杂的概念分解成几部分，一部分一部分进行对比，帮助学生明确这些概念之间的异同点。同时，这也是对知识进行结构化教学的好素材，在原先各年级的教学中，各个概念之间的学习认知容易割裂，在总复习的阶段，正好可以进行辨析，使知识融会贯通。

3．适度要求，适度留白

在小学阶段，有些概念是要非常明确的，也有一些有待于进一步学习的概念（如负数、正比例和反比例等），学生到了初中之后还要进一步深入学习这些概念，就更不能追求讲深讲透，只要学生在教材给定的水平上，获得初步认识、初步理解就可以了，不作过高要求。

二、重视计算能力的培养与提高，重视对数量关系的分析能力，重视解决问题的策略

1．明确算理，搞清算法，合理安排练习

小学阶段所学的数值计算都集中在本节，从整数四则运算到小数四则运算、分数四则运算，从四则计算到混合运算，层层推进。在复习时，要注意回顾每一种计算的算理，给学生充分的机会来回顾、领悟，同时讲清楚每一种计算的算理，明确笔算书写的规则，培养基本的计算能力。在分项目落实的基础上，分析各种算法之间的内在联系和区别，促进计算能力的提高。适当控制计算的练习量，避免重复机械地进行同一层次练习，制定练习计划，每天有计划、有侧重地练习一些口算和少量的混合运算，这样的分散练习比集中练习效果更好。

2．计算练习和问题解决有机结合，把典型问题的数量关系分析透彻

问题解决更能体现知识的价值，要顺利解决问题，一是方向正确，二是计算正确，两者缺一不可，所以计算练习可以在问题解决时同步落实。问题解决考查学生的信息处理能力，可以提示学生在阅读文本的基础上，理解信息与信息之间的关系，理解信息与问题之间的关系，列出解题步骤，把复杂问题分解成一个个简单问题，最终顺利解决问题。可以通过小组分析数量关系、小组讨论解题步骤、书面列出小标题等方式，把所要解决问题的数量关系分析透彻，提高学生的问题解决策略。